Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Íè îäèí èç íèõ íåñîâïàäàåò íè ñ îäíèì èç ÷èñåë µk è ïîýòîìó êàæäûé èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûìçíà÷åíèåì ìàòðèöû A. 2Åñëè B èìååò êðàòíûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ èëè sk = 0 äëÿ êàêèõ-òî k , ñòðîãèåíåðàâåíñòâà â ñîîòíîøåíèÿõ ðàçäåëåíèÿ (2) ñëåäóåò çàìåíèòü íà íåñòðîãèå íåðàâåíñòâà.Ìîæíî áûëî áû ðàññóæäàòü òàêèì îáðàçîì: ñ ïîìîùüþ ñêîëü óãîäíî ìàëûõ âîçìóùåíèé ìîæíî ñäåëàòü µ1 , .
. . , µn−1 ïîïàðíî ðàçëè÷íûìè, à âñå sk íåíóëåâûìè, ïðè ýòîìäëÿ âîçìóùåííîé ìàòðèöû A ìîæíî ïðèìåíèòü äîêàçàííîå óòâåðæäåíèå, à çàòåì ïåðåéòè ê ïðåäåëó. ×òîáû ýòî ðàññóæäåíèå ñäåëàòü ñòðîãèì, òðåáóåòñÿ ôàêò íåïðåðûâíîéçàâèñèìîñòè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû îò åå êîýôôèöèåíòîâ. Ýòîò âàæíûé ôàêòäåéñòâèòåëüíî èìååò ìåñòî.
Íî ìû ïîéäåì äðóãèì ïóòåì ñëó÷àé íåñòðîãèõ íåðàâåíñòâëåãêî àíàëèçèðóåòñÿ íà îñíîâå âàðèàöèîííûõ ñâîéñòâ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ýðìèòîâîéìàòðèöû.Çàäà÷à. H ∗ b37.2H è ñòîëáåö b. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâîp22b ≤ ||H||2 + ||H||2 + 4||b||2 .0 22Äàíû ýðìèòîâà ìàòðèöàÂàðèàöèîííûå ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéÏîä âàðèàöèîííûìè ñâîéñòâàìè ïîíèìàþòñÿ ñâîéñòâà, ñâÿçàííûå ñ ìèíèìàëüíûìè èëèìàêñèìàëüíûìè çíà÷åíèÿìè êàêèõ-òî ôóíêöèé.
 ñëó÷àå ýðìèòîâîé ìàòðèöû A ∈ Cn×nâ êà÷åñòâå òàêîé ôóíêöèè îò âåêòîðîâ x ∈ Cn ðàññìàòðèâàåòñÿ òàê íàçûâàåìîå îòíîøåíèå Ðýëåÿx∗ AxΦA (x) = ∗ , x 6= 0.xxÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ245Ëåììà.  ëþáîì ïîäïðîñòðàíñòâå L ⊂ Cn ñóùåñòâóþò âåêòîðû xmin (L) è xmax (L),ïðèíàäëåæàùèå L è òàêèå, ÷òîΦA (xmin ) ≤ ΦA (x) ≤ ΦA (xmax ) ∀ x ∈ L, x 6= 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèÿ ΦA (x) íåïðåðûâíà íà åäèíè÷íîé ñôåðå ||x||2 = 1 êîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà L. Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà, îíà ïðèíèìàåò òàì íàèìåíüøååè íàèáîëüøåå çíà÷åíèå â êàêèõ-òî òî÷êàõ xmin è xmax . Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòè òî÷êèÿâëÿþòñÿ èñêîìûìè. 2Òåîðåìà ÊóðàíòàÔèøåðà. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ1 (A) ≥ .
. . ≥ λn (A) ýðìèòîâîéìàòðèöû A ∈ Cn×n ñâÿçàíû ñ îòíîøåíèåì Ðýëåÿ ΦA (x) ñëåäóþùèì îáðàçîì:λk (A) =maxmin ΦA (x) =dim L=k x∈L, x6=0minmax ΦA (x).dim L=n−k+1 x∈L, x6=0(3)Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü v1 , . . . , vn ∈ Cn îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ñîáñòâåííûõâåêòîðîâ ìàòðèöû A: Avi = λi vi , 1 ≤ i ≤ n.Ïóñòü Lk = L(v1 , . .
. , vk ) è x = α1 v1 + . . . + αk vk ∈ Lk , x 6= 0.ΦA (x) =λ1 |α1 |2 + . . . + λk |αk |2≥ λk ,|α1 |2 + . . . + |αk |2ΦA (vk ) = λk⇒⇒minx∈Lk , x6=0ΦA (x) = λk .Ðàññìîòðèì òàêæå ïîäïðîñòðàíñòâî Mk = L(vk , . . . , vn ) ðàçìåðíîñòè n − k + 1. Ïóñòüx = αk vk + . . . + αn vn ∈ Mk , x 6= 0 ⇒ΦA (x) =λk |αk |2 + . . .
+ λn |αn |2≤ λk ,|αk |2 + . . . + |αn |2ΦA (vk ) = λk ⇒maxx∈Mk , x6=0ΦA (x) = λk .Ïóñòü òåïåðü L ïðîèçâîëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè k .  ñèëó òåîðåìû Ãðàññìàíà, dim(L ∩ Mk ) ≥ 1 ⇒ ñóùåñòâóåò íåíóëåâîé âåêòîð z ∈ (L ∩ Mk ). Òîãäàmin ΦA (x) ≤ ΦA (z) ≤x∈L, x6=0maxx∈Mk , x6=0ΦA (x) = λk .Òàêèì îáðàçîì, ïåðâîå èç ñîîòíîøåíèé (3) äîêàçàíî.×òîáû ïîëó÷èòü âòîðîå ñîîòíîøåíèå, âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî L ðàçìåðíîñòè n − k + 1. Òîãäà ñóùåñòâóåò íåíóëåâîé âåêòîð z ∈ L ∩ Lk ⇒max ΦA (x) ≥ ΦA (z) ≥x∈L, x6=037.3minx∈Lk , x6=0ΦA (x) = λk .2Ñîîòíîøåíèÿ ðàçäåëåíèÿÒåîðåìà. Ïóñòü ýðìèòîâà ìàòðèöà A ∈ Cn×n èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿλ1 ≥ . .
. ≥ λn ,è ïóñòü B ∈ C(n−1)×(n−1) åå ýðìèòîâà ïîäìàòðèöà â áëî÷íîì ðàçáèåíèè âèäà (1),èìåþùàÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿµ1 ≥ . . . ≥ µn−1 .246Ëåêöèÿ 37Òîãäà èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ ðàçäåëåíèÿλ1 ≥ µ1 ≥ λ2 ≥ µ2 ≥ . . . ≥ λn−1 ≥ µn−1 ≥ λn .Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç M ïîäïðîñòðàíñòâî âåêòîðîâ x = [x1 , . . . , xn ]> ,îïðåäåëÿåìîå óðàâíåíèåì xn = 0. Ïóñòü îòîáðàæåíèå ν : Cn → Cn−1 çàäàåòñÿ ïðàâèëîìν(x) = [x1 .
. . , xn−1 ]> . Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî åñëè x ∈ M , òî ΦA (x) = ΦB (ν(x)).Ïóñòü 1 ≤ k ≤ n − 1. Ñîãëàñíî òåîðåìå ÊóðàíòàÔèøåðà, íàõîäèìλk=min ΦA (x) ≥maxdim L=k x∈L, x6=0maxmaxmin ΦA (x) =dim L=k, L⊂M x∈L, x6=0min ΦB (ν(x)) =maxmin ΦB (y) = µk .dim L=k, L⊂Cn−1 y∈L, y6=0dim L=k, L⊂M x∈L, x6=0Ïóñòü òåïåðü 2 ≤ k ≤ n. Ñîãëàñíî òîé æå òåîðåìå ÊóðàíòàÔèøåðà,λk=max ΦA (x) ≤minmindim L=n−k+1 x∈L, x6=0mindim L=n−k+1, L⊂Mdim L=n−k+1, L⊂Mmax ΦA (x) =x∈L, x6=0max ΦB (ν(x)) =x∈L, x6=0mindim L = (n − 1) − (k − 1) + 1L ⊂ Cn−1max ΦB (y) = µk−1 . 2y∈L, y6=0 êà÷åñòâå ïðîñòîãî ñëåäñòâèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íîñòè óæå èçâåñòíîãî íàì êðèòåðèÿ ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè ýðìèòîâîé ìàòðèöû: äëÿ ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âñå ååâåäóùèå ìèíîðû áûëè ïîëîæèòåëüíû.Ïóñòü λ1k ≥ .
. . ≥ λkk ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âåäóùåé ïîäìàòðèöû Ak ïîðÿäêà k .Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî λkk > 0. Ïóñòü èçâåñòíî, ÷òî1 ≤ k ≤ n.det Ak = λ11 . . . λ1k > 0,Î÷åâèäíî, λ11 > 0. Ïóñòü óæå äîêàçàíî, ÷òî λk−1 k−1 > 0.  ñèëó ñîîòíîøåíèé ðàçäåëåíèÿ, λk−1 k ≥ λk−1 k−1 > 0. Äàëåå,⇒det Ak = (λ1k . . . λk−1 k ) λkk > 0Çàäà÷à.Ïóñòüσ1 ≥ ... ≥ σn ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà1 2 1A=Äîêàæèòå, ÷òî37.41 ≤ σn−1 ≤ ... ≤ σ1 ≤ 3.è, êðîìå òîãî,2n × n-ìàòðèöû2..λkk > 0....1.210 < σn < 2−n+1 .Êðèòåðèé íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòèËåãêî âèäåòü, ÷òî âåäóùèå ïîäìàòðèöû íàñëåäóþò òàêæå ñâîéñòâî íåîòðèöàòåëüíîéîïðåäåëåííîñòè.
Ïîýòîìó äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè ýðìèòîâîé ìàòðèöûÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ247íåîáõîäèìî,h ÷òîáûi åå âåäóùèå ìèíîðû áûëè íåîòðèöàòåëüíûìè. Îäíàêî, ïðèìåð ìàò00ðèöû A = 0 −1 ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòîãî óæå íå äîñòàòî÷íî. Êðîìå âåäóùèõ ìèíîðîâ,òåïåðü íóæíî âîâëå÷ü â ðàññìîòðåíèå òàêæå âñå ãëàâíûå ìèíîðû è ãëàâíûå ïîäìàòðèöû òàê íàçûâàþòñÿ ìèíîðû è ïîäìàòðèöû, ðàñïîëîæåííûå íà ïåðåñå÷åíèè ñòðîê èñòîëáöîâ ñ îäèíàêîâîé ñèñòåìîé íîìåðîâ. Çàìåòèì, ÷òî â ýðìèòîâîé ìàòðèöå âñå ãëàâíûå ïîäìàòðèöû áóäóò ýðìèòîâû.Ëåììà 1. Ïóñòü r = rankA.
Òîãäà ïîäìàòðèöà ïîðÿäêà r, ðàñïîëîæåííàÿ íà ïåðåñå÷åíèè ëþáûõ r ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòðîê è ëþáûõ r ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòîëáöîâ,áóäåò íåâûðîæäåííîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ýòó ïîäìàòðèöó ÷åðåç B , è ïóñòü R ïîäìàòðèöà ðàç-ìåðîâ r × n, îáðàçîâàííàÿ çàäàííûìè ñòðîêàìè. Êàæäûé ñòîëáåö A åñòü ëèíåéíàÿêîìáèíàöèÿ ñòîëáöîâ, íà êîòîðûõ íàõîäèòñÿ B .
⇒ Êàæäûé ñòîëáåö R åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòîëáöîâ B . Ïîýòîìó åñëè k ≡ rankB < r, òî êàæäûé ñòîëáåö R åñòüëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ k áàçèñíûõ ñòîëáöîâ B ⇒ rankR < r ⇒ ñòðîêè R ëèíåéíîçàâèñèìû, à ýòî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. 2Ëåììà 2. Ñðåäè îòëè÷íûõ îò íóëÿ ìèíîðîâ ïîðÿäêà r ýðìèòîâîé ìàòðèöû ðàíãà rèìååòñÿ ãëàâíûé ìèíîð.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A = A∗ . Òîãäà åñëè r ñòðîê (ñòîëáöîâ) ëèíåéíî íåçàâèñèìû,òî r ñòîëáöîâ (ñòðîê) ñ òåìè æå íîìåðàìè òàêæå ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Ïî ëåììå 1,ìèíîð íà èõ ïåðåñå÷åíèè îòëè÷åí îò íóëÿ.
Îí æå, î÷åâèäíî, ãëàâíûé. 2Ëåììà 3. Ïóñòü A íåâûðîæäåííàÿ ýðìèòîâà ìàòðèöà ïîðÿäêà n ≥ 2, â êîòîðîéãëàâíûå ìèíîðû ïîðÿäêà k äëÿ âñåõ k îò 1 äî n−1 ðàâíû íóëþ. Òîãäà n = 2 è det A < 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü λ1 ≥ . . . ≥ λn ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A. Åñëèλk > 0 ïðè êàêîì-òî k èç ïðîìåæóòêà îò 2 äî n, òî èç ñîîòíîøåíèé ðàçäåëåíèÿ ñëåäóåò,÷òî âñå ãëàâíûå ïîäìàòðèöû ïîðÿäêà k−1 èìåþò ïîëîæèòåëüíûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿè ïîýòîìó íåâûðîæäåííûå. Åñëè λ1 < 0, òî âñå ãëàâíûå ìèíîðû îòëè÷íû îò íóëÿ.
Òàêèìîáðàçîì,λ 1 > 0 > λ 2 ≥ . . . ≥ λn . òî æå âðåìÿ, åñëè ãëàâíûå ìèíîðû ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêà ðàâíû íóëþ, òî ëþáàÿãëàâíàÿ ïîäìàòðèöà âòîðîãî ïîðÿäêà íóëåâàÿ:hidet ā0 a0 = −|a|2 = 0 ⇒ a = 0.Èç ñîîòíîøåíèé ðàçäåëåíèÿ ïîëó÷àåì λ2 ≥ 0. Ïîñêîëüêó ïðîòèâîðå÷èå âîçíèêàåò ïðèn > 2, äîëæíî áûòü n = 2.  ýòîì ñëó÷àå det A = λ1 λ2 < 0. 2Òåîðåìà.
Äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè ýðìèòîâîé ìàòðèöû íåîáõîäèìî èäîñòàòî÷íî, ÷òîáû âñå åå ãëàâíûå ìèíîðû áûëè íåîòðèöàòåëüíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü ÿñíà, òàê êàê ñâîéñòâî íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåí-íîñòè íàñëåäóåòñÿ ëþáîé ãëàâíîé ïîäìàòðèöåé. Äîêàæåì äîñòàòî÷íîñòü.Ïóñòü λ1 ≥ . . . ≥ λn ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A.Ïóñòü r = rankA. Ïî ëåììå 2, èìååòñÿ íåâûðîæäåííàÿ ãëàâíàÿ ïîäìàòðèöà ïîðÿäêà r.
Îáîçíà÷èì åå ÷åðåç B . Ïî ëåììå 3, åñëè r > 2, â B ñóùåñòâóåò íåâûðîæäåííàÿãëàâíàÿ ïîäìàòðèöà ïîðÿäêà r − 1. Îòñþäà ÿñíî, ÷òî ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîé ìàòðèöûïåðåñòàíîâêè P èç B ìîæíî ïîëó÷èòü ýðìèòîâó ìàòðèöó P > BP , â êîòîðîé âñå âåäóùèå248Ëåêöèÿ 37ìèíîðû îòëè÷íû îò íóëÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëîæèòåëüíû.  ñèëó êðèòåðèÿ ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè, B ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöåé ⇒ âñååå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïîëîæèòåëüíû ⇒ λr−1 > 0. Åñëè λr < 0, òî è λr+1 < 0 ⇒rankA > r. Çíà÷èò, λr > 0 è λr+1 = . . .
= λn = 0. Íåîòðèöàòåëüíîñòü âñåõ ñîáñòâåííûõçíà÷åíèé ýðìèòîâîé ìàòðèöû âëå÷åò çà ñîáîé åå íåîòðèöàòåëüíóþ îïðåäåëåííîñòü. 237.5Âàðèàöèîííûå ñâîéñòâà ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåëÒåîðåìà. Ïóñòü A ∈ Cm×n èìååò ñèíãóëÿðíûå ÷èñëàσ1 (A) ≥ . . . ≥ σmin(m,n) (A).Òîãäà ïðè âñåõ 1 ≤ k ≤ min(m, n)σk (A) =maxdim L=k||Ax||2=x∈L, x6=0 ||x||2minÄîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî σk (A) =||Ax||2=||x||2rmindim L=n−k+1||Ax||2.x∈L, x6=0 ||x||2maxλk (A∗ A). Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òîpx∗ (A∗ A)x,x∗ xx 6= 0.Òàêèì îáðàçîì, âñå ñðàçó æå ñëåäóåò èç âàðèàöèîííûõ ñâîéñòâ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéýðìèòîâîé ìàòðèöû A∗ A.
2Çàäà÷à.ôóíêöèÿÏóñòüfk (A)Çàäà÷à.ÿâëÿåòñÿfk (A) = σ1 (A) + . . . + σk (A).n×nìàòðè÷íîé íîðìîé íà C.èÄîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîé êâàäðàòíîé ìàòðèöûýðìèòîâîé ÷àñòè37.6A ∈ Cn×n∗H = (A + A )/2Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãîA1≤k ≤níàèìåíüøåå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ååíå áîëüøå íàèìåíüøåãî ñèíãóëÿðíîãî ÷èñëà ìàòðèöûA.Ðàçäåëåíèå ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåëÒåîðåìà. Ïóñòü A ∈ Cm×n è B ∈ Cm×(n−1) ïîäìàòðèöà, ñîñòîÿùàÿ èç ïåðâûõ n − 1ñòîëáöîâ ìàòðèöû A. Òîãäà äëÿ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë A è B èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿðàçäåëåíèÿσ1 (A) ≥ σ1 (B) ≥ σ2 (A) ≥ . . . ≥ σn−1 (B) ≥ σn (A).Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî óñëîâèþ òåîðåìû, A èìååò âèä A = [B, v], ãäå v ååïîñëåäíèé ñòîëáåö. Çíà÷èò, ∗B BAA =v∗∗v ∗B B B∗v=.v∗B v∗vÈñêîìûå íåðàâåíñòâà ïîëó÷àþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé ðàçäåëåíèÿ äëÿ ýðìèòîâîé ìàòðèöûA∗ A ïîðÿäêà n è åå âåäóùåé ïîäìàòðèöû B ∗ B ïîðÿäêà n − 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
