Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Ðå÷ü èäåò î ïîèñêå ýëåìåíòà íàèëó÷øåãîïðèáëèæåíèÿ äëÿ çàäàííîé ìàòðèöû A íà äîâîëüíî ñëîæíîì ìíîæåñòâå ìíîæåñòâåìàòðèö, ðàíã êîòîðûõ îãðàíè÷åí çàäàííûì ÷èñëîì.Òåîðåìà î íàèëó÷øèõ àïïðîêñèìàöèÿõ ñ ïîíèæåíèåì ðàíãà. Ïóñòü ìàòðèöàA ∈ Cm×n çàäàíà ñèíãóëÿðíûì ðàçëîæåíèåì âèäàA=rXσl vl u∗l ,l=1è óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü, ÷òî σr+1 = 0. Ïóñòü çàäàíî öåëîå 1 ≤ k ≤ r. ÒîãäàminrankB ≤ kB ∈ Cm×n||A − B||2 = σk+1 = ||A − Ak ||2 ,ãäåAk =kXσl vl u∗l .l=1Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü rankB ≤ k . Òîãäà dim kerB ≥ n − k . Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþîáîëî÷êó L = L(u1 , .
. . , uk+1 ), íàòÿíóòóþ íà ñòàðøèå ñèíãóëÿðíûå âåêòîðû. Ïî òåîðåìåÃðàññìàíà,dim(kerB ∩ L) = dim kerB + dim L − dim(kerB + L) ≥ (n − k) + (k + 1) − n = 1.234Ëåêöèÿ 35Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò íåíóëåâîé âåêòîð z ∈ kerB ∩ L. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ||z||2 = 1.Ó÷èòûâàÿ, ÷òîk+1k+1XXαl ul ,|αl |2 = 1,z=l=1íàõîäèìl=1vu k+1uX||A − B||2 ≥ ||(A − B)z||2 = ||Az||2 = t|αl |2 σl ≥ σk+1 .l=1 òî æå âðåìÿ,A − Ak =rXσl vl u∗l ⇒ ||A − Ak ||2 = σk+1 .2l=k+135.8Ðàññòîÿíèå äî ìíîæåñòâà âûðîæäåííûõ ìàòðèöÅñëè A íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, òî âñå ìàòðèöû A + F ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîé íîðìå||F ||2 áóäóò íåâûðîæäåííûìè (ïî÷åìó?). Ïîä ñïåêòðàëüíûì ðàññòîÿíèåì ìåæäó A èìíîæåñòâîì âûðîæäåííûõ ìàòðèö ïîíèìàåòñÿ âåëè÷èíà ρ ≡ inf ||A − B||2 .det B=0Èç òåîðåìû îá àïïðîêñèìàöèÿõ ñ ïîíèæåíèåì ðàíãà âûòåêàåò, ÷òîρ =infrankB≤n−1||A − B||2 = σn (A).Òàêèì îáðàçîì, ñïåêòðàëüíîå ðàññòîÿíèå îò çàäàííîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû äîìíîæåñòâà âûðîæäåííûõ ìàòðèö ðàâíî åå ìèíèìàëüíîìó ñèíãóëÿðíîìó ÷èñëó.Ýòîò ðåçóëüòàò ïîä÷åðêèâàåò çíà÷åíèå îðòîíîðìèðîâàííûõ áàçèñîâ: åñëè ìàòðèöàV óíèòàðíàÿ, òî ìàòðèöà V + F áóäåò íåâûðîæäåííîé äëÿ âñåõ âîçìóùåíèé F ïðèóñëîâèè ||F ||2 < 1 (äîêàæèòå!).
 ÷àñòíîñòè, ìàòðèöà I + F áóäåò íåâûðîæäåííîé äëÿâñåõ âîçìóùåíèé F ñ íîðìîé ||F ||2 < 1.Çàäà÷à.ÏóñòüÄîêàæèòå, ÷òîσ1 ≥ ... ≥ σn ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà n × n-ìàòðèöû1 a11 a2....A=a1 , . . . , an−1 > 0.,..1 an−1 10 < σn < 1/(a1 ... an−1 ).Ëåêöèÿ 3636.1Êâàäðàòè÷íûå ôîðìûÂûðàæåíèå faij xi xj íàçûâàåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé îò ïåðåìåííûõP=1≤i,j≤nx1 , . . . , xn .
Ïðè i 6= j â ñóììå èìåþòñÿ äâà ÷ëåíà, äëÿ êîòîðûõaij xi xj + aji xj xi =aij + aji(xi xj + xj xi ).2Ïîýòîìó, íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, âñåãäà ïîëàãàþò, ÷òî aij = aji .Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû óñïåøíî èçó÷àëèñü åùå äî ââåäåíèÿ ïîíÿòèÿ ìàòðèöû. Ñîâðåìåííûé ïîäõîä, êîíå÷íî, èñïîëüçóåò ìàòðèöû îíè âîçíèêàþò çäåñü åñòåñòâåííûìîáðàçîì: a11 . . . a1nx1>f = x Ax, ãäå A = . . . . . . .
. . , x = ... .an1 . . . annxnÌàòðèöà A íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû f . Ñîãëàñíî íàøåé äîãîâîðåííîñòè, aij = aji ïîýòîìó ìàòðèöà A ñèììåòðè÷íàÿ.Ïðèìåð.Ïóñòü f = x1 (x1 + x2 + ... + xn ). Òîãäà" #1/2 ... 1/21x11/2f = [x1 ... xn ] A ... , A = ....0xn1/2Îòñþäà ñëåäóåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû f îòâåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ x1 , ..., xn ïðè óñëîâèè x21 + ... + x2n = 1 ðàâíî ìàêñèìàëüíîìóñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ âåùåñòâåííîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû A.Çàäà÷à.2A =Ïóñòü ðàíã âåùåñòâåííîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû ïîðÿäêàA. Äîêàæèòå, ÷òî 136.2√||A||∞ ≤nðàâåí 1 è, êðîìå òîãî,n+12 .ÊîíãðóýíòíîñòüÇàìåíà ïåðåìåííûõ x = P y ñ ïîìîùüþ íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû P äåëàåò f êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé îò íîâûõ ïåðåìåííûõ:f = x> Ax = (P y)> A(P y) = y > (P > AP )y.1 Íàïîìíèì, ÷òî||A||∞ =maxnP1≤i≤m j=1|aij |.235236Ëåêöèÿ 36Ìàòðèöû A è B , ñâÿçàííûå ðàâåíñòâîì B = P > AP äëÿ íåêîòîðîé íåâûðîæäåííîéìàòðèöû P , íàçûâàþòñÿ êîíãðóýíòíûìè.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îòíîøåíèå êîíãðóýíòíîñòèåñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå ìàòðèö ôèêñèðîâàííîãî ïîðÿäêà.Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû îò òðåõ ïåðåìåííûõ íàì óæå âñòðå÷àëèñü ïðè èçó÷åíèè ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà.  ýòîì ñëó÷àå ïåðåìåííûå áûëè âåùåñòâåííûìè êîîðäèíàòàìè, à ìàòðèöà A âåùåñòâåííîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé. Òîãäà íàñ îñîáåííîèíòåðåñîâàëè äåêàðòîâû ñèñòåìû êîîðäèíàò ïîýòîìó òðåáîâàëîñü, ÷òîáû ìàòðèöàP áûëà îðòîãîíàëüíîé. Êàê ñëåäñòâèå, ïåðåõîä îò A ê B â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿîäíîâðåìåííî ïðåîáðàçîâàíèåì êîíãðóýíòíîñòè è ïîäîáèÿ.36.3Êàíîíè÷åñêèé âèä êâàäðàòè÷íîé ôîðìûÌû çíàåì, ÷òî ëþáàÿ âåùåñòâåííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà îðòîãîíàëüíî ïîäîáíà âåùåñòâåííîé äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå:Λ = P > AP,P > = P −1 ,P ∈ Rn×n . íîâûõ ïåðåìåííûõ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà f îêàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé ñóììîéêâàäðàòîâf = λ1 y12 + .
. . + λn yn2 . îáùåì ñëó÷àå îò P ìîæíî òðåáîâàòü ëèøü íåâûðîæäåííîñòè. Ïîèñê ñîîòâåòñòâóþùåé çàìåíû ïåðåìåííûõ (ìàòðèöû P ) äëÿ çàäàííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû íàçûâàåòñÿïðèâåäåíèåì ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó. Åñëè P îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, òî ãîâîðÿò îïðèâåäåíèè f ê ãëàâíûì îñÿì.Åñëè r = rankΛ = rankA, òî â äàííîé ñóììå ìîæíî îñòàâèòü òîëüêî r ÷ëåíîâ,îòâå÷àþùèõ λi 6= 0. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òîλ1 , . .
. , λk > 0,λk+1 , . . . , λr < 0,λr+1 = . . . = λn = 0.Î÷åâèäíî, k , r −k è n−r ðàâíû, ñîîòâåòñòâåííî, ÷èñëó ïîëîæèòåëüíûõ, îòðèöàòåëüíûõè íóëåâûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû A.Òðîéêà ÷èñåë (k, r − k, n − r) íàçûâàåòñÿ èíåðöèåé âåùåñòâåííîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû A. Òî÷íî òàê æå ââîäèòñÿ ïîíÿòèå èíåðöèè äëÿ ïðîèçâîëüíîé ýðìèòîâîé ìàòðèöû.36.4Çàêîí èíåðöèèÏóñòü âñå ìàòðèöû âåùåñòâåííûå.Òåîðåìà. Âåùåñòâåííûå ñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû êîíãðóýíòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè èìåþò îäèíàêîâóþ èíåðöèþ.Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ñîâïàäåíèå èíåðöèé äëÿ êîíãðóýíòíûõ âåùåñòâåííûõ äèàãîíàëüíûõ ìàòðèö. Ïóñòü ýòî ìàòðèöû Λ è D = P > ΛP , ãäå P âåùåñòâåííàÿ íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà. Êîíå÷íî, D è Λ èìåþò îáùèé ðàíã r. Ïóñòü èíåðöèÿ Dðàâíà (l, r − l, n − r), à èíåðöèÿ Λ ðàâíà (k, r − k, n − r). Ïðåäïîëîæèì, ÷òîd1 , . . . , dl > 0,dl+1 , . . . , dr < 0;λ1 , . . .
, λk > 0,λk+1 , . . . , λr < 0.Ðàâåíñòâî y > Dy = x> Λx ïðè óñëîâèè x = P y îçíà÷àåò, ÷òî2(d1 y1 + . . . + dl yl2 ) + (dl+1 yl+1+ . . . + dr yr2 ) =Å. Å. Òûðòûøíèêîâ237(λ1 x1 + . . . + λk x2k ) + (λk+1 x2k+1 + . . . + λr x2r ).(∗)Ðàññìîòðèì äâà ïîäïðîñòðàíñòâà:M = {y ∈ Rn : y = P −1 x, x1 = . .
. = xk = 0}.L = {y ∈ Rn : yl+1 = . . . = yr = 0},Ëåãêî âèäåòü, ÷òî dim L = l. Ïîñêîëüêó y = P −1 x, ÿñíî, ÷òî dim M = n − k . Åñëè l > k ,òî dim L + dim M > n ⇒ ñóùåñòâóåò íåíóëåâîé âåêòîð y ∈ L ∩ M . Äëÿ ýòîãî âåêòîðày ëåâàÿ ÷àñòü â ðàâåíñòâå (∗) ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà, à ïðàâàÿ ÷àñòü îòðèöàòåëüíà èëèðàâíà íóëþ. Ïðîòèâîðå÷èå îçíà÷àåò, ÷òî l ≤ k . Ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî òîæåâåðíî äîñòàòî÷íî ïîìåíÿòü ðîëÿìè x è y .
236.5Ýðìèòîâà êîíãðóýíòíîñòüÊîìïëåêñíûå ìàòðèöû A è B íàçûâàþòñÿ ýðìèòîâî êîíãðóýíòíûìè, åñëè B = P ∗ APäëÿ íåêîòîðîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû P . Ýòî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå n × n-ìàòðèö (äîêàæèòå!). Åñëè ìàòðèöà A ýðìèòîâà, òî è B ýðìèòîâà.Òåîðåìà. Ýðìèòîâû ìàòðèöû ýðìèòîâî êîíãðóýíòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàîíè èìåþò îäèíàêîâóþ èíåðöèþ.Äîêàçàòåëüñòâî ïðàêòè÷åñêè äîñëîâíî ïîâòîðÿåò ïðåäûäóùåå äîêàçàòåëüñòâî (íàäîëèøü âìåñòî x2i è yi2 ïèñàòü |xi |2 è |yi |2 ).36.6Êàíîíè÷åñêèé âèä ïàðû êâàäðàòè÷íûõ ôîðìÅñëè ïðèõîäèòñÿ îäíîâðåìåííî èìåòü äåëî ñ ïàðîé ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà âïðîñòðàíñòâå èëè ñ ïàðîé êðèâûõ âòîðîãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè, òî ðàçóìíî ïûòàòüñÿ óïðîñòèòü èõ óðàâíåíèÿ â îäíîé è òîé æå ñèñòåìå êîîðäèíàò.
 îáùåì ñëó÷àå ýòàñèñòåìà êîîðäèíàò áóäåò àôôèííîé.Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì ñëó÷àé êðèâûõ íà ïëîñêîñòè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îäíà èçêðèâûõ ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîì. Òîãäà ïåðåéäåì ê òàêîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå, â êîòîðûé äëÿíåå ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå x2 /a2 + y 2 /b2 = 1. Óðàâíåíèå âòîðîé êðèâîé â ýòîé ñèñòåìåìîæåò èìåòü ñàìûé îáùèé âèä. Èçìåíèâ ìàñøòàáû ïî îñÿì, ïåðåéäåì ê àôôèííîéñèñòåìå, â êîòîðîé óðàâíåíèåì ýëëèïñà áóäåò óðàâíåíèå îêðóæíîñòè (x0 )2 + (y 0 )2 = 1.Óðàâíåíèå âòîðîé êðèâîé â íîâîé (àôôèííîé) ñèñòåìå èìååò âñå åùå îáùèé âèä. Íî ñïîìîùüþ ïîâîðîòà, êàê ìû çíàåì, äëÿ åãî êâàäðàòè÷íîé ÷àñòè ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóλ1 (x00 )2 + λ2 (y 00 )2 . Ïðè ýòîì ïîâîðîò ñèñòåìû êîîðäèíàò íå ìîæåò èçìåíèòü ôîðìûïåðâîãî óðàâíåíèÿ!  ñóùíîñòè ýòî æå ðàññóæäåíèå ïåðåíîñèòñÿ íà áîëåå îáùèé ñëó÷àé.Òåîðåìà 1.
Ïóñòü A è B âåùåñòâåííûå ñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû è ïðè ýòîì Aïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ. Òîãäà ñóùåñòâóåò âåùåñòâåííàÿ íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà P òàêàÿ, ÷òî ìàòðèöû P > AP è P > BP îáå äèàãîíàëüíûå.Äîêàçàòåëüñòâî. Âåùåñòâåííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà A îðòîãîíàëüíî ïîäîáíà (ïîýòîìó è êîíãðóýíòíà) äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåλ1..Λ=.> = Q AQ,λnQ> = Q−1 .238Ëåêöèÿ 36 ñèëó ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè, λi > 0 äëÿ âñåõ i. Äàëåå çàìåòèì, ÷òî A êîíãðóýíòíà åäèíè÷íîé ìàòðèöå (ïî îïðåäåëåíèþ, Λ−1/2 ≡ (Λ1/2 )−1 ):I = Λ−1/2 Q> AQΛ−1/2 = (QΛ−1/2 )> A(QΛ−1/2 ).Ïóñòü òî æå ïðåîáðàçîâàíèå êîíãðóýíòíîñòè â ïðèìåíåíèè ê B äàåò ìàòðèöóC = (QΛ−1/2 )> B(QΛ−1/2 ).Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî C îñòàåòñÿ âåùåñòâåííîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñ ïîìîùüþ îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöû Z ïîëó÷àåì äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó D = Z > CZ . òî æå âðåìÿ, Z > IZ = I . Îêîí÷àòåëüíî,I = P > AP,D = P > BP,ãäå P = QΛ−1/2 Z.2Ñëåäñòâèå. Ïóñòü f (x) è g(x) âåùåñòâåííûå êâàäðàòè÷íûå ôîðìû è f (x) > 0 äëÿâñåõ âåùåñòâåííûõ âåêòîðîâ x 6= 0. Òîãäà f è g ìîæíî ïðèâåñòè ê êàíîíè÷åñêîìóâèäó ñ ïîìîùüþ îáùåé çàìåíû ïåðåìåííûõ.Âîò âàðèàíò ýòîé æå òåîðåìû â ñëó÷àå ýðìèòîâûõ ìàòðèö è ïðåîáðàçîâàíèÿ ýðìèòîâîé êîíãðóýíòíîñòè ïðåäûäóùåå äîêàçàòåëüñòâî ìîäèôèöèðóåòñÿ î÷åâèäíûìîáðàçîì.Òåîðåìà 2.
Ïóñòü A è B ýðìèòîâû ìàòðèöû è A ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ.Òîãäà ñóùåñòâóåò íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà P òàêàÿ, ÷òî ìàòðèöû P ∗ AP è P ∗ BPîáå äèàãîíàëüíûå.36.7Ìåòîä ËàãðàíæàÏðîñòàÿ èäåÿ, ïîçâîëÿþùàÿ ïîëó÷èòü êàíîíè÷åñêèé âèä êâàäðàòè÷íîé ôîðìû, ñâÿçàíàñ âûäåëåíèåì ïîëíûõ êâàäðàòîâ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
