Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Ïî òåîðåìå Øóðà, ñóùåñòâóåò óíèòàðíàÿ ìàòðèöà Q, ïðèâîäÿùàÿ Aê âåðõíåìó òðåóãîëüíîìó âèäó B = QAQ∗ . Ðàâåíñòâî A∗ A = AA∗ ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó B ∗ B = BB ∗ . Îñòàåòñÿ ïîñìîòðåòü, ÷òî îíî îçíà÷àåò â ñëó÷àå âåðõíåé òðåóãîëüíîéìàòðèöû B :"# "#b11 b12...b1nb11b22...b2n......bnnb12b22.........b1nb2n...bnnb11=b12b22.........b1nb2n...bnnb11 b12...b1nb22...b2n.......bnnÏðèðàâíèâàÿ ýëåìåíòû â ïîçèöèè (1, 1), ïîëó÷àåì|b11 |2 = |b11 |2 + |b12 |2 + .
. . + |b1n |2⇒ b12 = . . . = b1n = 0.Ó÷èòûâàÿ ýòî, ïðèðàâíèâàåì ýëåìåíòû â ïîçèöèè (2, 2):|b22 |2 = |b22 |2 + |b23 |2 + . . . + |b2n |2⇒ b23 = . . . = b2n = 0.È òàê äàëåå. Âûâîä òàêîé: âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíîé. Çíà÷èò, ðàâåíñòâî A∗ A = AA∗ âûïîëíÿåòñÿ â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà B äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà.
2Ñëåäñòâèå. Ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà îíàîáëàäàåò îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.Ïóñòü Λ = Q∗ AQ - äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. Ñòîëáöû óíèòàðíîé ìàòðèöû Q îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ è, â ñèëó ðàâåíñòâà AQ = QΛ, ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìèâåêòîðàìè ìàòðèöû A. 2Êàê âèäèì, ëþáàÿ íîðìàëüíàÿ ìàòðèöà ïîäîáíà äèàãîíàëüíîé, ïðè÷åì ïðåîáðàçîâàíèå ïîäîáèÿ ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ óíèòàðíîé ìàòðèöû.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿòîá óíèòàðíîì ïîäîáèè.Åñëè A∗ = f (A) äëÿ íåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíà f (λ), òî ìàòðèöà A, î÷åâèäíî, íîðìàëüíàÿ.
Âåðíî è îáðàòíîå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî A èìååò m ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõ217218Ëåêöèÿ 33çíà÷åíèé λ1 , . . . , λm è âîçüìåì â êà÷åñòâå f (λ) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè íå âûøå m − 1, ïðèíèìàþùèé ïðè λi çíà÷åíèå λi . Òîãäà Λ∗ = f (Λ) ⇒ A∗ = QΛ∗ Q∗ = Qf (Λ)Q∗ = f (A).Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ (ìàêñèìàëüíûé ìîäóëü ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé) íîð-ìàëüíîé ìàòðèöû33.2Aäîïóñêàåò ïðåäñòàâëåíèåρ(A) = max |x∗ Ax|/|x∗ x|.x6=0Óíèòàðíûå ìàòðèöû"λ#1Ïóñòü A íîðìàëüíàÿ ìàòðèöà, Λ =..= Q∗ AQ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà èç.λnåå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è Q óíèòàðíàÿ ìàòðèöà èç åå ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.Íàïîìíèì, ÷òî êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ óíèòàðíîé, åñëè A∗ A = I . Èçîïðåäåëåíèÿ ÿñíî, ÷òî ëþáàÿ óíèòàðíàÿ ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé.Óòâåðæäåíèå.
Íîðìàëüíàÿ ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ óíèòàðíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà âñå åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïî ìîäóëþ ðàâíû 1.Äîêàçàòåëüñòâî. A∗ A = 1 ⇔ Λ∗ Λ = I ⇔ |λi | = 1, 1 ≤ i ≤ n. 2Çàäà÷à.÷òîÓíèòàðíàÿ ìàòðèöàQ=Q11Q21Q12Q22ïîðÿäêà2nðàçáèòà íà áëîêè ïîðÿäêàn.Äîêàçàòü,| det Q12 | = | det Q21 |.33.3Ìàòðèöû îòðàæåíèÿ è âðàùåíèÿÓíèòàðíûå ìàòðèöû çàíèìàþò, áåññïîðíî, îñîáîå ìåñòî â âû÷èñëèòåëüíîé àëãåáðå: âîïåðâûõ, îíè çàäàþò îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû; âî-âòîðûõ, ïðè óìíîæåíèè íà íèõñîõðàíÿþòñÿ äëèíû ñòîëáöîâ (è äàæå èõ ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ). Ñðåäè íèõ âûäåëÿþòñÿ äâà î÷åíü ïîëåçíûõ äëÿ âû÷èñëåíèé ïîäêëàññà: ìàòðèöû îòðàæåíèÿ è ìàòðèöûâðàùåíèÿ.Ìàòðèöåé îòðàæåíèÿ (ìàòðèöåé Õàóñõîëäåðà), ïîðîæäåííîé âåêòîðîì v ∈ Cn åäèíè÷íîé äëèíû, íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà âèäàH = H(v) = I − 2vv ∗ ,|v| = 1.Î÷åâèäíî, H ∗ = H è H ∗ H = H 2 = I − 4vv ∗ + 4v(v ∗ v)v ∗ = I .Íàçâàíèå âïîëíå îïðàâäàíî.
Ïóñòü x⊥v ⇒ v ∗ x = 0. Òîãäà Hx = x − 2v(v ∗ x) = x⇒ ïîäïðîñòðàíñòâî (L(v))⊥ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ïîäïðîñòðàíñòâîì äëÿ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ λ = 1 êðàòíîñòè n − 1. Êðîìå òîãî, Hv = v − 2v(v ∗ v) = −v ⇒âåêòîð v îòðàæàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïîäïðîñòðàíñòâà (L(v))⊥ è îïðåäåëÿåò îäíîìåðíîåñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî äëÿ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ λ = −1 êðàòíîñòè 1.Òàêèì îáðàçîì, â íåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå ìàòðèöà îòðàæåíèÿ èìååòâèä11Λ=...1−1Âåùåñòâåííîé ìàòðèöåé âðàùåíèÿ (ìàòðèöåé Ãèâåíñà) ïîðÿäêà n, îïðåäåëÿåìîéóãëîì φ è íîìåðàìè 1 ≤ k < l ≤ n, íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà W = W (φ, k, l), îòëè÷àþùàÿñÿÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ219îò åäèíè÷íîé ëèøü ýëåìåíòàìè 2 × 2-ïîäìàòðèöû íà ïåðåñå÷åíèè ñòðîê è ñòîëáöîâ ñíîìåðàìè k è l; äàííàÿ ïîäìàòðèöà èìååò âèäcos φ − sin φsin φcos φ.Ïîä êîìïëåêñíîé ìàòðèöåé âðàùåíèÿ ìîæíî ïîíèìàòü ìàòðèöó òàêîãî æå âèäà, âêîòîðîé óêàçàííàÿ 2 × 2-ïîäìàòðèöà ìîæåò áûòü óìíîæåíà ñïðàâà è ñëåâà íà ïðîèçâîëüíûå äèàãîíàëüíûå óíèòàðíûå ìàòðèöû.Óíèòàðíîñòü âåùåñòâåííûõ è êîìïëåêñíûõ ìàòðèö âðàùåíèÿ ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî.33.4Ýðìèòîâû ìàòðèöûÍàïîìíèì, ÷òî ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ ýðìèòîâîé, åñëè A∗ = A.
Î÷åâèäíî, ëþáàÿ ýðìèòîâà ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé.Óòâåðæäåíèå. Íîðìàëüíàÿ ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ ýðìèòîâîé òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà âñå åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âåùåñòâåííû.Äîêàçàòåëüñòâî. A∗ = A ⇔ Λ∗ = Λ ⇔ λi = λi , 1 ≤ i ≤ n. 2Çàäà÷à.Èçâåñòíî, ÷òîA2 = Añêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ). Äîêàæèòå,Çàäà÷à.èÄàíî ïîäïðîñòðàíñòâîkerA ⊥ im A∗÷òî A = A .èL ⊂ Cn .(îðòîãîíàëüíîñòü îòíîñèòåëüíî åñòåñòâåííîãîÄîêàæèòå, ÷òî ñðåäè âñåõ ìàòðèöAòàêèõ, ÷òîimA = L2A = A, íàèìåíüøåå çíà÷åíèå 2-íîðìû äîñòèãàåòñÿ äëÿ íåêîòîðîé ýðìèòîâîé è ïðèòîì òîëüêî îäíîéA.ìàòðèöûÇàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîé ýðìèòîâîé ìàòðèöûHìàòðèöàQ = (I −iH)−1 (I +iH) ÿâëÿåòñÿóíèòàðíîé. Ëþáóþ ëè óíèòàðíóþ ìàòðèöó ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàêèì îáðàçîì?Çàäà÷à.||A − B||2 < 1,33.5Ýðìèòîâû ìàòðèöûòîA, B ∈ Cnòàêîâû, ÷òîA2 = AèB2 = B.Äîêàæèòå, ÷òî åñëèrankA = rankB .Ýðìèòîâî ðàçëîæåíèåÇàïèñü ìàòðèöû A â âèäå A = H +iK , ãäå H ∗ = H , K ∗ = K , íàçûâàåòñÿ åå ýðìèòîâûìðàçëîæåíèåì.Òåîðåìà.
Äëÿ ëþáîé ìàòðèöû A ∈ Cn×n ýðìèòîâî ðàçëîæåíèå ñóùåñòâóåò èåäèíñòâåííî.Äîêàçàòåëüñòâî. Åäèíñòâåííîñòü: A = H + iK ⇒ A∗ = H − iK ⇒1H = (A + A∗ ),2K=1(A − A∗ ).2i(∗)Ñóùåñòâîâàíèå: ïóñòü H è K îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè (∗); îíè, î÷åâèäíî, ýðìèòîâûè ïðè ýòîì A = H + iK . 2Çàìåòèì, ÷òî ìàòðèöà B = iK ÿâëÿåòñÿ êîñîýðìèòîâîé òàê íàçûâàþòñÿ ìàòðèöûB ñî ñâîéñòâîì B ∗ = −B .220Ëåêöèÿ 3333.6Íåîòðèöàòåëüíàÿ è ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòüÌàòðèöà A ∈ Cn×n íàçûâàåòñÿ íåîòðèöàòåëüíî (ïîëîæèòåëüíî) îïðåäåëåííîé, åñëèx∗ Ax ≥ 0 (x∗ Ax > 0) ∀ x ∈ Cn , x 6= 0. Îáîçíà÷åíèå: A ≥ 0 (A > 0). Íåîòðèöàòåëüíîîïðåäåëåííûå ìàòðèöû íàçûâàþòñÿ òàêæå ïîëîæèòåëüíî ïîëóîïðåäåëåííûìè.Òåîðåìà.
Äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé (ïîëîæèòåëüíîé) îïðåäåëåííîñòè ìàòðèöû A ∈Cn×n íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà áûëà ýðìèòîâîé ìàòðèöåé ñ íåîòðèöàòåëüíûìè (ïîëîæèòåëüíûìè) ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè.Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ ýðìèòîâî ðàçëîæåíèå A = H + iK , íàõîäèìx∗ Ax = (x∗ Hx) + i(x∗ Kx).×èñëî x∗ Ax âåùåñòâåííî äëÿ ëþáîãî x ⇒ x∗ Kx = 0 äëÿ âñåõ x. Îòñþäà âûòåêàåò,÷òî ýðìèòîâà ìàòðèöà K èìååò òîëüêî íóëåâûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ: Kx = λx, x 6= 0⇒ x∗ Kx = λ(x∗ x) = 0 ⇒ λ = 0. Áóäó÷è ïîäîáíà íóëåâîé ìàòðèöå, ìàòðèöà Kìîæåò áûòü òîëüêî íóëåâîé ⇒ A = H .
Åñëè Hx = λx, x 6= 0, òî x∗ Hx = λ(x∗ x) ≥ 0⇒ λ ≥ 0. Åñëè X ∗ Hx > 0, òî, êîíå÷íî, λ > 0.Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî A ýðìèòîâà ìàòðèöà ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ñîáñòâåííûìèçíà÷åíèÿìè λ1 , . . . , λn è îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ v1 , . . .
, vn .Ïóñòü x = α1 v1 + . . . + αn vn . Òîãäà Ax = α1 λ1 v1 + . . . + αn λn vn . Îòñþäàx∗ Ax = (Ax, x) = λ1 |α1 |2 + . . . + λn |αn |2 ≥ 0. ñëó÷àå λi > 0 íàõîäèì x∗ Ax > 0 ïðè x 6= 0.Çàäà÷à.ÏóñòüA = H + iK2 ýðìèòîâî ðàçëîæåíèå ìàòðèöû÷àñòè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöûA.Äîêàæèòå, ÷òî âåùåñòâåííûåA çàêëþ÷åíû ìåæäó ìèíèìàëüíûì è ìàêñèìàëüíûì ñîáñòâåíH , à ìíèìûå ÷àñòè ìåæäó ìèíèìàëüíûì è ìàêñèìàëüíûììàòðèöû K .íûìè çíà÷åíèÿìè ýðìèòîâîé ìàòðèöûñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ýðìèòîâîéÇàäà÷à.Äàíû êâàäðàòíûå ìàòðèöûAèBîäíîãî ïîðÿäêà, ïðè ýòîì ìàòðèöàÄîêàæèòå, ÷òî èç íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè ìàòðèöûðàäèóñ ìàòðèöûÇàäà÷à.b∈RnB −1 A∗B B−A Aíåâûðîæäåííàÿ.âûòåêàåò, ÷òî ñïåêòðàëüíûéâ êîòîðîénAf (x) = (Ax, x) + (b, x) ïðè x ∈ R îãðàíè÷åíf (x0 ) åñòü åãî ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå..
Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèîíàëx0 ,Bíå áîëüøå 1.Ïóñòü çàäàíû âåùåñòâåííàÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöàåäèíñòâåííàÿ òî÷êà33.7∗ïîðÿäêànè âåêòîðñíèçó è ñóùåñòâóåòÊâàäðàòíûé êîðåíüÅñëè A = S 2 , òî S åñòåñòâåííî íàçûâàòü êâàäðàòíûì êîðíåì èç ìàòðèöû A.Òåîðåìà. Äëÿ ëþáîé íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöû A ∈ Cn×n ñóùåñòâóåòåäèíñòâåííàÿ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà S ∈ Cn×n òàêàÿ, ÷òî S 2 = A.Äîêàçàòåëüñòâî. Ìàòðèöà A ýðìèòîâà è ïîýòîìó óíèòàðíî ïîäîáíà âåùåñòâåííîéäèàãîíàëüíîé ìàòðèöå Λ ñ äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè λi ≥ 0 (âñëåäñòâèå íåîòðèöàòåëüíîéîïðåäåëåííîñòè): A = QΛQ∗ . Ïóñòü D äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè√λi . Òîãäà D2 = Λ è, î÷åâèäíî, S = QDQ∗ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûé êâàäðàòíûé êîðåíü èç A.Ïðèâåäåííîå ïîñòðîåíèå äîêàçûâàåò ñóùåñòâîâàíèå.
Íî åäèíñòâåííîñòü òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîãî ðàññóæäåíèÿ. Åñëè SQ = QD, òî AQ = QD2 . Ïóñòü Q = [q1 , . . . , qn ] èÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ221D èìååò äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû di . Ïóñòü x - ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû A äëÿñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ λ. Òîãäà äëÿ íåêîòîðûõ êîýôôèöèåíòîâ αiXX √√x=αi qi ⇒ Sx =αi λqi = λx.√di = λ√di = λÒàêèì îáðàçîì, äåéñòâèå S îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíî íà âåêòîðàõ ëþáîãî áàçèñà èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû A. 2Äëÿ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîãî êâàäðàòíîãî êîðíÿ S èç íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöû A óïîòðåáëÿåòñÿ îáîçíà÷åíèå S = A1/2 .Çàäà÷à.ÌàòðèöûAèBñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö33.8îáå ýðìèòîâû, ïðè ýòîìABèBAAïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ.
Äîêàæèòå, ÷òîâåùåñòâåííûå.Áëî÷íî äèàãîíàëüíàÿ ôîðìà âåùåñòâåííîé íîðìàëüíîéìàòðèöûÏóñòü A âåùåñòâåííàÿ íîðìàëüíàÿ ìàòðèöà.  ñèëó íîðìàëüíîñòè, âñå æîðäàíîâûêëåòêè ïîðÿäêà 1.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ = a + ib ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ñ íåíóëåâîé ìíèìîé ÷àñòüþ b,è ïóñòüA(x + iy) = (a + ib)(x + iy) = (ax − by) + i(bx + ay),a bA[x, y] = [x, y].−b ax, y ∈ Rn .⇒(∗)Çàìåòèì, ÷òî ñîïðÿæåííîå ÷èñëî λ = a − ib òîæå áóäåò ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, îòâå÷àþùèì ñîáñòâåííîìó âåêòîðó x − iy . Äëÿ íîðìàëüíîé ìàòðèöû ñîáñòâåííûå âåêòîðûäëÿ ðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îðòîãîíàëüíû ⇒(x + iy, x − iy) = (x, x) − (y, y) + i2(x, y) = 0⇒(x, y) = 0, |x| = |y|.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðàâåíñòâî (∗) ñîõðàíèòñÿ ïðè çàìåíå x è y íà íîðìèðîâàííûå èîðòîãîíàëüíûå âåêòîðû x/s è y/s, s = |x| = |y|.
Òàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòîÒåîðåìà. Äëÿ ëþáîé âåùåñòâåííîé íîðìàëüíîé ìàòðèöû ñóùåñòâóåò âåùåñòâåííûéîðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, â êîòîðîì îíà ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîéñóììîéâåùåñòâåííûõhia báëîêîâ ïîðÿäêà 1 è âåùåñòâåííûõ áëîêîâ ïîðÿäêà 2 âèäà −b a .33.9Áëî÷íî äèàãîíàëüíàÿ ôîðìà îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöûÑîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöû ïî ìîäóëþ ðàâíû 1. Ïîýòîìó àíàëîãæîðäàíîâîé ôîðìû â äàííîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìóþ ñóììó áëîêîâ ïîðÿäêà 1, îòâå÷àþùèõ âåùåñòâåííûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, ðàâíûì 1 èëè −1, è áëîêîâïîðÿäêà 2, îòâå÷àþùèõ ïàðàì êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λ = a+ibè λ = a − ib, b 6= 0. Çàìåòèì, ÷òî a2 + b2 = 1 ⇒ ñîãëàñíî (∗), êàæäûé áëîê ïîðÿäêà 2â äàííîì ñëó÷àå åñòü âåùåñòâåííàÿ ìàòðèöà âðàùåíèÿ.Òåîðåìà. Äëÿ ëþáîé îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöû ñóùåñòâóåò âåùåñòâåííûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, â êîòîðîì îíà ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì âåùåñòâåííûõ ìàòðèö îò-222Ëåêöèÿ 33ðàæåíèÿ è âåùåñòâåííûõ ìàòðèö âðàùåíèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî.
Èç ñêàçàííîãî âûøå ÿñíî, ÷òî â íåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàííîì áà-çèñå ïîëó÷àåòñÿ áëî÷íî äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ âåùåñòâåííûìè áëîêàìè ïîðÿäêà 1 äëÿñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ±1 è áëîêàìè ïîðÿäêà 2, êîòîðûå îêàçûâàþòñÿ âåùåñòâåííûìèìàòðèöàìè âðàùåíèÿ. Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òîM1 M1 I IM2I..=.MkM2...II......I... 2.MkÒåîðåìó ìîæíî ïðîèíòåðïðåòèðîâàòü òàêèì îáðàçîì: ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå â Rn ,ñîõðàíÿþùåå äëèíû, ñâîäèòñÿ ê êîìïîçèöèè îòðàæåíèé è âðàùåíèé.Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ âåùåñòâåííàÿ ìàòðèöà âðàùåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì äâóõâåùåñòâåííûõ ìàòðèö îòðàæåíèÿ.Ëåêöèÿ 3434.1Ìàòðèöà ÔóðüåÈñêëþ÷èòåëüíî âàæíûé êëàññ óíèòàðíûõ ìàòðèö â ìàòåìàòèêå è ïðèëîæåíèÿõ ýòîñïåöèàëüíûå ìàòðèöû Âàíäåðìîíäà, ïîñòðîåííûå íà êîðíÿõ èç åäèíèöû.
Ïóñòü2πε = cos −n2π+ i sin −n.Ýòî ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü èç åäèíèöû ñòåïåíè n. 1 Ìàòðèöà Âàíäåðìîíäà äëÿ ÷èñåë ε0 , ε1 , . . . , εn−1 íàçûâàåòñÿ òàêæå ìàòðèöåé (ïðÿìîãî) äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿÔóðüå, èëè, êîðî÷å, ìàòðèöåé Ôóðüå ïîðÿäêà n. Îáîçíà÷åíèå:Fn= 1111·11εε1·2.........(n−2)·1(n−2)·21 εε(n−1)·11 εε(n−1)·2...11·(n−1)...ε......(n−2)·(n−1)...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
