Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Åñëè ëèíåéíûé îïåðàòîð îáðàòèì, òî îáðàòíûé îïåðàòîð òàêæåÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì.Äîêàçàòåëüñòâî. Ëþáûå âåêòîðû y1 , y2 ∈ W ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå y1 = Ax1 ,y2 = Ax2 . ÏîýòîìóB(αy1 + βy2 ) = B(αAy1 + βBy2 ) = B(A(αx1 + βx2 )) = αx1 + βx2 .Îñòàåòñÿ ó÷åñòü, ÷òîx1 = By1 ,x2 = By2 .2Òåîðåìà. Ïóñòü A : V → W ëèíåéíûé îïåðàòîð, à V è W êîíå÷íîìåðíûåïðîñòðàíñòâà îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè. Òîãäà A ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûì îïåðàòîðîìòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà kerA = {0}.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü dim V = dim W = n. Ñîãëàñíî òåîðåìå î ðàçìåðíîñòè ÿäðàè îáðàçà, åñëè dim kerA = 0, òî dim imA = n. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî âåêòîðà190Ëåêöèÿ 28y ∈ W ñóùåñòâóåò x ∈ V òàêîé, ÷òî Ax = y . Áîëåå òîãî, òàêîé âåêòîð x åäèíñòâåí (èíà÷åÿäðî ñîäåðæàëî áû íåíóëåâîé âåêòîð). Îïðåäåëèì îïåðàòîð B : W → V ïðàâèëîìB(y) = x. Òîãäà A(B(y)) = y è B(A(x)) = x ⇒ B ÿâëÿåòñÿ îáðàòíûì îïåðàòîðîì äëÿA.Åñëè æå èçâåñòíî, ÷òî A îáðàòèìûé îïåðàòîð, òî åãî ÿäðî ìîæåò áûòü òîëüêîíóëåâûì (åñëè äëÿ êàêèõ-òî x1 6= x2 âûïîëíÿëîñü áû ðàâåíñòâî Ax1 = Ax2 , òî ýòîïðîòèâîðå÷èëî áû îáðàòèìîñòè îïåðàòîðà A).
2Çàìå÷àíèå. Åñëè ëèíåéíûé îïåðàòîð A : V → W îáðàòèì, òî íåïðåìåííî W = imA. òî æå âðåìÿ, óñëîâèå W = imA íåäîñòàòî÷íî äëÿ îáðàòèìîñòè A.Çàäà÷à.îïåðàòîðû−1P = (A + B)Çàäà÷à.A è B òàêîâû, ÷òî îïåðàòîð A + BQ = (A + B)−1 B êîììóòèðóþò.Ëèíåéíûå îïåðàòîðûAèËèíåéíûé îïåðàòîðA : Rn×n → Rn×nîáðàòèìûé. Äîêàæèòå, ÷òîñîõðàíÿåò îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû. Äîêàæèòå, ÷òîëþáîé òàêîé îïåðàòîð ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûì.28.8Îðòîãîíàëüíûå äîïîëíåíèÿ ÿäðà è îáðàçàÄàäèì åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î ðàçìåðíîñòè ÿäðà è îáðàçà. Ïóñòü A ∈ Cm×n .Åñëè x ∈ kerA, òî äëÿ ëþáîãî y ∈ Cm íàõîäèì0 = y ∗ Ax = (A∗ y)∗ x = (x, A∗ y) ⇒ x ⊥ imA∗ ⇒ kerA ⊂ (imA∗ )⊥ .Ïóñòü òåïåðü x ∈ (imA∗ )⊥ .
Òîãäà (x, A∗ y) = y ∗ Ax = 0 ∀ y ∈ Cm . Âçÿâ y = Ax, ïîëó÷àåìy ∗ Ax = (Ax)∗ (Ax) = |Ax|2 = 0 ⇒ Ax = 0 ⇒ x ∈ kerA ⇒ (imA∗ )⊥ ⊂ kerA.Èòàê, kerA = (imA∗ )⊥ . Ìû óæå çíàåì, ÷òî ðàçìåðíîñòü îðòîãîãîíàëüíîãî äîïîëíåíèÿ ê imA∗ ðàâíà n − dim imA∗ = n − rankA = n − dim imA. 2 äåéñòâèòåëüíîñòè íàìè îáíàðóæåíî èíòåðåñíîå îáùåå ñâîéñòâî ÿäðà ìàòðèöû èîáðàçà ñîïðÿæåííîé ìàòðèöû.Òåîðåìà. Ïóñòü A ∈ Cm×n .
Òîãäà Cn è Cm ïðåäñòàâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè ñóììàìè âèäàCn = kerA ⊕ imA∗ ,Cm = kerA∗ ⊕ imA.Îòìåòèì äâà î÷åâèäíûõ ñëåäñòâèÿ. Îíè èíòåðåñíû, ïðåæäå âñåãî, òåì, ÷òî â òåõ æåôîðìóëèðîâêàõ ïåðåíîñÿòñÿ íà âàæíûå êëàññû îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé â ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ è ïîìîãàþò ïîëó÷àòü òàì ôàêòû î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòèðåøåíèé.Òåîðåìà Ôðåäãîëüìà. Äëÿ ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû Ax = b íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïðàâàÿ ÷àñòü b áûëà îðòîãîíàëüíà êî âñåì ðåøåíèÿì y îäíîðîäíîé ñîïðÿæåííîé ñèñòåìû A∗ y = 0.Àëüòåðíàòèâà Ôðåäãîëüìà.
Ëèáî ñèñòåìà Ax = b èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèåäëÿ ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè b, ëèáî îäíîðîäíàÿ ñîïðÿæåííàÿ ñèñòåìà A∗ y = 0 èìååòíåíóëåâîå ðåøåíèå.Çàäà÷à.Ïóñòü âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿâî âåùåñòâåííûõ íåïðåðûâíûõ íà[0, 1]a(t, τ )íåïðåðûâíà ïðè0 ≤ t, τ ≤ 1,ôóíêöèé ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåìàV ïðîñòðàíñò-(f, g) =R10f (t)g(t)dt.Å.
Å. Òûðòûøíèêîâ191Äîêàæèòå, ÷òî êàæäûé èç îïåðàòîðîâZ1A : f (t) 7→ f (t) −a(t, τ )f (τ )dτ,A0 : f (τ ) 7→ f (τ ) −0ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì èÇàäà÷à.Z1f (t)a(t, τ )dt0(Af, g) = (f, A0 g) äëÿ ëþáûõ ôóíêöèé f, g ∈ V . Äîêàæèòå òàêæå, ÷òî kerA⊥imA0 .Ôóíêöèÿa(t, τ ) íåïðåðûâíà è óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó −1 < a(t, τ ) < 1 ïðè 0 ≤ t, τ ≤ 1.Äîêàæèòå, ÷òî èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèåZ1x(t) −a(t, τ )x(τ )dτ = 0,0 ≤ t ≤ 1,0èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå â ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèéx(t) ∈ C[0, 1].192Ëåêöèÿ 28Ëåêöèÿ 2929.1Äèàãîíàëèçóåìûå ìàòðèöûÌàòðèöû, ïîäîáíûå äèàãîíàëüíûì ìàòðèöàì, íàçûâàþò äèàãîíàëèçóåìûìè èëè ìàòðèöàìè ïðîñòîé ñòðóêòóðû.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î äèàãîíàëèçàöèè 3 × 3-ìàòðèöû: a11 a12 a13p11 p12 p13p11 p12 p13λ1.λ2AP = P Λ ⇔ a21 a12 a23 p21 p22 p23 = p21 p22 p23 a31 a32 a33p31 p32 p33p31 p32 p33λ3Äàííîå ðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíî òðåì ðàâåíñòâàì a11 a12 a13p1jp1ja11 a12 a23 p2j = λj p2j ,a31 a32 a33p3jp3jj = 1, 2, 3.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çíà÷åíèå λj èçâåñòíî.
Òîãäà ýëåìåíòû j -ãî ñòîëáöà ìàòðèöû P óäîâëåòâîðÿþò îäíîðîäíîé ñèñòåìå 0p1ja11 − λja12a13 a11p2j = 0 .a12 − λja23(∗)p3ja31a32a33 − λj0Äàííàÿ ñèñòåìà äîëæíà èìåòü íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå ⇔ îïðåäåëèòåëü ìàòðèöûêîýôôèöèåíòîâ ðàâåí íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, λj óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþîòíîñèòåëüíî λ:a11 − λa12a13a12 − λa23 = 0.det a11(#)a31a32a33 − λÝòî êóáè÷åñêîå óðàâíåíèå âèäà λ3 − s2 λ2 + s1 λ − s0 = 0, ãäå, êàê ëåãêî âèäåòü,s2 = a11 + a22 + a33 ,s1a11 a12a11 a13a22 a23= det+ det+ det,a21 a22a31 a33a32 a33a11 a12 a13s0 = det a11 a12 a23 .a31 a32 a33193194Ëåêöèÿ 29Ìîæíî âñïîìíèòü, ÷òî âîïðîñîì î äèàãîíàëèçàöèè ìàòðèö ïîðÿäêà 3 ìû çàíèìàëèñüïðè èçó÷åíèè ëèíèé è ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà ïðè ïîèñêå òàêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, â êîòîðîé ìàòðèöà êâàäðàòè÷íîé ÷àñòè (âåùåñòâåííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöàïîðÿäêà 3) ñòàíîâèòñÿ äèàãîíàëüíîé.
129.2Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðûÏóñòü A ìàòðèöà ïîðÿäêà n è P îáðàòèìàÿ ìàòðèöà ñî ñòîëáöàìè p1 , . . . , pn .Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ðàâåíñòâî AP = P Λ ýêâèâàëåíòíî ñèñòåìå ðàâåíñòâApj = λj pj ,j = 1, . . . , n.Ýòè ðàâåíñòâà ïîäâîäÿò íàñ ê âàæíûì ïîíÿòèÿì ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ìàòðèöû èñîáñòâåííîãî âåêòîðà.Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü A ìàòðèöà ïîðÿäêà n. ×èñëî λ ∈ C è íåíóëåâîé ñòîëáåöx ∈ Cn , ñâÿçàííûå ñîîòíîøåíèåì Ax = λx, íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì èñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû A. Ïàðà λ, x èíîãäà íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííîé ïàðîéìàòðèöû A.Òåîðåìà. Ìàòðèöà A ïîðÿäêà n äèàãîíàëèçóåìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíàîáëàäàåò ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìîé n ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü p1 , . . . , pn ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ âåòêîðîâ ìàòðèöû A, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì λ1 , . . . , λn :Apj = λj pj , j = 1, . . . , n.⇔λ1..AP = P .,P = [p1 , . . . , pn ].λnÌàòðèöà A îáðàòèìà êàê ìàòðèöà ñ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè ñòîëáöàìè.hiÏðèìåð íåäèàãîíàëèçóåìîé ìàòðèöû: A = 00 10 . Äîïóñòèì, ÷òî−1 λ1 00 1 p11 p12p11 p12=0 λ2p21 p220 0 p21 p22⇒2 p11 p12 λ1 00 1 p11 p12.=p21 p220 λ20 0 p21 p22Îòñþäà p21 p22p11 λ1 p12 λ2=.00p21 λ1 p22 λ2Õîòÿ áû îäíî èç ÷èñåë λ1 , λ2 äîëæíî îòëè÷àòüñÿ îò íóëÿ. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòèλ1 6= 0 ⇒ p21 = 0 ⇒ p11 = 0. Ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå, ïîñêîëüêó ìàòðèöà ñ íóëåâûìñòîëáöîì íå ìîæåò áûòü îáðàòèìîé.
21  Ëåêöèè 20 áûëî äîêàçàíî, ÷òîïîäîáíà äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå Dëþáàÿ âåùåñòâåííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà A îðòîãîíàëüíîA = P DP −1 , ãäå P îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. ýòî îçíà÷àåò, ÷òîÝòî æå óòâåðæäåíèå ñêîðî ïîÿâèòñÿ êàê ñëåäñòâèå áîëåå îáùèõ ðåçóëüòàòîâ.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ29.3195Ñîáñòâåííûå âåêòîðû äëÿ ðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõçíà÷åíèéÒåîðåìà. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ïîïàðíî ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûìçíà÷åíèÿì ìàòðèöû, ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè.Ïóñòü x1 , .
. . , xm ñîáñòâåííûå âåêòîðû äëÿ ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λ1 , . . . , λm ìàòðèöû A. Ïóñòü α1 x1 + . . . + αm xm = 0. Óìíîæèì îáå ÷àñòè ñëåâàíà ìàòðèöó A:α1 λ1 x1 + . . . + αm λm xm = 0.Èç äàííîãî ðàâåíñòâà âû÷òåì ïðåäûäóùåå, óìíîæåííîå íà λm :α1 (λ1 − λm )x1 + . . . + αm−1 (λm−1 − λm )xm−1 = 0.Îòñþäà ÿñíî, ÷òî èç ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè âåêòîðîâ x1 , . . . , xm−1 âûòåêàëà áû ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü âåêòîðîâ x1 , .
. . , xm . Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøàåòñÿ ïðèìåíåíèåìèíäóêöèè. 2Ñëåäñòâèå. Åñëè ìàòðèöà ïîðÿäêà n èìååò n ðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, òîîíà äèàãîíàëèçóåìà.29.4Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèåÏóñòü λ ïðîèçâîëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû A. Ïðè ôèêñèðîâàííîì λ âñåñîîòâåòñòâóþùèå åìó ñîáñòâåííûå âåêòîðû x óäîâëåòâîðÿþò îäíîðîäíîé ñèñòåìå ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé(A − λI)x = 0.×èñëî λ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû Aíåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå ⇔ det(A − λI) = 0.⇔äàííàÿ ñèñòåìà èìååòÎïðåäåëåíèå.
Óðàâíåíèå det(A − λI) = 0 îòíîñèòåëüíî λ íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè-÷åñêèì óðàâíåíèåì ìàòðèöû A. Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ åñòü ìíîãî÷ëåí ñòåïåíèn îò λ, íàçûâàåìûé õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì ìàòðèöû A.Óòâåðæäåíèå. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí f (λ) = det(A−λI) ìàòðèöû A èìååòâèäf (λ) = (−1)n (λn − sn−1 λn−1 + sn−2 λn−2 − . . . + (−1)n s0 ),ãäå sk åñòü ñóììà âñåõ ìèíîðîâ ìàòðèöû A ïîðÿäêà n − k , ðàñïîëîæåííûõ íà ïåðåñå÷åíèè ñòîëáöîâ è ñòðîê ñ îäèíàêîâûìè íîìåðàìè.Äîêàçàòåëüñòâî. ×òîáû ïîëó÷èòü êîýôôèöèåíò sk , íóæíî ñðåäè n! ÷ëåíîâ îïðåäåëèòåëÿdet(A − λI) =Xdσσ∈Snâûáðàòü òå è òîëüêî òå ÷ëåíû dσ , êîòîðûå ñîäåðæàò ïðîèçâåäåíèå ðîâíî k äèàãîíàëüíûõ ÷ëåíîâ âèäà aii − λ (îíè è òîëüêî îíè ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè ñòåïåíè k îò λ), âêàæäîì èç íèõ âûäåëèòü ñëàãàåìîå ñòàðøåé ñòåïåíè âèäà (−λ)k cσ è ïðîñóììèðîâàòüïîëó÷åííûå êîýôôèöèåíòû cσ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
