Е.А. Григорьев - Числовые и функциональные ряды. Теория и практика (1111803)
Текст из файла
Глава 1.ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКАИ АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ1.1. Сравнение поведения функций. О-символикаВ этой, вводной, главе будет обсуждаться сравнительноеповедение функций, а также асимптотическое поведение последовательностей.1.1.1. Основные определенияВведем сначала основные определения (эти понятия частично уже известны из материала 1-го курса).Пусть R – числовая прямая.Определение 1. Окрестностью (²-окрестностью) точки x0 ∈ R называется множество Ω = {x ∈ R : |x − x0 | < ² },где ² > 0 – некоторое число.Окрестность Ω называется проколотой, если сама точкаx0 ей не принадлежит.Во многих случаях приходится рассматривать также расширенную числовую прямую, получаемую добавлением к Rбесконечно удаленной точки.Окрестностью точки x0 = ∞ называется множество Ω ={x ∈ R : |x| > K} , где K > 0 – некоторое число.Вводится понятие односторонней окрестности (полуокрестности).Если x0 ∈ R, ее правой полуокрестностью называется множество Ω+ = {x ∈ R : x0 < x < x0 + ²}, где ² > 0 – некотороечисло.3Иногда множество Ω+ называют окрестностью точки x0 +Если x0 = +∞ , ее окрестностью называется множество{x ∈ R : x > K} , где K > 0 – некоторое число.Аналогично определяются левая полуокрестность точки x0 ∈R , а также окрестность x0 = −∞ .Определение 2.
Пусть функции f (x) и g(x) заданы нанекотором множестве D ⊂ R .Говорят, что на множестве G ⊂ D³´f (x) = O g(x) , x ∈ G(читается: "о-большое от g(x)"), если существуют такая постоянная M , что при x ∈ G выполнено неравенство|f (x)| ≤ M |g(x)| .Определение 3. Пусть функции f (x) и g(x) заданы нанекотором множестве D, а x0 – предельная точка этого множества.³´Говорят, что f (x) = o g(x)при x → x0 ,(читается: "о-малое от g(x)"), если существует такая бесконечно малая при x → x0 функция α(x) , чтоf (x) = α(x) · g(x)для всех x из некоторой проколотой окрестности Ω точкиx0 , Ω ⊂ D .Определение 4. Пусть функции f (x) и g(x) заданы нанекотором множестве D, а x0 – предельная точка этого множества.Эти функции эквивалентны при x → x0 , если в некоторойпроколотой окрестности точки x0³´f (x) = g(x) + o g(x) .4Данное соотношение кратко записывается следующим образом:f (x) ∼ g(x), x → x0 (x ∈ D) .Замечания.
1) Соотношения, указанные в определениях1 - 4, называются отношениями порядка.2) В определении 2 в качестве множества G может выступать как все множество D , так и окрестность Ω точки x0 ,принадлежащая D (как в определениях 3 - 4).3) Отношения порядка из определений 3 - 4 следует рассматривать только как предельные, получающиеся в процессестремления переменной x к предельной точке множества D.Иногда, если из контекста ясно, о какой предельной точке x0этого множества идет речь, запись x → x0 опускают, хотя ипостоянно имеют ее в виду.4) Отношение эквивалентности является примером так называемого бинарного отношения; оно обладает свойствами рефлексивности, симметрии и транзитивности.5) Равенства, указанные в определениях 2 - 3, не являются равенствами в обычном смысле, для них не выполненосвойство симметрии.
А именно, ³когда´ мы говорим, например, что при x → x0 f (x) = o g(x) , это не значит, что³´o g(x) = f (x) .Знак равенства в записях, использующих символы o илиO , понимается как обозначение принадлежности функцииf (x) к некоторому множеству.1.1.2. Достаточные условия отношений порядкаПусть функции f (x) и g(x) заданы на некотором множествеD, а x0 – предельная точка этого множества.
Здесь допускается возможность x0 = ∞ (а также x0 = +∞ или x0 = −∞ ).Легко доказать следующие утверждения.5Утверждение 1. Если существует пределlimx→x0´то f (x) = O g(x) ,f (x)= A , A 6= ∞ ,g(x)³x → x0 .Утверждение 2. Если существуетlimx→x0³´то f (x) = o g(x) ,f (x)= 0,g(x)x → x0 .Утверждение 3. Если существуетlimx→x0то f (x) ∼ g(x),f (x)= 1,g(x)x → x0 .Замечания.
1) Условия, сформулированные в утверждениях 2 - 3, на практике обычно используют как определениядля "о"малого и эквивалентности соответственно. Мы тожебудем в основном придерживаться этого варианта определений.2) Условия утверждений 2 - 3 являются частными случаямиутверждения 1.3) Если в утверждениипредела³ 1 значение´³ A 6=´ 0; ∞ , тоодновременно f (x) = O g(x) и g(x) = O f (x) , x → x0 ,(т.е. f (x) и g(x) имеют одинаковый порядок при x → x0 ).Это соотношение записывают следующим образом:³´∗f (x) = O g(x) , x → x0 .6Другая возможная запись: f (x) ³ g(x) ,x → x0 .4) Из определений следует:а) если f (x) = O(1), x → x0 , то функция f (x) ограничена в проколотой окрестности точки x0 ;б) если f (x) = o(1),x → x0 , то f (x) – бесконечномалая функция в проколотой окрестности точки x0 .1.1.3.
Примеры1. Доказать, чтоa) sin x ∼ x, x → 0 ;b) sin x = o(x), x → ∞ ;c) sin x = O(x), x ∈ R .B a) Пусть D = R , x0 = 0 , f (x) = sin x , g(x) = x .Вычислимf (x)sin xlim= lim= 1.x→0 g(x)x→0xВ соответствии с утверждением 3 получаем sin x ∼ x, x → 0.b) Если x0 = ∞ , то sin x = o(x) , x → ∞ ,посколькуsin xlim= 0.x→∞xc) Пусть по-прежнему D = R .
Известно, что| sin x| ≤ |x| ∀x .Отсюда по определению 2 следует sin x = O(x), x ∈ RJ2. Доказать,³ что´ для m, n ∈ N , m < n³ , ´a) xn = o xm , x → 0 ;b) xm = o xn , x → +∞ .B Пусть D – числовая полуось x > −1, f (x) = xm ,g(x) = xn , m < n .³ ´na) Если x0 = 0 , то x = o xm , x → 0 , так какlimx→0xn= lim xn−m = 0 .mx→0x7b) Указанное равенство справедливо, потому что дляx0 = +∞xm1lim=lim=0 Jx→+∞ xn−mx→+∞ xnВ дальнейшем мы будем указывать лишь точку x0 , потомучто множество D обычно ясно из контекста.3.
Доказать, что при x → 0 :a) f (x) ³ g(x) ,где f (x) = xµ12 + sinx¶,g(x) = x ;b) f½(x) = o(g(x)) , где½x2 , x ∈ Q ,x, x ∈ Q,f (x) =g(x) =0, x ∈ I,0, x ∈ I.(Здесь Q и I обозначают множества рациональных и иррациональных чисел соответственно).B a) Так как¯¯¯¯1¯1 ≤ ¯2 + sin ¯¯ ≤ 3 ,x¯¯¯¯1то |f (x)| = |x| · ¯¯2 + sin ¯¯ ≤ 3 |x| и одновременноx|x| ≤ |f (x)| .³´Отсюда, согласно определению 2, следует f (x) = O g(x)³´и g(x) = O f (x) , т.е. f (x) ³ g(x) .Заметим при этом, что отношениеf (x)1= 2 + sing(x)xне имеет предела при x → 0 JB b) Очевидно, f (x) = x · g(x) .
Поскольку α(x) = x –бесконечно малая функция при x → 0, то по определению 3f (x) = o(g(x)) .8f (x),x→0 g(x)так как знаменатель дроби обращается в нуль в точках, скольугодно близких к a = 0 JЭти два примера показывают, что понятия О-большого ио-малого, основанные на утверждениях 1 и 2, не равносильныисходным определениям 2 и 3 соответственно.В то же время, как и в a), не существует предела limОчень часто проводится сравнение поведения данной функции f (x) со степенной функцией, т.е.
g(x) = xα .4. a) Доказать, чтоx2 + 1= O(x), x → ∞ .x−2B Требуемое равенство справедливо, так какx2 + 1lim= 1.x→∞ x(x − 2)Точнее, мы получили утверждение, чтоx2 + 1∼ x, x → ∞ Jx−2b) Исследовать асимптотическое поведение функцииx2 + 1f (x) =sin 3x при x → 0 .x−2B Для сравнения возьмем степенную функцию g(x) =C xα (C 6= 0) и вычислимx2 + 1 sin 3xsin 3x1f (x)= lim·=−·lim.limx→0 x − 2x→0 g(x)C xα2C x→0 xαПоследний предел существует и не равен нулю только при α =1 . Имеемf (x)1sin 3x3lim=−· lim=−=1x→0 g(x)2C x→0 x2C933при C = − , следовательно, f (x) ∼ − x , x → 0 J225.
Аналогично примеру 1 а) можно провести сравнения дляосновных элементарных функций. Таким образом, получаетсяизвестная из начального курса математического анализа таблица эквивалентных бесконечно малых функций при x → 0 :ex − 1 ∼ x ,ln(1 + x) ∼ x ,(1 + x)a − 1 ∼ a · x , a ∈ R ,sin x ∼ x ,x21 − cos x ∼,2tg x ∼ x ,arcsin x ∼ x ,arctg x ∼ x .Эти соотношения остаются в силе, если в них заменить xна некоторую бесконечно малую функцию α(x) : α(x) → 0при x → x0 .6. Используя таблицу эквивалентностей, решим задачу из4 b).Bx2 + 113f (x) =sin 3x ∼ − sin 3x ∼ − xx−222при x → 0 J7. Верно ли утверждение: x2 = o (f (x)) , x → 0 , еслиa) f (x) = x sin 2x ;b) f (x) = x cos(x2 ) ;√1c) f (x) = 5 5 x ln(1 − x) ;d) f (x) = arctg(x2 ) ?x10Ответ: a) неверно ; b) − d) верно.B Для случая a) имеемlimx→0x2x1= lim= 6= 0 ,f (x) x→0 sin 2x 2поэтому предлагаемое утверждение неверно.Справедливость b) следует из того, чтоx2xlim= lim= 0.x→0 f (x)x→0 cos(x2 )В случае c) получаемx2x2x2lim= lim √= lim √=x→0 f (x)x→0 5 5 x ln(1 − x)x→0 5 5 x (−x)=−т.е.
утверждение верно.√15lim x4 = 0 ,5 x→0d)x2x2x2lim= lim x ·= lim x · 2 = 0 ,x→0 f (x)x→0arctg(x2 ) x→0xпоэтому утверждение верноJµ ¶18. Верно ли утверждение: f (x) = O, x → ∞,xесл赶31a) f (x) = x ln 1 + 2 ; b) f (x) = 2 arctg(x2 ) ;xµx ¶µ ¶112+xc) f (x) = (2x + 1) · sin·cos?;d)f(x)=x23x − 10xОтвет: Верны a) − c) , неверно d) .11B Равенство a) верно, поскольку существуетµ¶ ½¾1332lim f (x) : = lim x · ln 1 + 2 = y = 2 =x→∞x x→∞xx= lim 3y→0ln(1 + y)= 3.yВ случае b) поскольку lim arctg(x2 ) =x→∞π, то211lim f (x) : = limarctg(x2 ) = 0 ,x→∞x→∞xxµ ¶µ ¶11поэтому f (x) = o, значит, и f (x) = O, x → ∞.xxУтверждение в случае c) верно, так какµ ¶11x(2x + 1)lim f (x) : = lim x (2x + 1) · sin=lim= 2.x→∞x→∞x x→∞x2x2µ ¶11Здесь мы учли, что sin∼, x → ∞.x2x2В случае d) имеемµ ¶11x(2 + x)lim f (x) : = lim· cos=x→∞x x→∞ 3x − 10xµ ¶x+21= lim x ·· cos= ∞,x→∞3x − 10xтак какµ ¶1x+21= ,lim· cosx→∞ 3x − 10x3поэтому утверждение неверно J19.
Рассмотрим функцию f (x) = x2 · sinв проколотойxокрестности точки x = 0 . Надо проверить, какие из следующих ниже утверждений верны, а какие – нет (при x → 0 ) :12(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)1x1x2 · sinx1x2 · sinx1x2 · sinx1x2 · sinx1x2 · sinx1x2 · sinx1x2 · sinxx2 · sin= o(1) ,= O(1) ,= o(x) ,= O(x) ,= o(x2 ) ,= O(x2 ) ,∼ x,∼ x2 .Ответ: Верны (a) − (d), (f ). Неверны (e), (g), (h).B Например, справедливость (c) и (d) следует из того, чтоf (x)1= lim x · sin = 0 .x→0 xx→0xlimРавенство (f ) следует из оценки |f (x)| ≤ x2 .f (x)1Соотношение (e) неверно, так как=sinx2xне является бесконечно малой функцией при x → 0 (не имеетпредела) J1.1.4. Вопросы и задачи1.
Докажите утверждения 1 - 3.2. Приведите примеры, показывающие, что условия утверждений 1 - 3 не являются необходимыми.133. Приведите примеры функций f (x), для которых справедливоa) f (x) = o (x), x → 0 ; b) f (x) = O(x), x → 0 ;c) f (x) = o (x), x → 5 ; d) f (x) = O(x), x → 5 ;e) f (x) = o(x),µ ¶x → ∞ ;µ ¶ x → ∞ ; f ) f (x) = O(x),11, x → 0 ; h) f (x) = O, x → 0;g) f (x) = oxxµ ¶µ ¶11, x → ∞ ; j) f (x) = O, x → ∞.i) f (x) = oxx4.a)c)e)5.a)c)e)g)6.Верно ли утверждение: x3 = o (f (x)) , x → 0 , еслиf (x) = x ; √ b) f (x) = x4 ;f (x) = x2 3 x ; d) f (x) = (x + 1)2 ;f (x) = (x arctg|x|)2 ; f ) f (x) = (x cos x)2 ?1Верно ли утверждение: 2 = O (f (x)) , x → ∞ , еслиxµ ¶´1 ³ |x|11f (x) = 2 e + 9 ; b) f (x) = · sin;xxµ ¶µ x¶221f (x) = x · sin;d)f(x)=·cos;2xµxx¶311f (x) = · arctg;f)f(x)=· arctg(x2 + 3) ;2xxx1−xf (x) = 3?x +4Проверьте справедливость эквивалентностей из примера5.17.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
