Е.А. Григорьев - Числовые и функциональные ряды. Теория и практика (1111803), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Исследование сходимости ряда на основе определения 3 предполагает либо вычисление предела последовательности частичных сумм {sn } (см. примеры a) − c) ), либодоказательство его существования на основе теории пределов(пример d)). Заметим, что в первом случае мы находим суммуряда (тем самым доказав его сходимость).Однако на практике эти методы применяются редко, таккак обычно последовательность {sn } имеет сложный вид. Тогда решить вопрос о сходимости {sn } , а тем более вычислитьее предел, не представляется возможным. Поэтому используются другие методы (так называемые признаки сходимости),с помощью которых и исследуется сходимость рядов.2.1.2.
Простейшие утверждения о сходимостиУтверждение 1. Из определения 3 следует:Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число s, что∀² > 0 ∃N = N (²), ∀n > N : |s − sn | < ² .Другими словами, необходимо и достаточно, чтобы последовательность остатков ряда была бесконечно малой:rn = o(1) , n → ∞ .Утверждение 2 (необходимое условие сходимостиряда).Если ряд (1) сходится, тоlim an = 0 .n→∞38(3)B an = sn − sn−1 . Так как ряд сходится, существуетlim sn = s , следовательно, существуетn→∞lim an = lim (sn −sn−1 ) = lim sn − lim sn−1 = s−s = 0n→∞n→∞n→∞n→∞JЗамечания. 1) Для решения задач важно очевидное следствие последнего утверждения:∞XЕсли не выполнено условие lim an = 0 , то рядann→∞расходится.n=12) Условие (3) не является достаточным.∞X1√B Покажем, что рядрасходится, в то времяnn=11как lim √ = 0 , т.е.
необходимое условие сходимости выn→∞nполнено.В самом деле, рассмотрим оценку частичной суммы:√11nsn = 1 + √ + · · · + √ > √ = n .nn2Отсюда следует, что не существует конечного предела последовательности {sn }, значит, ряд расходится JПримеры.Доказать расходимость следующих рядов, используя необходимое условие сходимости:∞Xa)q k = 1 + q + q 2 + · · · + q n + · · · , где |q| ≥ 1 .n=0B Этот ряд уже был рассмотрен в примере a) п.
2.1.1.Здесь мы остановимся на доказательстве его расходимости.39Действительно, при |q| ≥ 1 , очевидно, не выполнено условиеlim q n = 0 . А именно, для q > 1 этот предел равен +∞ ,n→∞для q = 1 предел равен 1, а при q ≤ −1 он не существуетJ∞X2n3.b)3+13nn=1B Ряд расходится, так как для него не выполнено необходимое условие сходимости:2n32lim=6= 0n→∞ 3n3 + 13c)∞XJsin n .n=1B Ряд расходится, поскольку не выполнено необходимоеусловие сходимости.В самом деле, предположим, существует lim sin n = 0 .n→∞Посколькуsin(n + 1) = sin n cos 1 + cos n sin 1 ,имеем cos n sin 1 = sin(n + 1) − sin n cos 1 .Из предположения следует, что существует предел приn → ∞ правой части последнего равенства, значит, существуетlim (cos n · sin 1) = lim sin(n + 1) − cos 1 · lim sin n = 0 .n→∞n→∞n→∞Отсюда с учетом sin 1 6= 0 получаем lim cos n = 0 .n→∞С другой стороны, предельный переход в основном тригонометрическом тождестве даетlim (sin2 n + cos2 n) = 1 ,n→∞40что противоречит lim sin n = lim cos n = 0 .n→∞n→∞Таким образом, равенство lim sin n = 0 не имеет места Jn→∞2.1.3.
Критерий Коши сходимости рядаТеорема. Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы∀² > 0 ∃N = N (²), ∀n > N, ∀p ∈ N : |an+1 + · · · + an+p | < ² .B По определению сходимость ряда – это сходимость последовательности его частичных сумм {sn }. Используя критерий Коши для последовательности, получаем: {sn } сходитcятогда и только тогда, когда∀² > 0 ∃N = N (²), ∀n > N, ∀p ∈ N : |sn+p − sn | < ² .Но¯ n+p¯¯X ¯¯¯|sn+p − sn | = |an+1 + · · · + an+p | = ¯ak ¯¯¯Jk=n+1Примеры.Исследовать сходимость рядов с помощью критерия Коши.a)∞X1.3nn=1B Используя очевидное неравенствои оценку (2), рассмотрим|an+1 + · · · + an+p | =4111< 2,3kkk > 1,1111+···+<+···+<(n + 1)3(n + p)3(n + 1)2(n + p)2111111< −+ ··· +−= −.n n+1n+p−1 n+p n n+pИтак,=|an+1 + · · · + an+p | <111−< <²n n+p n∀p ∈ N ,· ¸1если n > N , где N =.
Ряд сходится согласно критерию²Коши J∞X1(гармонический ряд).b)nn=1B Рассмотрим¯ n+p ¯¯ X 1¯1pn11¯¯+ ··· +>== ,¯¯=¯k¯ n + 1n + p n + p 2n 2k=n+1если p = n. Таким образом,∃² =1> 0, ∀N, ∀n > N, ∃p = n :2|an+1 + · · · + an+p | > ² ,т.е. по критерию Коши ряд расходится∞Xcos(n!)c).3nn=1JB Рассмотрим¯¯¯ cos(n + 1)!¯cos(n+p)!¯≤|an+1 + · · · + an+p | = ¯¯+···+(n + 1)3(n + p)3 ¯42¯¯¯¯¯ cos(n + 1)! ¯¯ cos(n + p)! ¯11¯ +· · ·+ ¯¯≤+· · ·+.≤ ¯¯¯¯¯333(n + 1)(n + p)(n + 1)(n + p)3Далее можно полностью повторить оценки примера a).
Поэтому получаем|an+1 + · · · + an+p | <1<²n∀n > N , ∀p ∈ N ,так что ряд сходится J∞X2 + sin npd).n·(n+1)n=1B Рассмотрим |an+1 + · · · + an+p | =¯¯¯ 2 + sin(n + 1)¯2+sin(n+p)¯¯= ¯p+ ··· + p¯≥¯ (n + 1) · (n + 2)(n + p) · (n + p + 1) ¯≥p1+ ··· + p1>(n + 1) · (n + 2)(n + p) · (n + p + 1)11>p+ ··· + p=(n + 2) · (n + 2)(n + p + 1) · (n + p + 1)11pnn1=+ ··· +>=>= ,n+2n + p + 1 n + p + 1 2n + 1 3n 3если p = n > 1. (Мы использовали очевидные соотношения|2 + sin k| = 2 + sin k ≥ 1и идею решения задачи b) ).Таким образом,1> 0, ∀N, ∀n > N, ∃p = n : |an+1 + · · · + an+p | > ² ,3и по критерию Коши ряд расходится J∃² =43∞X{ln n}.n3n=2e)B Здесь запись {ln n} обозначает дробную часть числаln n . Известно, что 0 ≤ {ln n} < 1 .Оценим сумму¯¯¯ {ln(n + 1)}¯{ln(n+p)}¯<|an+1 + · · · + an+p | = ¯¯+···+¯3n+13n+p11111+···+<+···+++ ··· =3n+1 µ3n+p ¶ 3n+13n+p 3n+p+111111== n+1 1 + + · · · = n+1 ·, ∀p ∈ N .3332 · 3n1 − 13<Поэтому, очевидно, ∀² > 0 найдется такой номер N , что|an+1 + · · · + an+p | < ²так что ряд сходится∞Xln nf).5/2nn=1∀n > N , ∀p ∈ N ,J¡¢Поскольку ln n = o n1/2 при n → ∞ , то найдетсяln nтакой номер N , что для n > N имеем< 1 (см.
п.n1/21.3.5) . Тогда¯¯¯ ln(n + 1)¯ln(n+p)¯=|an+1 + · · · + an+p | = ¯¯+···+(n + 1)5/2(n + p)5/2 ¯B=1ln(n + p)1ln(n + 1)·+···+·<(n + 1)1/2 (n + 1)2(n + p)1/2 (n + p)211<+···+.(n + 1)2(n + p)244Далее, используя оценку (2) и повторяя рассуждения, приведенные в примере a) , получаем сходимость данного ряда J2.1.4. Некоторые свойства числовых рядов∞∞XXa) Рядыan иan , где m > 1, сходятся иn=1расходятся одновременно.n=mB Доказательство следует из того, что критерий Кошисходимости одного из этих рядов является одновременно критерием Коши сходимости и второго ряда JЗамечание.
Утверждение a) означает, что отбрасывание,добавление или изменение любого конечного числа членов данного ряда не влияет на его сходимость (но может повлиять насумму).b) Пусть c 6= 0 – фиксированное число. Тогда сходимость∞∞XXрядаan эквивалентна сходимости рядаc · an . Приn=1n=1этом если s – сумма ряда (1), то второй ряд имеет суммуc · s.B Перейдем к рассмотрению частичных сумм этих рядов,которые равны соответственно sn и c · sn . Утверждение следует из того, что последовательности {sn } и {c · sn } при c 6= 0сходятся и расходятся одновременно JЗамечание. Если c = 0, то второй ряд сходится всегда.∞∞XXc) Пусть рядыan иbnn=1n=1сходятся и имеют суммы A и B соответственно.
Тогда ряд45∞X(an + bn )n=1сходится и имеет сумму A + B .B Обозначим частичные суммы данных рядовAn = a1 + a2 + · · · + an , Bn = b1 + b2 + · · · + bn .По условию lim An = A , lim Bn = B .n→∞n→∞Тогда частичные суммы третьего ряда имеют видCn = (a1 + b1 ) + · · · + (an + bn ) == (a1 + a2 + · · · + an ) + (b1 + b2 + · · · + bn ) = An + Bn .По теореме о сумме сходящихся последовательностей существуетlim Cn = lim (An + Bn ) = lim An + lim Bn = A + Bn→∞n→∞n→∞n→∞J2.1.5. Вопросы и задачи1. Исходя из определения, докажите сходимость следующих рядов и найдите их суммы:1 11a) 1 − + −+ ··· ;3 9 27111b)+++ ··· ;1·3 3·5 5·7111c)+++ ··· ;1·3·5 3·5·7 5·7·9∞ ³X√√√ ´d)n+2−2 n+1+ n ;n=146e) q sin α + q 2 sin 2α + · · · + q n sin nα + · · · (|q| < 1) ;f ) q cos α + q 2 cos 2α + · · · + q n cos nα + · · · (|q| < 1) .2.
Известно, что∞Xan ?lim an = 0 .n→∞Обязан ли сходиться рядn=13. Докажите расходимость рядов, используя необходимоеусловие сходимости:¶2n√∞∞ µ∞XXXnnna);b);c);n+2n+1ln(n+1)n=1n=1n=1pppd) 0, 001 + 0, 001 + 3 0, 001 + · · · + n 0, 001 + · · · ;e)cos α + cos 2α + · · · + cos nα + · · · ;∞Xn!f).n2n=14. Исследуйте сходимость рядов, используя критерий Коши:∞∞XXcos (2n + 5)sin (n5 );b);a)n22nn=1n=1c)∞X1 + cos2 n√;nn=1e)∞Xsin n1;nn=15.
Пусть рядf)∞Xd)∞Xparctg nn · (n + 1)n=1√∞Xsin nx · arctg ( n + 3)n2n=1ann=1;∀x ∈ R .сходится. Докажите, что полу-ченный из него в результате группировки членов (без переста47новок) ряд∞XAnтакже сходится и имеет ту же сумму.n=1Докажите, что обратное неверно.2.2. Знакопостоянные ряды.Сходимость рядов с неотрицательными членами2.2.1. Знакопостоянные рядыОпределение. Ряд называется знакопостоянным, еслиего члены an не меняют знака ∀n ≥ n0 .Заметим, что в соответствии со свойством a) п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
