Е.А. Григорьев - Числовые и функциональные ряды. Теория и практика (1111803), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Для функции f (x) = x2 · sin проверьте, какие из восьxми утверждений примера 9 верны, а какие – нет, если x → ∞ .141.2. Действия с отношениями порядка1.2.1. Основное утверждениеТеорема 1. Пусть функция f = f (x) определена на некотором множестве D. Пусть x0 – предельная точка этогомножества, причем функция f (x) не обращается в нуль внекоторой окрестности этой точки (за исключением, бытьможет, самой точки x0 ). Тогда при x → x0 имеют местоследующие утверждения:1) o(f ) + o(f ) = o(f ) ;2) O(f ) + O(f ) = O(f ) ;3) O(f ) + o(f ) = O(f ) ;4) o(o(f )) = o(f ) ;5) O(O(f )) = O(f ) ;6) O(o(f )) = o(f ) ;7) o(O(f )) = o(f ) .B Докажем, например, первые два соотношения:1) o(f ) + o(f ) = o(f ).Для левой части F (x) = g1 (x) + g2 (x) доказываемого равенства, где g1 (x) = o(f (x)) , g2 (x) = o(f (x)) при x → x0 , имеемg1 (x) + g2 (x)F (x)= lim= 0,limx→x0x→x0 f (x)f (x)так какgi (x)= 0 (i = 1, 2) .limx→x0 f (x)15Следовательно, F (x) = o(f (x)), что и требовалось доказать.2) Пусть F (x) = g1 (x) + g2 (x) , где|g1 (x)| ≤ M1 |f (x)| , |g2 (x)| ≤ M2 |f (x)| ,M 1 , M2 > 0 ,для всех x из некоторой проколотой окрестности точки x0 .Тогда для этих значений x|F (x)| ≤ |g1 (x)| + |g2 (x)| ≤ M1 |f (x)| + M2 |f (x)| == (M1 + M2 ) |f (x)| = M |f (x)| ,M = M1 + M2 > 0 ,что и требовалось доказать.Остальные соотношения доказываются аналогичным образом JЗамечания.
1) Все равенства в утверждении теоремы 1читаются слева направо (см. также замечание 5) п. 1.1.1).2) Обратите внимание на то, что имеют место соотношенияo(f ) − o(f ) = o(f ),O(f ) − O(f ) = O(f ) ,т.е. в правой части не нуль.1.2.2. Сравнения со степенной функциейКак было отмечено выше, часто приходится сравнивать поведение функций при x → x0 со степенями (x − x0 )n .
Приэтом говорят, что бесконечно малая (x − x0 )n , n > 0 , имеетпорядок n .Если x → ∞ , то функция xn , n > 0 , является бесконечнобольшой порядка n .Если имеет место равенствоf (x) = Cn (x − x0 )n + Cn+1 (x − x0 )n+1 + · · · +16+Cn+k (x − x0 )n+k + o((x − x0 )n+k ) ,x → x0( Cn 6= 0 ),то выражение Cn (x − x0 )n называется главным членом, аo((x − x0 )n+k ) – остаточным членом асимптотического представления f (x) при x → x0 .Замечание.член может иметь другой вид,¡ Остаточный¢n+kнапример, O (x − x0 ).Полезные соотношения (частные случаи сформулированных в теореме 1 утверждений) дает следующая теорема.Теорема 2.
Пусть на некотором множестве D , для которого x0 – предельная точка, определена бесконечно малаяфункция α = α(x) : α(x) → 0 при x → x0 , причем функция α(x) не обращается в нуль в некоторой окрестностиэтой точки (за исключением, быть может, самой точкиx0 ). Пусть m , n ∈ N . Тогда справедливы следующие утверждения:1) o(αn ) = o(αm ) , m ≤ n ;2) O(αn ) = O(αm ) ,m ≤ n;3) o(αm ) + o(αn ) = o(αm ) ,m ≤ n;4) O(αm ) + O(αn ) = O(αm ) ,m ≤ n;5) o(αm ) · o(αn ) = o(αm+n ) ;6) O(αm ) · O(αn ) = O(αm+n ) ;7) (o(α))n = o(αn ) ;8) (O(α))n = O(αn ) ;9) α · o(αn ) = o(αn+1 ) ;10) α · O(αn ) = O(αn+1 ) ;o(αn )11)= o(αn−1 ) , n > 1 ;α17O(αn )12)= O(αn−1 ) , n > 1 .αЗамечание.
Аналогичные утверждения можно сформулировать для бесконечно больших функций.1.2.3. Примеры1. Найти главный член асимптотического представленияследующих функций:a) f (x) = 2x3 + x4 при x → 0 ;b) f (x) = 2x3 + x4 при x → ∞ ;xc) f (x) = 3при x → 0 ;2x + 5xd) f (x) = 3при x → ∞ .2x + 5a) Ответ: 2x3 .B При x → 0 f (x) = 2x3 + x4 = 2x3 + o(x3 ) Jb) Ответ: x4 .B При x → ∞3µ4f (x) = 2x + x = xxc) Ответ:.5421+x¶¡ ¢= x4 + o x4Jµ¶−1xx2 3B При x → 0 получаем f (x) = 3=1+ x2x+555µ¶x2x=1 − x3 + o(x3 ) = + O(x4 ) J5551d) Ответ:.2x21→ 0 , поэтомуB Для x → ∞ имеемxµ¶−1xx5f (x) = 3=1+ 3=2x + 5 2x32x18µµ ¶¶µ ¶11151= 2 +O= 2 1− 3 +o32x2xx2xx5При решении c) − d) использовано равенство(1 + x)−1 = 1 − x + o(x) , x → 0 .J2.
Найти асимптотические представления при x → 0 с точностью до членов второго порядка включительно следующихфункций:a) f (x) = cos x ; b) f (x) = ex .x2B a) Докажем,что при x → 0 cos x = 1− +o(x2 ) . Для2этого вычисли쵶2 sin2 x2sin x2 21 − cos xlim= lim= lim= 1.xx2x2x→02x→022x→02x, поэтому2x2+ o(x2 ) , x → 0 .cos x = 1 −2Можно показать, что остаточный член имеет вид o(x3 ) , или,еще точнее, O(x4 ) JСледовательно, 1 − cos x ∼B b) Уже известно, что ex − 1 ∼ x , x → 0 . Используяпервое правило Лопиталя, вычислим пределex − 1 − xex − 1 1lim= lim= .x→0x→0x22x2x2xПоэтому при x → 0 имеем e − 1 − x ∼, т.е.2x2x+ o(x2 ) Je =1+x+23.
Найти асимптотическое разложение при x → 0 функцииf (x) = sin x , выписывая члены до третьего порядка включительно.19B Известно, что sin x ∼ x , при x → 0 , т.е. sin x − x =o(x) . Найдем−2 sin2 x2sin x − xcos x − 1lim= lim= 0.= limx→0x→0x→0x22x2xЭто означает, что sin x − x = o(x2 ) . Теперь найдем пределlimx→0sin x − xcos x − 11= lim=−32x→0x3x6(при вычислении пределов использовались правило Лопиталяи результат примера 2a) ) .¡ ¢Последнее равенство означает, что sin x − x = O x3 , аточнее¡ ¢x3sin x = x −+ o x3J61.2.4. Уточнение основных разложенийПолученные в примерах 1 - 2 результаты уточняют таблицуэквивалентностей из п.5 раздела 1.1.3.Приведем более точную таблицу асимптотических разложений основных элементарных функций при x → 0 (ееследует запомнить):x2e =1+x++ O(x3 ) ;2xx2ln(1 + x) = x −+ O(x3 ) ;2a(a − 1) 2(1 + x)a = 1 + ax +x + O(x3 ) ;23¡ ¢x+ O x5 ;sin x = x −620x2cos x = 1 −+ O(x4 ) ;2¡ ¢tg x = x + O x3 ;¡ ¢arcsin x = x + O x3 ;¡ ¢arctg x = x + O x3 ;¡ ¢x3ex − e−xshx ==x++ O x5 ;26x−xe +ex2=1++ O(x4 ) .chx =221.2.5.
Случай числовых последовательностейДля пары числовых последовательностей {fn } и {gn } , n ∈N , так же, как это сделано выше для функций, можно ввестиотношения порядка при n → ∞ (т.е. понятия о-малое, Обольшое, эквивалентность). Аналогичный смысл имеют понятия асимптотического представления (разложения), главногои остаточного членов.Рассмотрим примеры.Найти главный член асимптотического представления приn → ∞ следующих последовательностей:an2a) fn =; a, b 6= 0 ;b) fn = 5;bn + c2n + n3 − 1√√11c) fn = n2 + 1 − n2 − 3 ;d) fn = e n2 − ch ;n122narctgn arctg nn;f ) fn =.e) fn =n3 + 2n3 + 21B При n → ∞ последовательностьявляется бесконечноnмалой, поэтому мы будем использовать таблицу асимптотических разложений основных элементарных функций 1.2.4 .21aa1c ´−1a ³a) fn ==1+=c =bn + c bn 1 + bnbnbnµµ ¶¶µ ¶c11aa1−+O+O==.2bnbnnbnn2aТаким образом, заменяя при n → ∞ выражение fn =bn + ca1на, мы совершаем ошибку, которая имеет порядок 2 Jbnnµ ¶n2n2111B b) fn = 5=·=+o,2n + n3 − 1 2n5 1 + 2n1 2 − 2n1 52n3n3посколькуµlimn→∞Bp111+ 2 − 52n2np¶=1Jn2 + 1 − n2 + 3√c) fn =+1−−3= √=n2 + 1 + n2 − 3µ ¶1142q= q= +o,n 1+ 1 + 1− 3nnn2n2n2так какn2Ãrlimn→∞1+1+n2r1−3n2!= 2.Приведем теперь более общий способ решения этого примера:õ¶ 12 µ¶ 21 !pp13fn = n2 + 1 − n2 − 3 = n ·1+ 2− 1− 2=nn22µµ ¶ µµ ¶¶¶1113− 1− 2 +O==n· 1+ 2 +O42nn2nn4µµ ¶µ ¶¶2121=n·+O=+O, n→∞ Jn2n4nn3Bµ ¶ µµ ¶¶111111d) fn = e n2 −ch = 1+ 2 +O−1++O=nnn42n2n4µ ¶11= 2 +O, n→∞ J2nn4Bµ ¶n2 arctg nπ1 arctg n1e) fn ==,=+on3 + 2n 1 + n232nnπтак как arctg n →для n ∈ N , n → ∞ J2B¡¡ ¢¢n2 n1 + o n1n2 arctg n1f ) fn ===n3 + 2n3 + 2µ ¶11n (1 + o(1))¢== 3 ¡+o, n→∞ Jn2n2n 1 + n231.2.6.
Вопросы и задачи1. Докажите утверждения теоремы 1.2. Докажите утверждения теоремы 2.3. Пусть m , n ∈ N . Докажите, что для x → ∞ имеютместо равенства:a) O(xm ) = O(xn ) ,m ≤ n;b) O(xm ) + O(xn ) = O(xn ) ,m ≤ n;c) O(xm ) · O(xn ) = O(xm+n ) .234. Найдите асимптотическое разложение при x → 0 функции f (x) , выписывая члены до второго порядка включительно:a) f (x) = ln(1 + x) ; b) f (x) = ax − 1 (a > 0) .5. Найдите главный член асимптотического представленияследующих функций:x + sin xa) f (x) = 2при x → 0 ;x +1x + sin xb) f (x) = 2при x → ∞ ;√x + 1 p4c) f (x) = x + 1 − px2 + 4x + 1 при x → 0 ;√4d) f (x) = √x + 1 − x2 + 4x + 1 при x → +∞ ;3x · arctg x2e) f (x) =при x → 0 ;1 + x2√3x · arctg x2f ) f (x) =при x → ∞ .1 + x26.
Определите порядок бесконечно малой при x → 0 функции f (x) :pa) f (x) = px − sin |x| ; b) f (x) = tg2 (2x2 ) − 3x5 ;c) f (x) = 1 − 2x4 +x4 −1 ; d) f (x) = x cos x+ln(1−x) ;√x2x2e) f (x) =+ ln(cos x) ; f ) f (x) = e− 4 − cos x .27. Найти главный член асимптотического представленияпри n → ∞ следующих последовательностей:p√2n + 1 2a) fn = 2− ;b) fn = n + n ;n +1 nsr1115+√ ;c) fn =d) fn = 1 − cos ;nnnµ¶√¡√¢112e) fn = ch − cos ; f ) fn =n − n − 1 · ln 1 +.nnn241.3. Шкала роста (убывания)основных элементарных функций ипоследовательностей1.3.1. Сравнение асимптотического поведения основных функцийРассмотрим на множестве D = {x : x > 0 } нескольковозрастающих функций и изучим их поведение при x → +∞ .Утверждение 1. Для функций из таблицыlnα x(α > 0)xk(k > 0)ax(a > 1)имеет место равенствоf (x) = o(g(x)) , x → +∞ ,если функция f (x) в этой таблице предшествует g(x) .Замечание.
Приведенная выше таблица (которую мы назовем шкалой роста) может быть продолжена и вверх, и вниз.Например,ln ln x = o(ln x) , x → +∞ ,³ x´xa = o ab , x → +∞ , если a , b > 1 .Доказательство утверждения 1 проводится вычислениемсоответствующих пределов.B Например,limx→+∞lnα x=0xk25при k > 0 и любом α .Действительно, при α ≤ 0 результат очевиден, а для α > 0предел можно вычислить, используя правило Лопиталя.Остальные соотношения доказываются аналогичным образом JРассмотрим на том же множестве D = {x : x > 0 } приx0 = 0+ несколько убывающих функций и составим шкалуубывания.Утверждение 2. Для функций из таблицы1ax(0 < a < 1)xk (k > 0)µ ¶1(α < 0)lnαxимеет место равенствоf (x) = o(g(x)) , x → 0+ ,если функция f (x) в этой таблице предшествует g(x) .Д о к а з а т е л ь с т в о проводится аналогично доказательству утверждения 1.1.3.2.
Случай числовых последовательностейРассмотрим далее несколько числовых последовательностей,которые являются дискретными аналогами элементарных функций.Утверждение 3. Имеет место следующая шкала ростачисловых последовательностей:lnα nnk26(α > 0)(k > 0)an(a > 1)n!гдеfn = o (gn ) , n → ∞ ,если последовательность {fn } в этой таблице предшествует {gn } .B Доказательство также проводится вычислением соответствующих пределов. Заметим только, что эта шкала дополнена последовательностью {n!} JЗамечание.
Таблицы, приведенные в утверждениях 2 - 3,также могут быть продолжены и вверх, и вниз.1.3.3. Простейшее неравенство как следствие отношения порядкаСформулируем далее два очевидных утверждения.Лемма 1. Пусть функции f (x), g(x) , определены на некотором множестве³´ D , имеющем предельную точку x0 . Если f (x) = o g(x) , x → x0 , то существует проколотаяокрестность точки x0 , в которой |f (x)| < |g(x)| .B По условию леммы существует такая бесконечно малаяпри x → x0 функция α(x) , чтоf (x) = α(x) · g(x)для всех x из некоторой проколотой окрестности точки x0 .Но так какlim α(x) = 0 ,x→x0то в достаточно малой окрестности точки x0 справедливо неравенство |α(x)| < 1 , откуда и вытекает утверждение леммыJ27Соответствующее утверждение верно для числовых последовательностей, а именно:Лемма 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
