Е.А. Григорьев - Числовые и функциональные ряды. Теория и практика (1111803), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

п. 1.3.5), либо непосредственными вычислениями.)B a) Зафиксируем произвольно взятое число p . Известно(см. 1.3.2), что√4lnp k = o( k) при k → ∞ .√Поэтому найдется такое число k0 = k0 (p), что lnp k < 4 k∀k > k0 , тогда√4lnp kk10 < √ < √ = 5 ∀k > k0 .k kk kk4Так как сходится ряд∞X15 , исходный ряд также сходится4kk=1по первому признаку сравнения при любом p JB b) Для p ≤ 1 справедливы неравенстваln k11>≥,kpkpk73k > 2,поэтому данный ряд расходится в силу признака сравнения.Пусть p > 1 . Тогда найдется такое число ² > 0 , чтоp − ² > 1 .

Так какln k = o(k ² ) при k → ∞ ,имее쵶ln k11²= p · o(k ) = o.kpkk p−²∞X1, где p−² > 1 ,Поскольку сходится рядk p−²k=1ряд при p > 1 также сходится JисходныйB c) Покажем, что для достаточно больших значений kверно неравенствоpk ·e√− k1< 2k⇔ kp+2√<ek.(7)Действительно,limk→∞k p+2e√k½=√ ¾x2(p+2)x= k= 0 ∀p ,=limx→+∞k = x2exкак следует из шкалы роста (см. п. 1.3.2). Поэтому найдетсяk p+2√такое число k0 = k0 (p) , что< 1 ∀k > k0 , откудаe k∞X1и следует (7). Из сравнения со сходящимся рядомk2k=1следует сходимость данного ряда JB d) Преобразуем выражение a−1k , используя основноелогарифмическое тождество:2ln ln ka−1= eln ln k·ln ln k = e(ln ln k) .k = ln k74Заметим, что при достаточно больших значениях k справедливо неравенство(ln ln k)2 < ln k .В самом деле, это следует из того, что (ln ln k)2 = o(ln k) ,k → ∞ , так какlimk→∞(ln ln k)2(ln x)2= { x = ln k } = lim=x→+∞ln kx= lim 2 ln x ·x→+∞1= 0.xПоэтому11− ln k−(ln ln k)2>e==e∀k > k0 ,ln k ln ln kkоткуда согласно первому признаку сравнения следует расходимость данного ряда Jak =2.3.5.

Вопросы и задачи.1. Пусть функция f (x) определена и непрерывнаприZ +∞f (x)dx схоx ≥ 1 , f (x) ≥ 0 , несобственный интегралдится. Обязан ли ряд∞Xmf (n) сходиться?n=1Указание. Рассмотрите функцию, определенную следующим образом:·¸11f (x) = 1 − n2 · |x − n| , если x ∈ n − 2 ; n + 2 , n ≥ 2 ;nnf (x) = 0 в остальных точках x ≥ 1 .∞X2. Дан числовой ряд с неотрицательными членамиan .n=175µ ¶1, n → ∞ , сходиа) Следует ли из условия an = onмость этого ряда ?µ ¶1б) Следует ли из условия an = O, n → ∞ , расхоnдимость ряда ?µ ¶1∗в) Следует ли из условия an = O, n → ∞ , расхоnдимость ряда ?∞Xan3.

Для ряда, a > 0,b · (ln n)cnn=3выясните, при каких значениях параметров a, b, c этот рядa) сходится; b) расходится.4. Исследуйте сходимость следующих рядов, используяразличные признаки:∞∞XXk · (2k − 1)!!2 · 5 · · · (3k − 1)a);b);(2k)!!3k · k!k=1k=1¶µ∞∞XXk1−pk;c)·e ;d)sin3k · ln klnkk=2k=2∞∞pXXk! · k(2k)!e);f).5 · 6 · · · (k + 5)(2k · k!)2k=1k=15. Используя асимптотические равенства и признаки сравнения, исследуйте, при каких значениях p сходятся следующиеряды:√√∞∞ √5XX1kk+1− k−1a)· tg ;b);2k p + 1kkpk=1 rk=2∞ ³∞pXXππ ´pk +1;d)ch − cos.c)lnkpkkk=1k=1766. Используя асимптотические неравенства и признаки сравнения, исследуйте сходимость следующих рядов:∞∞XXlnp kkp√ ;a)b);2lnkkk=2k=2c)∞Xlnp kk=1e√3k;d)77∞X1k=3(ln ln k)ln k..

Характеристики

Список файлов книги