А.В. Домрина, Т.А. Леонтьева, И.С. Ломов - Методическая разработка по математическому анализу (включая ТФКП) (1111794), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.6. Дифференцируемость несобственных ИЗП.7. Интегрируемость несобственных ИЗП на полупрямой.8. Вычисление интеграла Дирихле.9. Свойства Г-функции Эйлера.1810. Свойства В-функции Эйлера. Связь между зй:Леровыми интегралами.11. Вывод асимптотической формулы для интеграла J е-Лt' f (t) dt, ). -+ +оо.12. Асимптотическая формула для функции Г(Л+l), ). -+ +оо. Формула Стирлинга.13. Разрывный множитель Дирихле.Задачи для коллоквиума1. ([11], гл. I, § 5 , задача 53) Пусть f Еjllimу�О00оС[О, 1]. Доказать, чтоу-2 ехр( - х у-2)! ( х) dx=f. (О)..2.
Доказать, что J sinxcrж dx сходится неравномерно пооу = ах превращает его в равномерно сходящийся3. ([11], гл. I, § 5, задача 57) Задана функцияf(x,y)={с:;�з.1,аЕ (0 ,+оо) , но замена·интеграл.у> 0,0 � х � 1,y=O,O::;x::;l.1Показать, что функция F(y) = J f(x,у) dx определена и непрерывна на [О, 1],офункция f (х, у) интегрируема на [О, 1] для любого1хЕ11[О, 1], но J F(y) dy fоJ dx J f (х, у) dy.оо4. ([11], г;;;, .
I, § 5, задача 61) Пусть функция f(x, у) непрерывна t1a [а, +оо) х [с, d]и интеграл J f (х, у) dx сходится равномерно на (с, d). Доказать, что этот интеграласходится равномерно на [с, d].5. ([11], гл. I, § 5, задача 63) Задана функцияf(x, у)={у О, х > О,1, у> О, О::; х ::; 1 /у ,О,о,+ооПоказать, что интеграл J+ооJоо=у> о, х> 1/у.f(x,ylвinx dx сходитсяравномерно на [О, 1], а интегралf(x,yUsinx/ dx сходится неравномерно на [О, 1].{�6. ([11), гл. I, § 5, задача 68) Задана функцияо,f(x,y)=ху'у.= о, х;::: о,о < у � 1, о::;х ::; 1/у,о <у::; 1, х> 1/у.19Показать, что при лЮбом у0 Е [О, 1] функция f(x, у0) монотонна на [О, +оо) и+ооо f(x, y)sinxdx сходится неравномерно на [0,1].lim f(x,yo) =О, но интеграл Jж�+ ооКакое условие признака Дирихле 'нарушено?+оо7.
([11], гл. I, § 5, задача 69) Пусть интеграл J f (х,у) sinxdx сходится равномероно наМи для любого Уо ЕМфункция f(x, у0) монотонна на [О, +оо) и стремится кнулю при х-+ +оо. Доказать, что f(х, у) при х -+ +оо сходится к нулю равномернонам.8. ([11], гл. I, § 5, задача 71) Доказать, что интеграл2'1Гn2оосходится неравномерно на (О, 1), а ряд L;Jn;l 21'(n-1)2е-хуcosхdx сходится равномернона (О, 1).9. ([11], гл. III, § 5, пр.14) Доказать, что Г(*)Г(�) ".
Г(n�i)всех натуральных n.=(2w) n21 п-t дляПрограмма семинарских занятий по теории функций комплексногопеременного (ТФКП)Занятие 1. Комплексные числа и их свойства1.2 1), 3),8),10); 1.4 1), 3),5), 7); 1.11 1), 2); 1.13 1), 2), 3), 6); 1.14; 1.25 1) - 5).Дома: 1.2 4),5),6), 9); 1.4 2),4), 6), 8); 1.11 3),4); 1.13 4), 5),7),8); 1.15; 1.25 6) 11).Дополи.: [7] 4; 9; 15; 16; 60. [16] 1.09; 1.14; 1.27; 1.28; 1.31; 1.59; 1.64; 1.65.Занятие 2. Последовательности, ряды и бесконечные произведе.ния комплексных чисел.2.3; 2.5; 2.8; 2.18; 2.20; 2.23 1), 2); 2.27; 2.29 4), 6); 2.52; 2.53; 2.56 1), 2); 2.73 1), 3) 5).Дома: 2.4; 2.7; 2.12; 2.26; 2.28; 2.51; 2.55; 2.56 3), 4); 2.57 2), 4), 6).Дополи.: [7] 438; 443; 444. [16] 2.10; 2.12; 2.15; 2.21; 2.27; 2.33.Занятие 3. Функции комплексного переменного.
Непрерывность и равномернаянепрерывность.3.25; 3.26; 3.27 4),10); 3.33 1), 3) 8); 3.34; 3.37.Дома: 3.23; 3.27 5), 6), 11); 3.28; 3.33 2),6) 9); 3.36 1)-8); 3.46.Дополи.: [7] 71; 74; 100; 102; 104. [16] 3.08; 3.10.Занятие 4. Дифференцируемость функций комплексного переменного.5.1 1),4) 9); 5.3; 5.4; 5.8 а); 5.9.Дома: 5.1 2), 3), 5), 13),14); 5.7; 5.8б); 5.11; 5.12; 5.14.Дополн.: [7] 105; 110; 111; 128-131. [16] 8.08; 8.15; 8.16; 8.39; 8.40; 8.56; 9.09; 9.10.20Занятие 5. Интегрирование функций комплексного переменного. Интегральная теорема Коши, вычисление интегралов.6.5; 6.7; 6.9; 6.12; 6.15 1); 6.24; 6.27; 6.49; 6.53; 6.60.Дома: 6.6; 6.10; 6.11; 6.15 3); 6.28; 6.29; 6.50; 6.52; 6.62.Дополи.: [7] 402; 403; 405; 412.
[16] 10.07; 10.11; 10.13; 10.19.Занятие 6. Интегральная формула Коши, интеграл типа Коши.7.4; 7.6 1),4), 6), 9); 7.8; 7.15; 7.20.Дома: 7.5; 7.6 2),3), 5); 7.10; 7.11; 7.12; 7.17.Дополи.: [7] 427; 428; 429. [16] 10.24; 10.29; 10.35; 10.46; 10.47; 10.48.Занятие 7. Степенные ряды. Ряды из аналитических функций.8.2 1), 4), 9),10); 8.3 1),3), 4); 8.6 1), 2); 8.8; 8.9; 8.12.Дома: 8.2 2), 3), 5),6); 8.3 2), 5), 6); 8.6 3); 8.13*.Дополи.: [7] 469; 491; 508. [16] 11.04; 11.05; 11.06; 11.11; 11.17.Занятие 8. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.
Нули анали-·тических функций.8.14 1), 3), 7); 8.15; 8.16 11),12), 13); 8.18 1), 2); 8.19; 8.26 1); 8.47 1), 2), 3), 4).Дома: 8.14 2), 4),5), 6); 8.16 7), 8),9), 10); 8.17,2); 8.18 3),4); 8.20; 8.26 2); 8.48.Дополи.: [7] 467; 477; 478. [16] 6.08; 6.31; 6.32.Занятие 9. Ряды Лорана.9.16 1), 2), 3); 9.17 1),3), 6); 9.21; 9.23 1), 2); 9.24; 9.25 1)-5); 9.26 1).Дома: 9.16 4)-7); 9.17 2), 4), 5), 7); 9.18; 9.19; 9.23 3), 4); 9.25 6)-10); 9.26 3), 4).Дополи.: [7] 576; 577; 579; 585. [16] 20.08; 20.09; 20.16 1)-5); 20.32.Занятие 10. Изолированные особые точки.9.27 1)-4); 9.28; 9.31 1), 2); 9.37; 9.40.Дома: 9.27 5)-9); 9.29; 9.31 3), 4); 9.32; 9.36; 9.39.Дополи.: [7] 606; 607; 612; 628; 629; 640.
[16] 19.03; 19.08 7), 8); 19:15 1)-5).Занятие 11. Вычеты. Вычисление интеграловс помощью вычетов..12.9 2), 3), 5), 9); 12.11 1),4), 7), 9).Дома: 12.9 4),6), 12), 15); 12.11 2), 5),6), 10); 12.12.Дополи.: [7] 797; 799; 804; 805; 808; 824; 836. [16] 21.02; 21.03; 21.10; 21.12; 21.17.Занятие 12. Вычисление интегралов с помощью вычетов (продолжение).12.13 2), 5), 10); 12.16 1), 7); 12.18 1), 4), 7); 12.23 1), 2); 12.31" 1), 2).Дома: 12.13 4), 6), 7); 12.16 2), 3), 5); 12.18 2), 5),13); 12.23 5); 12.31* 3), 4).Дополи.: [7] 874; 846; 849; 858 2); 865; 878. [16] 28.03; 28.05; 28.07; 28.09; 28.19.Занятие 13. Конфррмные отображения: дробно-линейные и степенные функции.13.41 1), 3); 13.46 1); 13.50 1); 13.39 1); 13.70; 13.74 1); 13.75 1).Дома: 13.41 2), 4); 13.46 2); 13.50 2); 13.39 2); 13.69; 13.74 2), 5); 13.75 2).Дополи.: [7] 160; 164; 180; 214; 244; 255.
[16] 33.19; 35.05; 35.13; 35.14.Занятие 14. Конформные отобра.Жения: е•, функция Жуковского, тригонометрические функции и обратные к ним.13.79 1)-4); 13.80 1)-3); 13.81; 13.82; 13.84 1); 13.85; 13.88 1); 13.89 1) 13.93 2), 3).21Дома: 13.79 5)-7); 13.80 4), 5); 13.83; 13.84 2); 13.88 2); 13.89 2) 13.93 6),7).Дополн.: [7] 262; 264; 303; 304; 307. [16] 35.10; 35.22; 35.29.Занятие 15. Преобразование Лапласа.15.6 4), 7); 15.18 1)-5); 15.21; 15.36 3),4); 15.37 1), 3).Дома: 15.6 1)-3), 8); 15.18 6)-8); 15.26 1);3); 15.36 1),2); 15.37 4),5).Занятие 16.
Контрольная работа.Варианты контрольной работы по ТФКПВариант 11. Разложить функцию f (z) в ряд Лорана по степеням z в кольце D, содержащемточку 3/4. Указать границы кольца D.1+2z21 + z - z22. Найти все особые точки функции J(z) и определить их вид:f(z)f (z)==(z/2 )1 '-- ch.е' - еЗz3.
Применяя теорию вычетов, вычислить интегралы!а)б)\z-1/2\=l/00-оо(1- х) cos2x .dxх2 + 6х +104. Отобразить конформно область {lzl > 1,max(Rez,Imz) >О} на верхнююполуплоскость.Вариант 21. Найти множество точек z, в которых функция J(z) = lzl е' является дифференцируемой.2. Разложить функцию J(z) ch z в ряд Тейлора с центром в точке z = 2i иуказать область, где справедливо разложение.3. Разложить функцию J (z) (z+lJ�z -2) в ряд Лорана.в кольце {О<lz+ 11 < 3}.4. Определить все особые точки функции f (z)sin{.�1) и классифицироватьих, включая точку z оо.5.
Вычислить интеграл J sin ,�1 dz.====\z\=3+оо6. Вычислить интеграл J (ж'+а'!)·(�'+ь') dx,оRe а, Reb>О.7. Конформно отобразить на верхнюю полуплоскость внутренность угла Н <aтgz<�} с выброшенным лучом [i, ioo] {itlt 2: 1}.=22Задачи по ТФКП к экзаменуНайти lim e2"ien!.n->oo2. а) Существует ли функция f Е A(lzl < 1) ·rакая, что для всех n � 2 имеем:J(l/ n) 1/n? б) Тот же вопрос для J(l/n)= (-l)n /п.3. Существует ли функция f Е A(IC) такая, что IJ(z)I � el•I - 1 для всех z Е С?4. Существует ли функция f Е A(IC \{О}) такая, что lf(z)I � e1/l•l75.
Пусть а· Е С, f (z) имеет в точке а устранимую особенность, g(z) - полюс, h(z)- существенную особенность. Какую особенность в точке а могут иметь функции:а) Jk (z)gm (z), k, т Е Z ; б) gk (z)hm (z), k, т Е Z ; в) eg(z). Привести примеры.6. Имеет ли функция� первообразную в {О < lzl< 1}? Иными словами, существует ли такая функция f Е А (О<lzl <1) такая, что j"(z) � при О < Jzl <1?7. Найти радиус сходимости ряда Тейлора функции ��\��6 с центром в точкеz i.8.
Пусть J Е А (С\ {z1, ... , Zn}) (одна из точек Z1, ... , Zn может быть равна оо) ,причем каждая из точек z1, ..., Zn явлнется полюсом для f(z). Доказать, что f(z)рациональна.z2001d9. в ычислить интеграл J z2002_1 z.1.===\z\=210. Пусть f(z) - непостоянная целая функция. Доказать, что М(т)=maxlf(z)Iz\ \=rесть строго возрастающая функция от r.1?z при lzl11.
Существует ли функция f'(z) Е А (Jzl < 2) такая, что f (z)12. Привести пример функции f Е С(К), которую нельзя равномерно на Кприблизить многочленами от z, если: а) К= {Jzl :'::: 1}; б) К= {lzl = 1}.13. Найти число нулей (с учетом кра·гности) следующих функций в круге Jzl <1:а) z7 + 5z4 - 2z2 + 1; б) z2 + зе•-•; в) 2z2 + cos z.14. Отображение f : D � С называется локалъно конформнъ�м, если каждаяточка z0 Е D имеет окрестность U (z0) С D, в которой f конформно. Привестипример отображения f : D � С, которое локально конформно, но не конформно.15. Можно ли конформно отобразить область С \ {О} на {О< 1z1<1}?==Зада"iu повъ�шенной трудности1.
Существует ли f Е A(Jzl<1) такая, что для всех п � 2 имеем: !(*) = ;fr.2. Пусть f,g - целые функции и f3(z) + g3(z) 1 для всех z Е С. Доказать, чтоf = const и g = const.=003. Доказать,что сумма степенного ряда Е."z2не продолжается аналитическини через одну точку границы его круга сходимости.4. Доказать лемму Шварца: Пусть J Е A(Jzl <1), /(О)= О и lf(z)J ::;;; 1 при Jzl<1. Тогда IJ (z)1 ::;;; Jzl при Jzl <1, причем если найдется точка zo =/=О с IJ (zo)I JzoJ,то J(z) Cz для некоторой константы СЕ С. Вывести отсюда (или из неравенств1, тоКоши), что в условиях леммы Шварца IJ'(O)J ::;;; 1, причем если JJ'(O)JJ(z) Cz для некоторой константы С Е С.n=O====235. Пусть f Е A(lzl < 1 ) и lf(z) I ,,;;; 1 при lzl < 1 .
Доказать , что l f'(z) I ,,;;; 1���/!1'при lz l < 1.6. Пусть П {Re z > О}. Существует ли f Е А(П) такая, что l f l ,,;;; 1 на П иlf'(l ) I > 100?7. Пусть D С С - ограниченная (не обязательно односвязная) область, а функция f Е A (D) такова, что f (D) С D и f (а) = а для некоторой точки а Е D.Доказать, что l f' (a) I ,,;;; 1. Доказать, что если f'(a) 1 , то f (z) = z.·==Вариант зачетной комиссии1. Разложить функцию f (x) х2 в тригонометрический ряд Фурье в интервале(О, 27Г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
