А.В. Домрина, Т.А. Леонтьева, И.С. Ломов - Методическая разработка по математическому анализу (включая ТФКП) (1111794), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Показать, что если ряд002:: ann=ln=lсуммируем методом Чезаро, то необходимо,чтобы an = o(n).5. Докааать теорему Таубера. Если ряд 2::00n=lanсуммируем методом Пуассона-Абеля и имеет обобщенную сумму равную А, при этом00lim •1+2•2+".n +na"n-+oo2:: =n=1 an А.Дома: гл. I, §7, задачи 92, 96.Дополи.: гл. I, §7, задачи 85, 89, 90, 94.Занятие 13. Контрольная работа.Двойные интегралы. Вычисление площадейЗанятие 14. Двойные интегралы. Сведение к повторным.3916, 3918, 3925, 3928, 3932, 3936, 3975.Дома: 3905, 3909, 3910, 3974, 3922, 3927.Дополи.: п. 570, задачи 10, 11, 12.Занятие 15.
Замена переменных в двойном интеграле.3941, 3945, 3953, 3957, 3963, 3967, 3972.Дома: 3940, 3942, 3947, 3950, 3955, 3958, 3964, 3968.Дополи.: п. 572, задачи 10, 11; п. 574, задачи 13, 14, 15.Занятие 16. Вычисление площадей и объемов.3986, 3987, 3996, 4009, 4007, 4012, 4016, 3995, 4003.Дома: 3988, 3994, 3999.1, 3999.Дополи.: п. 583, задача 4 ( а, б, в) ; п.
586, задачи 4, 7, 8, 9.7=О, тоТ ройные интегралы. Вычисление объемовЗанятие 17. Т ройные интегралы. Сведение к повторным. Замена переменных.4081, 4082, 4088, 4076.Дома: 4077, 4083, 4085, 4087.Дополи.: п. 625, задачи 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12.Занятие 18. Объёмы. 4090, 4091, 4106, 4110, 4385.1Дома: 4093, 4102, 4107, 4112, 4127.Дополи.: п. 637, задачи 7, 8, 10, 11.Многократные интегралыЗанятие 19. Многократные ·интегралы.4208, 4209, 4211 (см.
2281), 4201, 4203, 4204 а).Дома: 4202, 4204 б), 4210, 4212.Дополи.: п. 647; п. 650, задачи 3, 4, 5, 6, 7.Несобственные интегралыЗанятие 20. Несобственные интегралы.4161, 4164, 4167, 4168.Дома: 4162, 4177, 4184, 4192, 4182.Дополи.: п. 592, задачи 5, 6, 17, 18, 23.Криволинейные и поверхностные интегралы.Формулы Грина, Стокса и Остроградского - Гаусса. Теория поляЗанятие 21. Криволинейные интегралы.4221, 4226, 4237, 4251, 4281.Дома: 4222, 4228, 4232, 4282.Дополи.: п.
524, задачи 11, 12, 13, 14; п. 529, задачи 1, 2, 3.Занятие 22. Формула Грина. Полные дифференциалы.4303, 4307, 4323, 4249, 4266, 4268, 4286, 4290.Дома: 4302, 4306, 4311, 4324, 4329, 4252, 4262, 4265, 4285, 4289.Дополи.: п. 540, задачи 1, 2; п. 541, задачи 1, 2, 3; п. 577, задачи 6, 7.Занятие 23. Поверхностные интегралы первого рода. Вычисление площадейповерхностей.4343, 4349, 4041, 4048, 4040, 4047.Дома: 4037, 4049, 4344, 4345.Дополи.: п. 604, задачи 4, 5, 8, 17; п. 607, задачи 2, 3, 5, 7, 8, 11.Занятие 24. Поверхностные интегралы второго рода.4362, 4364, 4366, 4361, 4358.Дома: 4363, 4365, 4359.Дополи.: п. 615, задачи 2, 4, 5.8Занятие 25. Формула Стокса.4367, 4373, 4372, 4369.Дома: 4368, 4370, 4371, 4329.Дополи.: п. 615, задачи 9, 10.Занятие 26.
Формула Остроградского.4391, 4388, 4393, 4390, 4385.Дома: 4381, 4383, 4387, 4389, 4392, 4395.Дополи.: п. 629, задачи 4, 5, 6, 8.Занятие 27. Теория поля.4431, 4440, 4452.2, 4441, 4457, 4426.Дома: 4430, 4439, 4442, 4452.1, 4454, 4455.Дополи.: п. 644, задачи 1, 2, 3; п. 646, задачи 1, 2, 3, 4.Занятие 28. Контрольная работа.Варианты контрольной работы по теме"Числовые и функциональные ряды"Вариант 11. Исследовать на сходимость ряд00 2·5"·(Зn-1}L.n;;;;.l з"n!2. Исследовать на абсалютную и условную сходимость ряд3.-!}' зin Зn)n +i .Исследовать на абсолютную и условную сходимость бесконечноепроизведение4.�LIn=l00П (1+ f,;-).n=lи сследоватьряд на равномерную сходимость:00.'°' sin(x) cos(nж )LI lo ( n+:i' ) ,gn=l5.
Определить область Е существования функции f(x)ее на дифференцируемость во внутренних точкахЕ.6. Найти множество сходимос•rи степенного рядаВариант 21. Исследовать ряд на сходимость:=00х Е ( -оо, оо) .(-!)'и исследоватьL�n=lЕ (H(�i)•)• (хn=lЕ Cj;; - )log !!f-).n=I- l)n.00L cos п 10�, n.n=Iг3. Найти область сходимости функционального ряда L (l:ft.i"n., .2. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:00n=l4. Исследовать на равномерную сходимость на области сходимостиа) ряд L е-n'ж' sin(nx),n=lб) последовательность fn(x) = пх(1 - x)n.009о5.Исследовать на непрерывность на области существования00вin nж2 .n=2 nlog nсумму ряда L;ОО6.
Определить радиус сходимости ряда L;7.n=IРазложить в ряд Тейлора по степеням?n\11Ai xn .(хфункциюf(x) = arctgx2,указатьобласть сходимости ряда.Варианты контрольной работы по тем е "Интегралы"Вариант 1G = {1 ::С:х2+у2:::: 2х}.1. НайтиJf(y/x)2 dxdy,2. НайтиJJJ(x2-z2) dxdydz, где G ограничена плоскостями у= -x,z = х, z =у,z = 1.3. НайтиGGJf(x +у+ z) dS,sгде S - часть сферых2+у2+z2=1, z;::: О.(х + z)i +(у+ x)j +(z + y)k через полную внешнюю поR2, О ::С: z <:; у.5. Найти циркуляцию поля z2i+x2j + y2k вдоль контура Г= {х2 + у2 + z2= 1,x+y+z=1}.4.
Найти поток поляверхность телах2+у2::С:Вариант 21. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми:у = dx2,О <:; а ::С: Ь, О ::С: с ::С: d.ху = а, ху = Ь, у2. Найти объем тела V, ограниченного поверхностями:у2 + (z-r)2 = R2, О ::С: r ::С: R,точка (0,0,r)3.
Найти площадь части поверхностидра(х2+у2)2 = а2(х2_=сх2,х2 + у2 + z2 = R2, х2+Е V.z = у'х2 - у2, заключенной внутри цилину2).f(ydx + zdy + xdz), С - пересечениеплоскости х +у+ z = О и поверхности z = х2 + у2. Направление обхода - против4. Вычислить криволинейный интегралсчасовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси ОХ.5.rВычислить поверхностный интегралJJ5жcosa+ycosP+zcos7dS S: ж' +�+'' = 1rз1� ьCI,= у'х2+у2+z2, {cos а, cos f3, cos 'У} - направляющие косинусы внешней нормали.6. Найти поток вектора а= {х3, у3, z3} через поверхность х2+ у2 + z2 = х.Вопросы к коллоквиуму по теме"Числовые ряды.
Функциональные последовательности и ряды"1. Понятие числового ряда. Критерий Коши. Необходимое и достаточное условиесходимости рядов с неотрицательными членами.Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (вопросы 2 - 4 )2. Признаки сравнения.103. Признаки Даламбера и Коши,ихсравнение.4. Признак Коши-Маклорена.Теорема Римана о перестановке членов в числовых рядах.6. Теорема Коши о перестановке членов в числовых рядах.7.
Последовательности с ограниченным изменением и их свойства.5.8. Признаки сходимости произвольных числовых рядов (Абеля,Дирихле-Абеля,Лейбница).9.Теорема Мертенса.10. Взаимосвязь междУ сходимостью четырех рядов: повторных, двойного и"одинарного".11. Метод Чезаро суммирования расходящихся рядов.12. Метод Пуассона-Абеля суммирования расходящихся рядов.13. Бесконечные произведения и их свойства.14. Последовательности15.сравномерно ограниченным изменением и их свойства.Признаки Абеля равномерной сходимости функциональных рядов.16.
Признак Дини равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов.17.Непрерывность суммы функционального ряда.18. Почленное интегрирование функциональных рядов.19. Почленное дифференцирование функциональных последовательностей.20. Сходимость в среднем, связьсравномерной сходимостью, теорема о почленном интегрировании.21.
Теорема Арцела.22. Теорема Коши-Адамара.Задачи для коллоквиума1.([11],гл.I, §7,задача 2) Пустьan >О00и ряд L;n=l00anсходится. Доказать, чторяд L: S,./n расходится.n=l2. ([11], гл.дл я которогоI, §7,задача 8) Привести пример сходящегося рядаliПin-100nan >О.3. Привести пример расходящегося рядаlimn-100 an=1,о.4. ([1 ] гл.I, § 7,задача42) Пустьно. Доказать, что сходимость ряда00f: (-1)n-1ащn=l00an > О,f Е 01 [ 1 +оо) и J f'(x) dx,00L: f(n)n=lJ f(x) dx.111!00L: an, ann=l>О,для которогосходится абсолютсти интегралаэквивалентна сходим.о5. ([11], гл.
I, § 7, задача 41а) Пусть последовательность an монотонна, но не явоо00n=ln=lляется бесконечно малой. Доказать, что ряды I; an sin па, I; an cos па расходятсяпри всех а fo 1Гk, k Е Z.6. ([11], гл. I, § 7, задача.41б) Пусть последовательность an монотонна и является0000бесконечно малой, причем ряд L; an расходится. Доказать, что ряды 2: an sin паn=ln=l00и 2:; an сов па сходятся условно при всех а fo 1Гk, k Еn=I7.
Пусть рядыZ.f Ьn сходятся условно, а их произведение по Коши ff an, n=ln=lfi (j; ) (j; )n=lСпсходится. Доказать, чтоanЬn=Сп118. Доказать, что любую последовательность с ограниченным изменением можнопредставить в виде разности двух монотонных ограниченных последовательностей.9. Для любой последовательности {amn}, т, n Е N, обозначим Л1,o(amn) = amn am+l,n1 Ло,1(атп)=··amn - am,n+I• Л1,1(атn) = amn - am+l,n - am,n+I + am+l,n+I·Проверить, что для двойных сумм имеет место преобразование Харди:m nm-1 n-1m-1n-1LLaijЬij = L L S;jЛ1,1(Ь;;) + L S;riЛ1,o(b;n) + L Sm;Ло,1(Ьтj) + SmnЬmn 1i=l j=Ii=l j=li=lj=lijгде SiJ = L; I; apq· В качестве применения исследовать на сходимость двойной рядp=l q=l00 �Е i±w-· а>о.i,j=lJ10.
([11], гл. I, § 7, задача46) Пусть М С JRпроизвольное множество и последовательность fn(x) непрерывных на М функций сходится равномерно на М.Доказать, что она сходится равномерно на Л1.11. ([11], гл. 1, §7, задача50) Может ли последовательность разрывных на [а,Ь]функций равномерно сходиться на [а, Ь] к непрерывной функции?12. ([11], гл. 1, § 7, задача.51) Может ли последовательность непрерывных на [а, Ь]функций равномерно сходиться на [а,Ь] к разрывной функции?13. ([11], гл. 1, § 7, задача55) Привести пример двух последовательностей un(x),vn(x), равномерно сходящихся на [О, 1) таких, что последовательность un(x)vn(x)сходится на [О, 1] неравномерно.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
