А.В. Домрина, Т.А. Леонтьева, И.С. Ломов - Методическая разработка по математическому анализу (включая ТФКП) (1111794), страница 5
Текст из файла (страница 5)
К чему сходится полученное выражение в точке х 27Г ?=2. Обосновать возможность дифференцированиячислить интеграл:Jо( )щ:щ=знаком интеграла и выsin ax 2 dx.x3. Исследовать на равномерную сходимость на множестве:!001ае-а2ж2 d х,а > О.4. Разложить в ряд Лорана на указанном множествеf (z) =2z + 1,z2 + z - 2·1 < 1z 1 < 2.5. Применить методы ТФКП для вычисления интеграла. Обосновать применимость метода.!00оx sin ax dxх2 + k26. Отобразить конформно сектор {l z l,<а, k > О.2, О < arg z < 7r/4} на {Im w > О}.Вопросы к экзаменуВ каждом экзаменационном билете - два вопроса: один по математическому анализу, второй - по теории функций комплексного переменного.Часть 1. Математический анализ1.
Собственные интегралы, зависящИе от параметра (ИЗП).2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейерштрасса,Дирихле-Абеля, Дини) .3 . Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП н а отрезке.244. Дифференцируемость несобственных ИЗП.5. Интегрируемость несобственных ИЗП на полупрямой.6. Вычисление интеграла Дирихле.7. Свойства Г-функции Эйлера.8. Свойства В-функции Эйлера. Связь между эйлеровыми интегралами.9. Асимптотическая формула для функции Г(Л + 1), Л --+ +оо. Формула Стирлинга.10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элементаевклидова пространства.11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.12. Теорема Фейера.13.
Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости.14. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.15. Локальная теорема Фейера.16. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости рядов Фурье.17. Уточнённые условия равномерf!Ой сходимости ряда Фурье.18. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке.
Сходимостьряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.19. Принцип локализации Римана.20. Свойства преобразован:ия Фурье.21. Условия разложимости функции в интеграл Фурье.Часть2.ТФКП1. Стереографическая проекция.2. Функции комплексного переменного. Предел. Непрерывность.3. Дифференцируемость функций комплексного переменного. Аналитнчность.4. Теорема Коши и её обобщение.5. Интегральная формула Коши.6. Принцип максимума модуля аналитической функции.7.
Гармонические функции и их свойства. Принцип максимума.8. Разложение гармонических функций в ряды. Ряд Фурье для гармоническойфункции.9. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций. Теорема Лиувилля.10. Неопределённый интеграл. Теорема Морера.11. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций.12. Аналитичность суммы степенного ряда. Теорема Тейлора.13. Теорема единственности аналитических функций. Нули аналитическойфункции.14. Ряды Лорана. Теорема Лорана.2515.Классификация изолированных особых точек.
Устранимая особая точка. Полюс.Существенно особая точка. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса.Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. Основнаятеорема о вычетах.1 8 . Вычисление интегралов с помощью вычетов. Лемма Жордана.19. Логарифмический вычет. Теорема Руше. Принцип аргумента.20. Аналитическое продолжение с вещественной оси. Элементарные функции.2 1 .
Аналитическое продолжение с помощью рядов и через границу. Принципнепрерывности.22. Аналитическое продолжение Гамма-функции Эйлера. Формула дополнения.23. Основные принципы конформных отображений: принцип соответствия границ и принцип симметрии Римана-Шварца.24. Свойство аналитической однолистной функции в области.25. Локальное свойство однолистной функции. Отображение области на областьпри конформном отображении.26. Дробно-линейная функция и её свойства.27. Конформные· отображения, осуществляемые элементарными функциями.28. Задача Дирихле для уравнения Лапласа. Случай круга и верхней полуплоскости.29.
Следствие из решения задачи Дирихле для круга. Теорема Вейерштрасса оприближении непрерывной функции многочленами.30. Функция Грина (функция источника).3 1 . Преобразование Лапласа и его основные свойства.32. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнеиий в частных производных с помощью преобразования Лапласа.16.17.Литература1. Ильин В.А" Садовничий В.А" Сендов Бл.Х. Математический анализ, ч. 2.М.: МГУ. 1987. М.: Проспект. 2006.2 . Ильин В.А" Позняк Э.Г. Основы математического анализа, ч. 2.
М.: Наука.1Q80. М.: Физматлит. 1998; 2004.3 . Демидович Б.П. Сборник задач по математическому анализу. М.: Наука. 1990и последующие издания.4. Леонтьева Т.А. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.:ф-т ВМК МГУ. 2003.5 . Свешников А.Г" Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.:Физматлит. 2004.6 . Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного.
М.: Наука. 1984.7 . Волковыский Л.И" Лунц Г.И" Араманович И.Г. Сборник задач по теориифункций комплексного переменного. М.: Наука. 1975 и последующие издания.268. Леонтьева Т.А., Панферов В.С., Серов В.С. Задачи по теории функций комплексного переменного. М.: МГУ. 1992.9 . Леонтьева Т.А., Панферов В.С., Серов В .С. Задачи по теории функций комплексного переменного с решениями. М.: Мир. 2005.Доnолнител'Ьная литератураКудрявцев Л.Д.
Курс математического анализа, т. 2. М.: Высшая школа.М.: Дрофа. 2003.1 1 . Никольскиий С.М. Курс математического анализа, т. 2. М.: Наука. 1 9 9 1 .12. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражненияпо математическому анализу, ч. 2. М.: МГУ. 1 9 9 1 , М . : Дрофа. 200 1 .1 3 . И. А.
Виноградова, С. Н. Олехник, В. А. Садовничий. Математический анализ в задачах и упражнениях (числовые и функциональные ряды). М.: Факториал,10.1988,1996.14. Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу, т. 2. М.:Наука. 1986. Т. 3.
М.: Физматлит. 1995.1 5 . Лаврентьев М.А" Шабат В.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1987, М.: Лань. 2002.16. Сидоров Ю.В., Федорюк М .В., Шабунин М.И. Лекции по теории функцийкомплексного переменного. М.: Наука. 1989.17. Сборник задач по теории аналитических функций (под ред.
ЕвграфоваМ.А.). М.: Наука. 1974.1 8. Фихтенrольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 , 3. М.: Физматлит. 200 1 .1 9 . Гелбаум В " Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967, М.: URSS.2007.20.Маркушевич А.И. Теория аналитических функций, т. 1,2.М.: Наука.1967,1968.21.Наука.Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.:1984, М.: Высшая школа. 1999.·Учебное изданиеМЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКАПО МАТЕМАТИ ЧЕСКОМУ АНАЛИЗУВКЛЮЧАЯ ТЕОРИЮ Ф УНКЦИЙКОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО11 курс3, 4 семестрыМетодическое пособи еА.В. Домрина,С оставители:Т.А. Леонтьева, И.С.
ЛомовИздательский отдел Факультета вычислительной математики и кибернетикиМГУ имени М.В. ЛомоносоваЛицензия ИД N 05899 от 24.09.01 г.1 1 9992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы,МГУ имени М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпусНапечатано с готового оригинал-макетаИздательство ООО «МАКС Пресс»Лицензия ИД N 005 1 0 от 0 1 .
12.99 г. Подписано к печати 1 6 . 1 2 .2009 г.Формат 60х88 1/16. Усп.печ.л. 1 ,75. Тираж 500 экз. Заказ 763.1 19992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы,МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.Тел. 939-3890, 939-389 1 . Тел./Факс 939-3891.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
