А.В. Домрина, Т.А. Леонтьева, И.С. Ломов - Методическая разработка по математическому анализу (включая ТФКП) (1111794), страница 3
Текст из файла (страница 3)
([1 1], гл. 1, § 7, задача65) Показать, что последовательность гладких функций fn (х) = п-112 sin пх равномерно сходится на JR, а последовательность f� (х)расходится в каждой точке х Е JR.15. Исследовать последовательность {xn} на равностепенную непрерывность намножестве Е, где: а) Е = [О, 1/2]; б) Е = [О, 1].-1 6. Найти сумму функционального ряда17. Просуммировать рядf п3хn.n=lЕ (-1)nп2 методом Пуассона-Абеля.n=l120018. ([11], гл. 1, § 7, задача 89) Пусть ряд I; an суммируем методом Чезаро иn=l00an = о(l/п) при п -t оо.
Доказать, что ряд I; an сходится.n=10019. ([11], гл. I, § 7, задача 96) Доказать, что если ряд Е an суммируем методомАбеля, то для любого t:> О имеем ann=1o((l + c)n) при п -t оо.=Вариант зачётной комиссии1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость относительно параметраfа:cos10n·n=2 n<> ln(п + 1)2. Разложить в степенной ряд по степеням х, определить область сходимости:f (х)=56 + х - х23. Исследовать функцию на непрерывность:+ооj(x)=L:e-Snж,n=Oх>О.4. Найти объём тела:z5. Найти:=3./х2 + у2, z 1 0 - х2 - у2•=0, 1 grad(ediv(r'fi),·6.
Найти поток рчерез частьp={x,y+z,z-y},ПS:где r=lf1,r= {x,y,z}.поверхности S, вырезаемую плоскостью 7Г:x2+y2+z2=9,7Г:z=O(z�O)(нормаль - внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями, П - незамкнута.я. поверхность).13Вопросы к экзаменуВ каждом экзаменационном билете содержится один вопрос.1. Понятие числового ряда. Критерий Коши. Необходимое и достаточное условиесходимости рядов с неотрицательными членами.2. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (признаки сравнения, Даламбера, Коши, Коши-Маклорена).3.
Теоремы Коши и Римана о перестановке членов в числовых рядах.4. Признаки сходимости произвольных числовых рядов (два признака Абеля,признаки Дирихле-Абеля, Лейбница).5. Арифметические операции над сходящимися числовыми рядами. ТеоремаМертенса.6. Бесконечные произведения, критерии их сходимости.7.
Необходимое условие сходимости двойного ряда. Связь между сходимостьюдвойного ряда и повторного ряда. Критерий сходимости двойного ряда с неотрицательными членами.8. Абсолютная сходимость двойного ряда. Взаимосвязь между сходимостью четырех рядов: повторных, двойного и "одинарного".9. Обобщенные методы суммирования расходящихся рядов (методы Чезаро иПуассона-Абеля).10. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.Критерий Коши.11. Признаки равномерной сходимости функциональных рядов (два признакаАбеля, признаки Дирихле-Абеля, Вейерштрасса).12. Признак Дини равномерной сходимости функциональных рядов и последовательностей.
Почленный переход к пределу, непрерывность предельной функциифункциональных последовательностей и рядов.13. Почленное дифференцирование, существование первообразных функций дляфункциональных последовательностей и рядов.14. Почленное интегрирование функциональных последовательностей и рядов(две теоремы). Сходимость в среднем, связь с равномерной сходимостью.15.
Теорема Арцела. Признак равностепенной непрерывнос'Fи функциональнойпоследовательности.16. Степенные ряды. Теорема Коши-Адамара. Непрерывность суммы, почленноеинтегрирование и дифференцирование степенного ряда. Разложение функций встепенные ряды.17. Определение и доказательство существования двойного интеграла при помощи прямоугольных разбиений области. Классы интегрируемых функций. Основныесвойства двойного интеграла.18. Определение двойного интеграла при помощи произвольных разбиений области. Эквивалентность двух определений.19. Сведение двойного интеграла к повторному однократному.1420.
Кратные несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признакисходимости.21. Кратные несобственные интегралы от знакопеременных функций. Эквивалентность понятий сходимости и абсолютной сходимости.22. Криволинейные интегралы первого и второго рода.23. Понятие поверхности. Нормаль и касательная плоскость к поверхности. Лемма о проекции окрестности точки на касательную плоскость.24. Площадь поверхности. Квадрируемость поверхности.25. Поверхностные интегралы первого и второго рода.26. Преобразование базисов.
Инварианты линейного оператора.27. Дивергенция, ротор и производная по направлению векторного поля. Повторные операции теории поля.28. Формула Грина. Формула Остроградского-Гаусса.29. Формула Стокса.30. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода на плоскости от пути интегрирования.4 семестрВ 4 семестре проводится примерно 11 семинарских занятий по математическомуанализу, включая одну контрольную работу по интегралам, зав:исящим от параметра, и одну самостоятельную работу по рядам Фурье (на 1 час).
Как и прежде,номера задач для семинарских и домашних занятий даны по задачнику В. П. Демидовича [3], а номера дополнительных задач - по пособию И. А. Виноградовой,С. Н. Олехника и В. А. Садовничего [13]. Приведены образцы типичных контрольных и самостоятельных работ, вариант для зачетной комиссии и список задач кколлоквиуму по теме "Интегралы, зависящие от параметра". Также приведён примерный список вопросов к коллоквиуму и к экзамену.Кроме того, проводится 15 16 семинарских занятий, включая контрольнуюработу по курсу теории функций комплексного переменного. Номера задач длясеминарских и домашних занятий даны по задачнику Т.
А. Леонтьевой, В. С. Панферова и В. С. Серова [8], а номера дополнительных задач - по задачникам [7], [17].Приведён типичный вариант контрольной работы, а также список задач, рекомендуемых при подготовке к экзамену.-Программа семинарских занятий по математическому анализуИнтегралы, зависящие от параметраЗанятие 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра, с постояннымипределами интегрирования.3712, 3713(в,г), 3711, 3714, 3714.1, 3726.15Дома: 3713(а,б), 3713.1, 3715, 3723. Найти�t->0+ tlimj31sin(tx)vx2 + t2 + tx + 1 dx.Дополи.: гл. I, §4, задачи 396 - 402, 408, 409, 412, 421, 422.Занятие 2.
Собственные интегралы, зависящие от параметра, с переменнымипределами интегрирования. Свойства собственных интегралов, зависящих от параметра.3716, 3718(б}, 3717, 3728, 3734, 3737.Дома: 3718(а,д), 3730, 3738, 3732, 3735.Доnолн.: гл. I, §5, задачи 57, 58;гл. 1, §4, задачи 440, 469, 470:Занятие 3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномернаясходимость.3741, 3745, 3753, 3755, 3755.1, 3752, 3773.Дома: 3742, 3746, 3754, 3755.2, 3755.3.Дополи.: гл. I, §4, задачи 506, 512, 517, 521, 529, 538.Занятие 4.
Признаки Вейерштрасса, Дирихле и Абеля равномерной сходимости.3756, 3757, 3760.1, 3761. Исследовать J х����х dx на равномерную сходимость на00омножестве: а) а Е (ао +оо}, О!о > О; б) а Е (О, +оо).Дома; 3760, 3763, 3766, 3767, 3768, 3776.2. Исследовать на равномерную сходи,оомость интегралы: J � dx на множествеоО!t00Е [О, 1); J1vx(��:2x2) dx на множествеЕ (-оо, +оо).Дополи.: гл. I, §4, задачи 550, 551, 543, 559, 560, 561; гл.1, §5, задачи 63, 68, 69.Занятие 5. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Формула Фруллани.3777, 3777.1, 3779, 3782, 3789, 3788, 3792.Дома: 3787, 3776.1, 3780, 3781, 3791, 3784, 3796.Дополи.: гл. I, §4, задачи 586, 589, 599, 616, 623.Занятие 6. Вычисление несобственных интегралов, зависящих от параметра.Интегралы Пуассона, Дирихле, Лапласа, Френеля.3776 3786, 3817, 3820, 3825, 3830, 3801.Дома: 3807, 3811, 3811.1, 3813, 3815, 3822, 3829.Дополи.: гл. I, §4, задачи 636, 649, 659, 666, 690, 691.Занятие 7.
Эйлеровы интегралы.3843, 3848, 3868, 3870, 3850, 3851, 3861.•'на лекции в 3 семестре при изучении несобственных3776 предлагается другой способ вычисления этого интегр ала. Он*Интеграл Пуассона уже был вычисленкратных интегралов.Взадачепозволяет попутно вывести формулу Ба.плиса, представляющую число 71' как предел рациональных дробей.16Дома: 3844, 3845, 3847, 3849, 3856, 3860, 3863, 3857.Дополп.: гл. III, §12, задачи 184, 205, 218, 225, 238.Занятие 8. Контрольная работа.Ряды Фурье.
Интеграл Фурье и преобразование ФурьеЗанятие 9. Ряды Фурье. Разложение на [-1Г,7Г).2937, 2938, 2940, 2946, 2959, 2962, 2984.Дома: 2936, 2942, 2943, 2945, 2985.Дополи.: гл. П, §4, задачи 79(а,б}, 81; §5, задача 14.Занятие 10. Ряды Фурье. Разложение на [а, Ь].2961, 2955, 2964, 2949, 2966, 2975, 2978, 2979.Дома: 2963, 2956, 2948, 2967, 2976, 2977.Дополи.: гл. П, §4, задачи 77, 98, 102. §5, задача 24.Занятие 11. Самостоятельная работа (1 час). Интеграл Фурье и преобразование Фурье.3881, 3887, 3893, 3898, 3895.Дома: 3882, 3888, 3896, 3900.Дополи.: гл. П, §4, задачи 162, 181, 195-197, 199.Варианты контрольной работы по теме"Интегралы, зависящие от параметра"Вариант 11. Исследовать на равномерную сходимость па области существования интегра1лы: а) J �; б}о00J-оое-(х-а)' dx.002.
Исследовать интеграл J ае-ха' dx на непрерывность на области существоваония.+оо e-c.te-btа >3. Вычислить интеграл J � dt,оО,Ь>О.+оо4. Определить область существования интеграла Jоинтеграл.Вариант 21. Найти F'(a}, если F(a) j In(l;ax) dx.=о002. Исследовать на равномерную сходимость Jб)s Е0.(О, +оо).3. Исследовать на непрерывность !(а)00•4. Вычислить J ·-··;·-•· sin Лх dx,оа >=x3&r(2+хз)•и вычислить этот•i�·� dx 2 в случаях: а) s Е (1, 2);s + x-s)00J 1�:!:)" а Е (-оо, +оо).1О, Ь > О. Обосновать вычисление.1711Г/25.
Вычислить J sin312 х cos112 х dx.оВарианты самостоятельной работы по теме "Ряды Фурье"Вариант 11. Разложить в ряд Фурье на отрезке [-7Г,7Г] функцию f(x) = sign(sinx), нарисовать график суммы ряда и исследовать ряд на равномерную сходимость на[-7Г' 7Г].2. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f (х) = sinах, х Е[О, 7Г],нарисовать график суммы ряда и исследовать ряд на равномерную сходимость на[-7Г, 7Г].Вар11ант21. Разложить функцию, заданную графически по косинусам кратных дуг, нарисовать график суммы ряда Фурье:�. 71-r./}11.z:'1f/72.
Разложить в ряд Фурье функцию, зада1шую графически на [О,37!"], нарисоватьграфик суммы ряда Фурье:ч---�1--:·Вопросы к коллоквиуму по теме"Интегралы, зависящие от параметра"1. Собственные интегралы, зависящие от параметра (ИЗП). Случай постоянныхпределов интегрирования.2. Собственные ИЗП. Случай переменных пределов интегрирования.3. Равномерная сходимость несобственных ИЗП. Примеры. Критерий Коши.4. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейерштрасса,Дирихле-Абеля, Дини).5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
