Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Ряды. Дифференциальные уравнения.

А=а₁+а₂+а₃+…=

Определение: Числовой ряд – бесконечная упорядоченная сумма чисел.

Примеры рядов:

Гармонический ряд.

Дзета функция Риммана.

1-1+1-1+1-1+1-1+…

А_n=а₁+а₂+а₃+…+а_n – частичная сумма ряда.

{An}–последовательность частичных сумм.

Определение: Числовой ряд А сходится, если – сумма сходящегося числового рядя. Если , то ряд А расходится.

1+2+3+4+5+… (расходится к бесконечности)

В целом по рядам существует несколко типов задач:

1) Исследование сходимости ряда.

2) Нахождение суммы.

Критерий Коши сходимости ряда.

 >0  n₀ , такое, что n>mn0: |An-Am|<.

Тогда говорят, что последовательность A_n – фундаментальна.

An=a₁+a₂+…+a_n

Am=a₁+a₂+…+a_m, следовательно, An-Am=a_m+1+…+a_n

 >0  n₀, такое что n>mn0 => | a_m+1+…+a_n |<.

Пример:

Гармонический ряд.

Зафиксируем =0.5, mn₀, n=2m

| a_m+1+…+a_n |= =>ряд расходится.

Всего m слагаемых

– необходимый признак сходимости числового ряда.

Доказательство: n=m+1 >0,  n₀ => nn₀ => |a_n|< =>

Следствие 1

А= В=

Если  n₁: nn₁ => a_n=b_n, тогда A~B (либо оба сходящиеся либо оба расходящиеся)

Доказательство: n₀n₁ | a_m+1+…+a_n |=| b_m+1+…+b_n |

Следствие 2

A= B= , Если b_n = ka_n, n1, k0, тогда A~B.

Если сходится, то сходится.

Доказательство: По критерию Коши:

| a_m+1+…+a_n |≤|a_m+1|+|a_m+2|+…+|a_n|<

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.

Признаки сравнения.

1) A= , B=

Для доказательства применим критерий Коши:

| a_m+1+…+a_n | = a_m+1+a_m+2+…+a_n≤b_m+1+b_m+2+…+b_n<

2) предельный

Доказательство: из существования предел следуют неравенства:

тогда по признаку сравнения (1) ряд сходится.
Пример.

(α)= , рассмотрим как ведёт себя этот ряд в зависимости от α. При α=1 ряд расходится (гармонический). Было доказано ранее.

Для α<1 => расходится по признаку сравнения 1.

Для α>1

тогда по теореме о среднем выполняются неравенства

, т.е. В – сходится, значит по признаку сравнения (α) при α>1 то же сходится.

Таким образом

(α) =

Признак Даламбера.

Пусть , тогда

<1 =>A сходится

>1 =>A расходится

=1 =>вопрос о сходимости остаётся открытым

Доказательство:

1. <1, –<1,

Перемножая все эти неравенства, получим: значит a_n<c(+)ⁿ,n>n₀

т.к. +<1 то ряд сходится (по признаку сравнения 1).

2) >1 => a_n+1>a_n=> a_n не стремится к нулю => ряд расходится, т.к. не выполняется необходимый признак сходимости ряда.

Признак Коши (радикальный).

Пусть А= , a_n>0

и  тогда при <1 А сходится, >1 А расходится, при =1 вопрос о сходимости ряда остаётся открытым.

Доказательство:

1)<1

Выберем  : +<1 тогда из определения предела:

, значит a_n<(+)ⁿ, nn₀ получена геометрическая прогрессия с q<1, следовательно, ряд сходится (q=+).

2)>1

a_n>1, n n₀ значит, , следовательно, не выполнен необходимый признак сходимости числового ряда.

Признак Коши более общий, чем признак Даламбера, однако применять его сложнее.

Пример:

ряд сходится (по Даламберу)

Признак сравнения 3.

Пусть А= , В= , a_n>0, b_n>0.

тогда, если ряд B сходится, то и ряд A сходится.

Доказательство:

После почленного перемножения получим:

так как a₁/b₁=const, и B сходится,

то и А сходится.

Признак Куммера.

Пусть , a_n>0 ( nn0), и {b_n} последов-ть чисел, b_п>0 и

, и  , тогда, если δ>0, то ряд сходится, если δ<0, то ряд расходится, если δ=0, то вопрос о сходимости ряда остаётся открытым.

Доказательство:

1)δ>0, выберем =δ/2 тогда, по определению предела,

b_n*a_n/a_n+1-b_n+1>δ-=δ/2 nn₀

обозначим c_n=a_nb_n-a_n+1b_n+1>δ*a_n+1/2

и докажем сходимость ряда , так как c_n=a_nb_n-a_n+1b_n+1= δ*a_n+1/2>0, то

a_nb_n>a_n+1b_n+1 , значит, {a_nb_n} монотонно убывающая, ограниченная нулём последовательность.

S_n = c₁+…c_n = (a₁b₁-a₂b₂)+(a₂b₂-a₃b₃)+…+(a_nb_n-a_n+1b_n+1) =

= a₁b₁-a_n+1b_n+1

значит, ряд сходится, тоже сходится (по признаку сравнения 1), т.к. δ/2=const, то и исходный ряд сходится => A сходится.

2) δ<0 тогда,

b_n*a_n/a_n+1-b_n+1<0 => , nn₀, значит

по условию ряд 1/b_n – расходится, а значит по признаку сравнения 3 расходится и исследуемый ряд A.

Следствие 1 (признак Даламбера).

Возьмём b_n=1, тогда

Если δ>0~<1

δ<0~>1

Следствие 2 (признак Раабе)

Если , то

Пусть b_n=n

, ,

обозначим α=δ+1, тогда , значит при α>1 (δ>0) ряд сходится, при α<1 (δ<0) расходится.

Следствие 3.

=> A – расходится.

Применим к исследуемому ряду признак Куммера (b_n=n*ln(n) (доказательство расходимости данного ряда см. ниже)). Тогда

b_na_n/a_n+1–b_n+1=n*ln(n)*(1+1/n+_n)–(n+1)ln(n+1)=

(n+1)(ln(n)–ln(n+1))+n*ln(n)*_n= -n*ln(1+1/n)–ln(1+1/n)+n*ln(n)*_n -1, т.к. первое из слагаемых стремится (при n стремящемся к бесконечности) к -1, второе к 0, и 3 к нулю (т.к.ln(n)/n-> к 0).

Из доказанных выше признаков Даламбера, Раабе и следствия 3 получаем:

Признак Гауса. (без доказательства)

Пусть

Тогда,

1. β<1 A – расходится.

2. β>1 A – сходится.

3. β=1 α≤1 A – расходится.

α>1 A – сходится. Доказательство следует из следствий 1- 3.

Пример:

1-α>1 ~ α<0, A – сходится.

1-α<1 ~ α>0, A – расходится.

При α = 0 ряд состоит только из нулевых слагаемых, а следовательно сходится.

Интегральный признак. (Коши-Маклорена)

Пусть - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при (начиная с некоторого x). Тогда ряд ~

Доказательство:

Лемма. Пусть A_n=a₁+…+a_n — частичная сумма.Тогда ряд сходится тогда, когда A_n<c c=const. Эта лемма верна, так как в этом случае получается монотонно убывающая и ограниченная последовательность.

Тогда , или . Поэтому если сходится, то

. Тогда и , ряд сходится.

Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда . Взяв произвольное , выберем так, чтобы . Тогда . Значит, сходится.

Пример:

~ => ряд сходится при α>1, и расходится при α≤1.

Расходимость ряда n*ln(n)

=> ряд расходится.

Знакопеременные ряды

Пусть и ряд сходятся одновременно, то А также и при этом говорят, что ряд A сходится абсолютно.

Если сходится, – расходится, то А сходится условно.

Признак Лейбница.

(монотонно стремится к 0), тогда A сходится.

Доказательство:

Т.к.

.

, , то есть последовательность частичных сумм A_2n убывает, а A_2n+1 возрастет.

Каждая из последовательностей A_2n и A_2n+1 ограничена и

Следовательно, .

Заметим, что:

.

Пример:

Ряд Лейбница: сходится условно (неабсолютно), так как гармонический ряд расходится.

Пример (расходящийся знакочередующийся ряд):

не монотонно: расходится.

Вообще, если ряд представим в виде суммы рядов:

1. Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится.

2. Если один из рядов сходится, а другой расходится, то их сумма расходится.

Признак Дирихле.

Пусть дан ряд:

тогда сходится.

Доказательство: По критерию Коши: .

по условию

Используя преобразование Абеля, получим неравенство:

Следовательно, критерий Коши выполнен, поэтому ряд сходится.

Из признака Дирихле следует признак Лейбница:

Если .

Признак Абеля.

; тогда сходится

Доказательство:

Доказано.

Пример 1:

:

Докажем, что эти ряды сходятся условно:

Докажем, что ряд расходится. Так как , рассмотрим следующий ряд:

.

Значит, ряд

Пример 2:

При произвольной перестановке членов условно сходящегося ряда его сумма может изменяться:

;

Теорема Римана (без доказательства).

Теорема: Пусть дан условно сходящийся ряд . Тогда: перестановка слагаемых, такая, что

Теорема Дирихле о перестановке членов абсолютно сходящегося числового ряда.

Теорема: Пусть ряд сходится абсолютно, . Тогда, для любой перестановки ряда новый ряд сходится. При этом, ряд A сходится абсолютно и его сумма равна сумме исходного ряда, то есть A = A.

Доказательство:

1)

k – фикс., , тогда

и .

Аналогично рассматривается ряд А, как полученный перестановкой

членов :

.

Доказано.

2) a_n – произвольного знака. Пусть тогда:

;

– сходится, – сходится, так как ряд A сходится абсолютно .

Применяя к и результат из 1), получим полное доказательство.

Доказано.

Функциональные ряды

– функциональные ряды, f_n(x), f(x) – функции от , где D – область сходимости ряда.

Примеры функциональных рядов:

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций