Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

1) – степенной ряд

2) – тригонометрический ряд Фурье

Равномерная сходимость функциональной последовательности и функционального ряда.

Определение (равномерной последовательности на множестве E D функциональной последовательности):

Пример:

Критерий Коши:

Определение равномерной сходимости функционального ряда на множестве E:

Критерий Коши:

.

Следствие. Если

Примеры:
1)

Признак равномерной сходимости.

1) Признак Вейерштрасса (мажорантный признак)

Пусть дан функциональный ряд и если – сходится, то функциональный ряд сходится равномерно на E.

Доказательство (по критерию Коши):

, так как и

Примеры:

К ряду – признак Вейерштрасса неприменим.

2) Признак Абеля – Дирихле.

Пусть дан функциональный ряд , xE D.

То ряд сходится равномерно на E. (без доказательства)

Примеры:

= f(x) = , x(0; 2) (без доказательства).

Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.

Теорема: Пусть

Доказательство:

Докажем, что

Доказано.

Теорема об интегрировании функционального ряда.

Теорема:

Доказательство:

Теорема доказана.

Дифференцирование функциональных рядов

Теорема: Пусть f_n(x) → f(x), x O(a),

f_n^’(x) C(O(a)),

Тогда f(x) D(O(a)) и f^’(x)=g(x), x O(a)

Доказательство (на основании теоремы об интегрировании функционального ряда):

f_n^’(t)=g(t), t [a,x] – непрерывная функция, так как ряд f_n^’(t) равномерно сходится на O(a). На основании теоремы об интегрировании функционального ряда этот ряд можно проинтегрировать почленно.

Теорема доказана.

Степенные ряды

Степенными рядами называются ряды вида , где a_n, x₀ –постоянные, x – переменная.

Мы будем рассматривать ряды с x₀ = 0, т.е.

1 теорема Абеля. Пусть сходится при некотором x₀. Тогда для любого h< ряд сходится равномерно на [-h;h]

Доказательство: Так как сходится, то , где M>0 – некоторая постоянная.

сходится по признаку Вейерштрасса

Следствие: 1) Область сходимости степенного ряда D может быть одним из следующих множеств:

D= , где R – радиус сходимости.

Любой степенной ряд сходится в точке x=0. В остальных случаях ряд сходится при всех , если R – радиус сходимости (точная верхняя грань множества x, для которых ряд сходится)-существует. Если точной верхней грани нет, то полагают - ряд сходится на всей числовой прямой.

Приведём примеры:

Чтобы найти радиус сходимости, можно воспользоваться признаками сходимости знакопостоянных рядов Даламбера, либо Коши.

Признак Даламбера:

Признак Коши:

Примечание. Если ни один из указанных пределов не существует, то нужно положить радиус сходимости равным нижнему пределу (наименьшему частичному пределу) выражения для R.

Пример:

не существует, но =1 => => R = 1

2 теорема Абеля: Ряд сходится в точке x=x₀ . Тогда ряд сходится равномерно на отрезке [0;x₀] (или [x₀;0] если x₀<0).

Доказательство:

=> По признаку Абеля

Следствия:

1. Непрерывность суммы степенного ряда

, D – область сходимости

2) Интегрирование суммы степенного ряда

, D – область сходимости

– радиус сходимости не меняется.

1. Дифференцирование суммы степенного ряда

, радиус сходимости при дифференцирование не меняется.

Ряды Тейлора

Применяя последовательно теорему о почленном дифференцировании степенного ряда, получим соотношение для n-го коэффициента ряда.

Пусть , R – радиус сходимости. Тогда

Доказательство:

- коэффициенты степенного ряда Тейлора

, т.е. ряд Тейлора для функции f(x) не всегда совпадает с самой функцией.

Пример:

=>

Теорема: Пусть

и ; тогда

Доказательство: По формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа получим:

Теорема доказана.

Ряды Тейлора для основных элементарных функций

Приведем разложения основных элементарных функций в ряд Тейлора.

1)

,

=>

Проинтегрировав в пределах от 0 до x, получим:

сходится при , в частности:

Тригонометрические ряды Фурье

, далее функция периодическая с периодом 2π.

Ряд Дирихле сходится при всех x.

π /2

π 2π

нечетная функция, a_n=0

(signx)

Дифференциальные уравнения

Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение вида , где - функция, определенная в некоторой области пространства , - независимая переменная, - функция от , - ее производные.

Определение: Порядком уравнения n называется наивысший из порядков производных , входящих в уравнение.

Определение: Функция называется решением дифференциального уравнения на промежутке , если для всех из выполняется равенство: . Дифференциальному уравнению удовлетворяет бесконечное множество функций, но при некоторых условиях решение такого уравнения единственное.

Определение: Интегральная кривая – это график решения дифференциального уравнения, т.е график функции, удовлетворяющей этому уравнению.

Пример 1: Решить уравнение . Его решение:

определено на . Отметим, что эта постоянная – произвольная и решение – не единственное, а имеется бесконечное множество решений.

Таким образом, серия графиков получена параллельным переносом на константу С.

рис.2

Пример 2:

Выведем закон движения тела, брошенного с начальной скоростью V под углом α к горизонту.

Но по условию y(0) = 0 → C₂ = 0 →

Найдем время подъема:

Найдем высоту подъема:

Дальность полета x_max (при y(t) = 0 )

y(t) = 0

при

Пример 3:

Решить уравнение : , , интегрируя обе части уравнения, получим

d(lny) = d(lnx) .

Потенциируя обе части уравнения, получаем общее решение y = Cx, которое изображается серией линейных интегральных кривых, проходящих через точку (0,0). При этом из графика (рис.3) видно, что через любую точку, не принадлежащую (0,0), проходит только одна интегральная кривая (решение).

Рис.3

Пример 4:

Рассмотрим уравнение : интегрируя, получаем: x² + y² = C = R² (рис.4)

– множество окружностей с центром в начале координат

рис.4

Определение: Общее решение – множество решений дифференциального уравнения есть совокупность функций F(x, y, C)=0, C.

Определение: Частное решение получают при подстановке конкретного значения константы в общее решение

Особые решения не входят в общие решения через каждую точку особого решения проходит более одной интегральной кривой.

Пример 5:

см. рис.5 (через каждую точку на оси Ох проходит два решения (две интегральные кривые): частное и особое).

Рис.5

Можно построить интегральную кривую в каждой точке, используя понятие о геометрическом смысле производной: tgα = f(x,y) (рис.6). Таким образом задают поле направлений, т.е. задают прямую в каждой точке, а потом проводят кривую касательную ко всем прямым в этих точках и получают интегральную кривую (одно из решений).

рис.6

Сформулируем важнейшую теорему.

Теорема (О существовании и единственности решения задачи Коши дифференциального уравнения y’=f(x ,y)):

Пусть - непрерывная функция (рис.7) в области , причем - также непрерывна в . Тогда существует единственное решение y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x, y) с начальным условием y(x₀)=y_0, (x₀,y₀) принадлежит D. Следовательно, через точку проходит только одна интегральная кривая.

Рис.7

(без доказательства).

Пример 7:

Рассмотрим подробнее уравнение :

Так как производная функции f(y) неопределена при у = 0 (разрыв вдоль оси Ох), то при у = 0 есть еще одно решение (особое).

Основные тины дифференциальных уравнений

1) Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения вида , где - непрерывна на некотором , а непрерывна на , причем на . (метод разделения переменных). Интегрируя обе части, получаем . Обозначая любую первообразную для , а - любую первообразную для , перепишем это уравнение в виде неявно выраженной функции . Это – общее решение.

Рассмотрим пример такого уравнения

интегрируя, получим .

2) Однородные уравнения. Под однородными уравнениями понимаются уравнения вида . Для их решения требуется сделать замену , после чего получится уравнение с разделяющимися переменными:

.

Характеристики

Список файлов лекций