Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Пример 1: Рассмотрим параболическое зеркало. Расположим начало координат в фокусе параболы (рис.8). Такое зеркало имеет интересное свойство: при помещении источника света в фокус зеркала лучи, радиально расходящиеся в разные стороны , после отражения становятся параллельными (так получают плоские световые волны), причем по закону отражения угол падения равен углу отражения.

рис.8

=>

Введем замену: y = zx и рассмотрим один случай, когда

Сокращая на z, получаем интегрируем равенство:

Возводим в квадрат z² – 1 = C²x² – 2Cxz + z²

Таким образом, получено уравнение параболы.

Пример 2 (уравнение химической реакции):

1)

Разложим на множители:

при x =a 1=A(b–a ) A=–1/(a–b)

при x = b 1= B(a–b) B=1/(a–b)

В точке (0,0) частное решение исходного уравнения:

Пример 3:

Найдем закон Т(t) остывания кипящей воды до комнатной температуры (t_комн=20⁰) и время достижения 40⁰, если до 60⁰ вода остывает за 20 мин. Известно, что мгновенная скорость остывания линейно зависит от разницы Т и t_комн.

Составим дифференциальное уравнение:

Пример 4:

Найти количество соли в растворе через время t, если известно, что изначально было 10 кг соли в 100 л воды, но каждую минуту в резервуар поступает 20 л воды, а выливается 30 л раствора.

V_р-ра(t) = 100 + 30t –20t = 100 + 10t x(0)=0, x(t)– количество соли

; ;

; при t = 0 x(0)=10 C = 1000

Пример 5:

Найти точный закон радиоактивного распада, если t₀–период полураспада., а x₀– начальное количество. Причем известно, что мгновенная скорость распада линейно зависит от мгновенного количества вещества.

Задано, что х (0)=х₀; x(t₀)= х₀/2 ;

Таким образом, закон распада:

Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

Такие уравнения в общем виде могут быть представлены как:

Пусть y = UV, где U, V– некоторые функции от х, тогда подставляя, получаем:

Выберем V(x) так, чтобы она удовлетворяла условию:

Берем любую функцию, удовлетворяющую этому уравнению, например, V = V(x) и подставляем в исходное уравнение

Пример:

Замена: y = UV

Так как ищем одно любое решение, то при интегрировании не надо добавлять константу: Подставим в исходное уравнение:

Следовательно,

Этот метод применим и для нелинейного уравнения: , где к– константа

Пусть y = UV, где U, V– некоторые функции от х, тогда подставляя получаем

Выберем V(x) так, чтобы она удовлетворяла условию:

Берем любую функцию, удовлетворяющую этому уравнению, например, V = V(x) и подставляем в исходное уравнение из последнего уравнения интегрированием находим U, а затем уже зная V(x) находим у.

Пример:

Решим дифференциальное уравнение, описывающее прохождение по цепи переменного тока, чтобы найти зависимость мгновенной силы тока от времени i(t).

L – индуктивность, R – сопротивление

Сделаем замену переменных: и подставим

Где: α=

Всегда можно ввести ω₀ (собственная частота):

При больших t стремится к нулю

Уравнение Клеро: . Вводя параметр , получаем . или . Тогда, если , то и – это общее решение уравнения Клеро (прямые линии). Если же , то . Тогда – особое решение (проверяется подстановкой в исходное уравнение) .

Пример:

Общее решение уравнения будет: ; особое решение : 0=x + 2C

Проверим, что последняя функция действительно является решением исходного уравнения:

Дифференциальное уравнение n-ного порядка

Общее решение в неявном виде (должно содержать n произвольных независимых постоянных):

Либо общее решение может быть найдено в явном виде:

Пример:

Если задать начальные условия: y (0) = y₀ , V(0)=V₀ , то V₀=С₁ y₀=С₂

Чтобы решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка: , т.е. найти функцию-решение (интегральную кривую), проходящую через данную точку, достаточно задать 1 условие: y(х₀)= y₀.

Теорема: Пусть функция определена и непрерывна в области . Пусть непрерывны в . Тогда задача Коши, состоящая в нахождении решения уравнения с начальными условиями (где точки принадлежат области ) имеет, притом единственное решение y = y(x), в окрестности x=x₀. (без доказательства).

Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение вида:

(1)

При q=0, уравнение называется однородным, q0 неоднородным.

y+py=q –дифференциальное уравнение первого порядка.

Обозначим левую часть уравнения (1) при q(x)=0 L(y)=>L(y)=0.

Отметим два свойства L(y).

1. L(y₁+y₂)=L(y₁)+L(y₂)

2. L(Cy)=CL(y) => множество решений линейно однородного дифференциального L(y) = 0 есть линейное пространство.

Линейная зависимость функций

Функции y₁,…,y_n называются линейно зависимыми, если  λ₁,…,λ_n (|λ₁|+…+|λ_n|0) такие что соответственно функции называются линейно независимыми если не удовлетворяют уравнению (1) при любом .

Множество решений n-мерного дифференциального уравнения образуют базис, состоящий из линейно независимых функций.

Определитель Вронского.

Теорема 1:

Если функции y₁(x),…,y_n(x)(все функции и их производные непрерывны и существуют до n-1 го порядка) линейно зависимы, то =0.

Доказательство:

Так как функции линейно зависимы, то после дифференциирования получим:

, Эта система имеет ненулевое решение  когда определитель этой системы равен 0. А этот определитель и есть определитель Вронского.

Если W0, то функции линейно независимы.

Пример 1:

Покажем, что если определитель равен нулю, то функции необязательно линейно зависимы. ,

Рассмотрим произвольную точку x₀>0.

Теорема 2: Пусть решения уравнения и тогда

Следствие: если хотя бы в одной точке (a,b) тогда  x (a,b) W(x)0 и функции линейно независимы.

Доказательство:

Так как W=0 в x₀, то так как определитель =0 то его столбцы линейно зависимы (их линейная комбинация равна 0). Значит

Рассмотрим функцию y= L(y)=0, т.е. y- решение дифференциального уравнения. С условиями:

Решение удовлетворяет (1) но начальным условиям удовлетворяет только одно решение (по теореме Коши о существовании единственного решения). y(x)  0 и – линейно зависимы => W = 0.

Пример 1:

y⁽ⁿ⁾=0 Решения:y₁=1, y₂=x, y₃=x²,…,y_n=x^n-1

следовательно, функции линейно независимы.

Пример 2:

Значит функции sinx и cosx линейно независимы.

Пример 3:

,

Фундаментальная система решений линейного

однородного уравнения

Определение: Любые n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ного порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения. Из доказанных выше теорем следует:

Теорема: Решения уравнения образуют фундаментальную систему решений этого уравнения тогда и только тогда, когда их определитель Вронского отличен от 0 хотя бы в одной точке .

Теорема: Для любого линейного однородного дифференциального уравнения существует фундаментальная система его решений.

Доказательство: Пусть

Тогда определитель Вронского запишется так:

Система функций решений дифференциального уравнения

L(y) = 0 линейно независима, поэтому она образует фундаментальную систему решений:

Теорема: Пусть y(x) – любое решение дифференциального уравнения L(y) = 0 и Тогда

Доказательство: Рассмотрим систему линейных уравнений относительно неизвестных :

Теорема доказана.

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Частные случаи:

n = 2:

:

Пример:

Поэтому определитель Вронского запишется так:

Общее решение:

– фундаментальная система решений

Общее решение:

В общем виде:

Решение надо искать в виде

Утверждение: Если следующие m функций (решения уравнения L(x))

– линейно независимы, т.к.

;

Следовательно, функции – есть фундаментальная система решений дифференциального уравнения

L(y) = 0.

Общее решение имеет вид:

Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка

L(y)= (1)

Предположим, что найдена ф.с.р. соответствующего однородного уравнения (L(y)=q(x)=0):

Пространство решений неоднородного уравнения уже не является линейным пространством.

Теорема *: Пусть - решение уравнения (1). Тогда любое другое решение этого уравнения имеет вид

, где - решение уравнения , т.е. однородного.

Любое решение Y однородного уравнения представляется в виде линейной комбинации ф.р.

Y=y–y₀ = , т.е. y = y₀ + (общее решение неоднородного уравнения).

Нахождение частного решения неоднородного уравнения.

Оно почти всегда находится, если известна ф.с.р. соответствующего однородного уравнения.

Метод вариации постоянных

Вернемся к неоднородному уравнению (1). Предположим, что мы можем найти фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения (2). Тогда, любое решение этого уравнения имеет вид: . Предположим также, что нам удалось найти некоторое решение уравнения (1). По теореме *, любое решение этого уравнения имеет вид: (3). Итак, для нахождения всех решений уравнения (1) требуется найти какое-то одно его решение . Для этого можно использовать метод вариации постоянных, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде (4), где - фундаментальная система решений уравнения (2).

Тогда:

Характеристики

Список файлов лекций