Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии (В.В. Колыбасова) (1110915), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Сформулируйте и докажите распределительное свойство умножениякомплексных чисел.3.59. Докажите, что множество вещественных чисел является подмножествоммножества комплексных чисел.3.60. Докажите, что любое комплексное число можно представить в алгебраическойформе.3.61.
Докажите, что для любого комплексного числа выполняется ̿ = .3.62. Докажите, что для любых комплексных чисел 1 , 2 выполняется ̅̅̅̅̅̅̅̅̅1 + 2 = ̅1 +̅2 .3.63. Докажите, что для любых комплексных чисел 1 , 2 выполняется ̅̅̅̅̅̅̅̅̅1 − 2 = ̅1 −̅2 .3.64. Докажите, что для любых комплексных чисел 1 , 2 выполняется ̅̅̅̅̅̅̅̅1 ⋅ 2 = ̅1 ⋅ ̅2 .̅̅̅̅̅̅3.65. Докажите, что для любых комплексных чисел 1 , 2 выполняется ( 1) = 1 .2̅23.66.
Запишите и докажите формулу, выражающую модуль комплексного числачерез его вещественную и мнимую части.3.67. Докажите, что любое комплексное число, кроме нуля, можно представить втригонометрической форме.3.68. Докажите, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, ааргументы складываются.3.69. Докажите, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументывычитаются.3.70. Запишите формулу Муавра и докажите её.3.71. Докажите, что любое комплексное число, кроме нуля, можно представить впоказательной форме.̅̅̅̅̅̅ⅈ = ⅇ −ⅈ .3.72. Докажите, что ⅇ3.73. Докажите, что прямая на плоскости, проходящая через точку (0 , 0 ) и имеющаявектор нормали {, }, описывается уравнением ( − 0 ) + ( − 0 ) = 0.3.74.
Выведите общее уравнение прямой на плоскости.3.75. Докажите, что любое уравнение вида + + = 0, где , , ∈ ℝ, || + || ≠0, задаёт в декартовой системе координат на плоскости некоторую прямую.133.76. Выведите уравнение прямой в отрезках из общего уравнения прямой наплоскости.3.77. Выведите уравнение прямой с угловым коэффициентом из общего уравненияпрямой на плоскости.3.78. Докажите, что уравнение = ( − 0 ) + 0 описывает прямую на плоскости,проходящую через точку (0 , 0 ) под углом arctg к оси .3.79. Выведите параметрические уравнения прямой на плоскости.3.80.
Выведите каноническое уравнение прямой на плоскости.3.81. Запишите и докажите формулу, выражающую угол между прямыми наплоскости через векторы нормали к ним.3.82. Запишите и докажите формулу, выражающую угол между прямыми наплоскости через их направляющие векторы.3.83. Докажите, что плоскость, проходящая через точку (0 , 0 , 0 ) и имеющая векторнормали {, , }, описывается уравнением ( − 0 ) + ( − 0 ) + ( − 0 ) = 0.3.84.
Выведите общее уравнение плоскости.3.85. Докажите, что любое уравнение вида + + + = 0, где , , , ∈ ℝ,|| + || + || ≠ 0, задаёт в декартовой системе координат в пространственекоторую плоскость.3.86. Выведите уравнение плоскости в отрезках из общего уравнения плоскости.3.87. Выведите параметрические уравнения плоскости.3.88.
Запишите и докажите формулу, выражающую угол между плоскостями черезвекторы нормали к ним.3.89. Выведите параметрические уравнения прямой в пространстве.3.90. Выведите канонические уравнения прямой в пространстве.3.91. Запишите и докажите формулу, выражающую угол между прямыми впространстве через их направляющие векторы.3.92. Докажите, что эллипс симметричен относительно своего центра, симметриченотносительно своих осей, заключён внутри некоторого прямоугольника исодержит свои вершины.3.93. Докажите, что эллипс может быть получен из окружности с помощью её сжатиявдоль одной из координатных осей.3.94. Докажите, что гипербола симметрична относительно своего центра,симметрична относительно своих осей, лежит вне некоторой полосы и содержитсвои вершины.3.95.
Докажите, что гипербола в канонической системе координат имеет наклонныеасимптоты.3.96. Докажите, что парабола симметрична относительно своей оси, заключена внекоторой полуплоскости и содержит свою вершину.3.97. Докажите, что любые две параболы подобны.3.98. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие равенстванулю определителя второго порядка.143.99. Пользуясь определением алгебраического дополнения, получите выражениедля алгебраического дополнения к элементу первой строки и первого столбцаопределителя третьего порядка.3.100. Пользуясь определением алгебраического дополнения, получите выражениедля алгебраического дополнения к элементу первой строки и второго столбцаопределителя третьего порядка.3.101.
Пользуясь определением алгебраического дополнения, получите выражениедля алгебраического дополнения к элементу первой строки и третьего столбцаопределителя третьего порядка.3.102. Пользуясь определением алгебраического дополнения, получите выражениедля алгебраического дополнения к элементу второй строки и первого столбцаопределителя третьего порядка.3.103. Пользуясь определением алгебраического дополнения, получите выражениедля алгебраического дополнения к элементу второй строки и второго столбцаопределителя третьего порядка.3.104.
Пользуясь определением алгебраического дополнения, получите выражениедля алгебраического дополнения к элементу второй строки и третьего столбцаопределителя третьего порядка.3.105. Пользуясь определением алгебраического дополнения, получите выражениедля алгебраического дополнения к элементу третьей строки и первого столбцаопределителя третьего порядка.3.106.
Пользуясь определением алгебраического дополнения, получите выражениедля алгебраического дополнения к элементу третьей строки и второго столбцаопределителя третьего порядка.3.107. Пользуясь определением алгебраического дополнения, получите выражениедля алгебраического дополнения к элементу третьей строки и третьего столбцаопределителя третьего порядка.3.108. Запишите формулу разложения определителя третьего порядка по первойстроке и докажите её.3.109. Запишите формулу разложения определителя третьего порядка по второйстроке и докажите её.3.110.
Запишите формулу разложения определителя третьего порядка по третьейстроке и докажите её.3.111. Запишите формулу разложения определителя третьего порядка по первомустолбцу и докажите её.3.112. Запишите формулу разложения определителя третьего порядка по второмустолбцу и докажите её.3.113. Запишите формулу разложения определителя третьего порядка по третьемустолбцу и докажите её.3.114. Запишите формулу, связывающую алгебраические дополнения и минорыопределителя третьего порядка. Докажите её для случая первой строки и первогостолбца определителя.153.115. Запишите формулу, связывающую алгебраические дополнения и минорыопределителя третьего порядка.
Докажите её для случая первой строки и второгостолбца определителя.3.116. Запишите формулу, связывающую алгебраические дополнения и минорыопределителя третьего порядка. Докажите её для случая первой строки и третьегостолбца определителя.3.117. Запишите формулу, связывающую алгебраические дополнения и минорыопределителя третьего порядка.
Докажите её для случая второй строки и первогостолбца определителя.3.118. Запишите формулу, связывающую алгебраические дополнения и минорыопределителя третьего порядка. Докажите её для случая второй строки и второгостолбца определителя.3.119. Запишите формулу, связывающую алгебраические дополнения и минорыопределителя третьего порядка. Докажите её для случая второй строки и третьегостолбца определителя.3.120.
Запишите формулу, связывающую алгебраические дополнения и минорыопределителя третьего порядка. Докажите её для случая третьей строки и первогостолбца определителя.3.121. Запишите формулу, связывающую алгебраические дополнения и минорыопределителя третьего порядка. Докажите её для случая третьей строки и второгостолбца определителя.3.122. Запишите формулу, связывающую алгебраические дополнения и минорыопределителя третьего порядка. Докажите её для случая третьей строки итретьего столбца определителя.3.123. Докажите, что определитель второго порядка не изменяется притранспонировании.3.124.
Докажите, что определитель третьего порядка не изменяется притранспонировании.3.125. Докажите, что перестановка строк определителя второго порядкаравносильна умножению определителя на число −1.3.126. Докажите, что перестановка столбцов определителя второго порядкаравносильна умножению определителя на число −1.3.127. Докажите, что перестановка двух строк определителя третьего порядкаравносильна умножению определителя на число −1.3.128. Докажите, что перестановка двух столбцов определителя третьего порядкаравносильна умножению определителя на число −1.3.129. Докажите, что если определитель второго порядка имеет две одинаковыхстроки, то он равен нулю.3.130.
Докажите, что если определитель второго порядка имеет два одинаковыхстолбца, то он равен нулю.3.131. Докажите, что если определитель третьего порядка имеет две одинаковыхстроки, то он равен нулю.163.132. Докажите, что если определитель третьего порядка имеет два одинаковыхстолбца, то он равен нулю.3.133. Докажите, что если все элементы некоторой строки определителя второгопорядка равны нулю, то и сам определитель равен нулю.3.134. Докажите, что если все элементы некоторого столбца определителя второгопорядка равны нулю, то и сам определитель равен нулю.3.135. Докажите, что если все элементы некоторой строки определителя третьегопорядка равны нулю, то и сам определитель равен нулю.3.136.
Докажите, что если все элементы некоторого столбца определителя третьегопорядка равны нулю, то и сам определитель равен нулю.3.137. Докажите, что умножение всех элементов некоторой строки определителявторого порядка на число равносильно умножению определителя на .3.138. Докажите, что умножение всех элементов некоторого столбца определителявторого порядка на число равносильно умножению определителя на .3.139. Докажите, что умножение всех элементов некоторой строки определителятретьего порядка на число равносильно умножению определителя на .3.140. Докажите, что умножение всех элементов некоторого столбца определителятретьего порядка на число равносильно умножению определителя на .3.141.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
