Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии (В.В. Колыбасова) (1110915), страница 9
Текст из файла (страница 9)
На плоскости даны вершины треугольника: (1 , 1 ), (2 , 2 ), (3 , 3 ).1 1 11Докажите, что площадь треугольника вычисляется по формуле = ± |2 2 1|.23 3 1⃗⃗. Представьте вектор ⃗⃗ в виде суммы двух векторов,6.14. Даны векторы ⃗ и ⃗⃗, где ⃗ ≠ 0один из которых коллинеарен вектору ⃗, а другои — ортогонален вектору ⃗.6.15. Даны векторы ⃗, ⃗⃗ и ⃗, удовлетворяющие условию ⃗ + ⃗⃗ + ⃗ = ⃗0⃗. Зная, что |⃗| =|⃗⃗| = |⃗| = 1, вычислите (⃗, ⃗⃗) + (⃗⃗, ⃗) + (⃗, ⃗).2226.16. Докажите тождество параллелограмма: |⃗ + ⃗⃗| + |⃗ − ⃗⃗| = 2 (|⃗|2 + |⃗⃗| ).6.17.
Докажите, что если , , , — произвольные точки в пространстве, то⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = 0.выполняется равенство () + () + (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6.18. Дан прямоугольныи треугольник , в котором угол — прямои. Пусть ⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗. Разложите по базису ⃗, ⃗⃗ вектор, приложенныи к вершине этоготреугольника и совпадающии с его высотои .⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗6.19.
Дан треугольник . Пусть = ⃗⃗. Разложите по базису ⃗, ⃗⃗ вектор,приложенныи к вершине этого треугольника и совпадающии с его высотои .6.20. Докажите, что для произвольного прямоугольника и для любой точки (лежащей или не лежащей в плоскости прямоугольника) выполняется равенство2222⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| + |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | + |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | .|6.21. Даны два неколлинеарных вектора ⃗ и ⃗⃗. Найдите вектор ⃗, компланарныйвекторам ⃗ и ⃗⃗ и удовлетворяющий системе уравнений (⃗, ⃗) = 1, (⃗⃗, ⃗) = 0.6.22. Известно, что среди векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗ никакие два не являются коллинеарными.⃗⃗.Докажите, что если [⃗, ⃗⃗] = [⃗⃗, ⃗] = [⃗, ⃗], то ⃗ + ⃗⃗ + ⃗ = 06.23.
Пусть векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ образуют базис в пространстве, ⃗ = ⃗ + ⃗⃗ + ⃗.Докажите, что =⃗⃗,⃗)(ⅆ⃗ ,,⃗⃗,⃗)(⃗⃗,=(⃗⃗,ⅆ⃗ ,⃗),⃗⃗,⃗)(⃗⃗,=⃗⃗,ⅆ⃗ )(⃗⃗,.⃗⃗,⃗)(⃗⃗,6.24. Три некомпланарных вектора ⃗, ⃗⃗ и ⃗ отложены от единого начала. Наидитеобъем тетраэдра, три ребра которого совпадают с векторами ⃗, ⃗⃗ и ⃗. Ответобоснуите.6.25. Даны вершины тетраэдра: (1 , 1 , 1 ), (2 , 2 , 2 ), (3 , 3 , 3 ), (4 , 4 , 4 ).Найдите объём тетраэдра.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗6.26. Дан тетраэдр .
Пусть ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗, = ⃗. Наидите длину высоты,опущеннои из вершины .6.27. Три некомпланарных вектора ⃗, ⃗⃗ и ⃗ отложены от единого начала. Наидитеобъем призмы, основание которои является треугольником, две стороны которого35совпадают с векторами ⃗, ⃗⃗, а боковое ребро призмы совпадает с вектором ⃗. Ответобоснуите.6.28. Три некомпланарных вектора ⃗, ⃗⃗, ⃗ отложены от единого начала.
Докажите, чтоплоскость, проведённая через концы этих векторов, перпендикулярна к вектору[⃗, ⃗⃗] + [⃗⃗, ⃗] + [⃗, ⃗].6.29. Известно, что векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ ненулевые и ⃗ = [⃗⃗, ⃗], ⃗⃗ = [⃗, ⃗], ⃗ = [⃗, ⃗⃗]. Найдитедлины векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗ и углы между этими векторами.6.30. Считая, что векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ ненулевые, установите, при каком их взаимномрасположении справедливо равенство ⃗⃗(⃗, ⃗) = ⃗(⃗, ⃗⃗).6.31. Считая, что векторы ⃗, ⃗⃗ и ⃗ ненулевые, установите, при каком их взаимномрасположении справедливо равенство [⃗, [⃗⃗, ⃗]] = [[⃗, ⃗⃗], ⃗].(⃗, ⃗) (⃗, ⃗⃗)|.(⃗, ⃗⃗) (⃗⃗, ⃗⃗)6.33.
Докажите, что площадь параллелограмма, две стороны которого совпадают снеколлинеарными векторами ⃗ и ⃗⃗, отложенными от общего начала, вычисляется26.32. Докажите тождество: |[⃗, ⃗⃗]| = |22по формуле = √|⃗|2 ⋅ |⃗⃗| − (⃗, ⃗⃗) .6.34. Докажите тождество [⃗, [⃗, [⃗, [⃗, ⃗⃗]]]] = |⃗|4 ⃗⃗ при условии, что векторы ⃗ и ⃗⃗ортогональны.2226.35. Докажите тождество: (⃗, ⃗⃗, ⃗) + |[[⃗, ⃗⃗], ⃗]| = |[⃗, ⃗⃗]| ⋅ |⃗|2 .(⃗, ⃗) (⃗, ⃗⃗) (⃗, ⃗)26.36. Докажите тождество: (⃗, ⃗⃗, ⃗) = |(⃗, ⃗⃗) (⃗⃗, ⃗⃗) (⃗⃗, ⃗)|.(⃗, ⃗) (⃗⃗, ⃗) (⃗, ⃗)26.37.
Докажите тождество: ([⃗, ⃗⃗], [⃗⃗, ⃗], [⃗, ⃗]) = (⃗, ⃗⃗, ⃗) .6.38. Докажите, что векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ компланарны тогда и только тогда, когдакомпланарны векторы [⃗, ⃗⃗], [⃗⃗, ⃗] и [⃗, ⃗].6.39. Докажите, что если векторы [⃗, ⃗⃗], [⃗⃗, ⃗] и [⃗, ⃗] компланарны, то ониколлинеарны.2226.40.
Докажите тождество: |[⃗, ⃗⃗]| ⋅ |[⃗, ⃗]|2 − ([⃗, ⃗⃗], [⃗, ⃗]) = |⃗|2 ⋅ (⃗, ⃗⃗, ⃗) .46.41. Докажите тождество: ([[⃗, ⃗⃗], [⃗⃗, ⃗]] , [[⃗⃗, ⃗], [⃗, ⃗]] , [[⃗, ⃗], [⃗, ⃗⃗]]) = (⃗, ⃗⃗, ⃗) .(⃗, ⃗) (⃗, ⃗)6.42. Докажите тождество: ([⃗, ⃗⃗], [⃗, ⃗]) = ||.(⃗⃗, ⃗) (⃗⃗, ⃗)6.43. Докажите тождество: ([⃗, ⃗⃗], [⃗, ⃗]) + ([⃗, ⃗], [⃗, ⃗⃗]) + ([⃗, ⃗], [⃗⃗, ⃗]) = 0.6.44. Докажите тождество: [[⃗, ⃗⃗], [⃗, ⃗]] = ⃗(⃗, ⃗⃗, ⃗) − ⃗(⃗, ⃗⃗, ⃗).366.45.
Докажите тождество: [[⃗, ⃗⃗], [⃗, ⃗]] = ⃗⃗(⃗, ⃗, ⃗) − ⃗(⃗⃗, ⃗, ⃗).6.46. Докажите тождество: ⃗(⃗, ⃗⃗, ⃗) = ⃗(⃗⃗, ⃗, ⃗) + ⃗⃗(⃗, ⃗, ⃗) + ⃗(⃗, ⃗⃗, ⃗).6.47. Докажите тождество: (⃗, ⃗⃗)[⃗, ⃗] + (⃗, ⃗)[⃗, ⃗⃗] + (⃗, ⃗)[⃗⃗, ⃗] = ⃗(⃗⃗, ⃗, ⃗).6.48. Докажите тождество [⃗, [⃗⃗, [⃗, ⃗]]] = [⃗, ⃗](⃗⃗, ⃗) − [⃗, ⃗](⃗⃗, ⃗).6.49. Докажите тождество [⃗, [⃗⃗, [⃗, ⃗]]] = ⃗⃗(⃗, ⃗, ⃗) − [⃗, ⃗](⃗, ⃗⃗).⃗⃗⃗⃗⃗⃗6.50.
Докажите тождество: (⃗, ⃗⃗, ⃗)[⃗, ⃗] = |(⃗, ⃗) (, ⃗) (⃗, ⃗)|.(⃗, ⃗) (⃗⃗, ⃗) (⃗, ⃗)(⃗, ⃗⃗, ⃗) (⃗, ⃗⃗, ⃗)6.51. Докажите тождество: (⃗, ⃗⃗, ⃗)(⃗, ⃗, ⃗) = ||.(⃗, ⃗, ⃗) (⃗, ⃗, ⃗)(⃗, ⃗) (⃗, ⅇ⃗) (⃗, ⃗)6.52. Докажите тождество: (⃗, ⃗⃗, ⃗)(⃗, ⅇ⃗, ⃗) = |(⃗⃗, ⃗) (⃗⃗, ⅇ⃗) (⃗⃗, ⃗)|.(⃗, ⃗)(⃗, ⅇ⃗) (⃗, ⃗)6.53. Докажите тождество: ([⃗, ⃗⃗], [⃗, ⃗], [ⅇ⃗, ⃗]) = (⃗, ⃗⃗, ⃗)(⃗, ⅇ⃗, ⃗) − (⃗, ⃗⃗, ⃗)(⃗, ⅇ⃗, ⃗).6.54. Дано комплексное число = + ⅈ. Найдите аргумент числа для всехвозможных значений и .6.55.
Изобразите на комплексной плоскости множество точек , удовлетворяющихуравнению | − 1 | = | − 2 |, где 1 и 2 — фиксированные комплексные числа,1 ≠ 2 . Ответ обоснуйте.6.56. Изобразите на комплексной плоскости множество точек , удовлетворяющихуравнению arg( − 0 ) = . Ответ обоснуйте.6.57. Изобразите на комплексной плоскости множество точек , удовлетворяющихсистеме неравенств 1 < arg( − 0 ) < 2 . Ответ обоснуйте.6.58.
Решите уравнение 5 = ̅.6.59. Докажите, что тангенс угла между двумя прямыми на плоскости 1 + 1 +1 = 0 и 2 + 2 + 2 = 0 равен |1 2 −2 11 2 +1 2|.6.60. Даны уравнения двух прямых на плоскости: 1 + 1 + 1 = 0 и 2 + 2 +2 = 0. Получите необходимые и достаточные условия того, что эти прямыесовпадают; параллельны, но не совпадают; пересекаются в единственной точке.6.61. Найдите расстояние между двумя параллельными прямыми на плоскости + + 1 = 0 и + + 2 = 0.6.62. Найдите координаты ортогональной проекции точки 0 (0 , 0 ) на прямую + + = 0 на плоскости, а также координаты точки, симметричной точке 0относительно данной прямой.376.63.
Докажите, что уравнение прямой на плоскости, проходящей через двенесовпадающие точки 1 (1 , 1 ) и 2 (2 , 2 ), может быть представлено в виде 1|1 1 1| = 0.2 2 16.64. Даны уравнения двух плоскостей: 1 + 1 + 1 + 1 = 0 и 2 + 2 + 2 +2 = 0. Получите необходимые и достаточные условия того, что эти плоскостисовпадают; параллельны, но не совпадают; имеют единственную общую прямую.6.65. Найдите расстояние между двумя параллельными плоскостями + + +1 = 0 и + + + 2 = 0.6.66. Найдите координаты ортогональной проекции точки 0 (0 , 0 , 0 ) на плоскость + + + = 0, а также координаты точки, симметричной точке 0относительно данной плоскости.6.67.
Запишите канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей черезточку 0 (0 , 0 , 0 ) параллельно плоскостям 1 + 1 + 1 + 1 = 0 и 2 +2 + 2 + 2 = 0 при условии, что векторы нормали к плоскостям неколлинеарны.−1−1−1−2−2−26.68. Даны две прямые в пространстве:==и==.111222Получите необходимые и достаточные условия того, что эти прямые совпадают;параллельны, но не совпадают; пересекаются в единственной точке;скрещиваются.−1−1−1−2−2−26.69. Известно, что прямые==и==пересекаются в111222единственной точке. Найдите координаты этой точки.−0−0−06.70.
Дана прямая==и плоскость + + + = 0. Получитенеобходимые и достаточные условия того, что прямая принадлежит плоскости;параллельна плоскости; пересекает плоскость в единственной точке.−0−0−06.71. Известно, что прямая==и плоскость + + + = 0пересекаются в единственной точке. Найдите координаты этой точки.6.72.
Найдите координаты ортогональной проекции точки 1 (1 , 1 , 1 ) на прямую−0−0−0==, а также координаты точки, симметричной точке 1относительно данной прямой.6.73. Приведите к каноническому виду уравнение кривои второго порядка5 2 + 6 + 5 2 − 16 − 16 − 16 = 0.6.74. Найдите множество точек в пространстве, равноудалённых от+1 −1скрещивающихся прямых = =и = =.100010двух6.75. Докажите, что уравнение = задаёт гиперболический параболоид.6.76. Докажите, что уравнение 2 = задаёт конус с вершиной в начале координат.6.77. Пользуясь свойствами определителей, докажите следующее тождество:1 |1 | = ( − )( − )( − ).1 386.78. Пользуясь свойствами определителей, докажите следующее тождество:1 2|1 2 | = ( − )( − )( − ).1 26.79.
Пользуясь свойствами определителей, докажите следующее тождество:1 3|1 3 | = ( − )( − )( − )( + + ).1 36.80. Пользуясь свойствами определителей, докажите следующее тождество:1 2 3|1 2 3 | = ( − )( − )( − )( + + ).1 2 36.81. Пусть = (ⅈ ⅈ )× , где ⅈ — символ Кронекера, ⅈⅈ ≠ 0 при ⅈ = 1, … , .Вычислите −1 .6.82. Верно ли, что если и — квадратные матрицы одного порядка, то () = ? Если да, докажите это; если нет, приведите пример, опровергающий данноеравенство.6.83. Верно ли, что если и — невырожденные квадратные матрицы одногопорядка, то ()−1 = −1 −1 ? Если да, докажите это; если нет, приведите пример,опровергающий данное равенство.6.84.
Пусть — невырожденная квадратная матрица. Как изменится матрица −1 ,если в матрице переставить местами -ю и -ю строки?6.85. Пусть — невырожденная квадратная матрица. Как изменится матрица −1 ,если в матрице умножить -ю строку на число ≠ 0?6.86. Пусть — невырожденная квадратная матрица. Как изменится матрица −1 ,если в матрице к -й строке прибавить -ю, умноженную на число ?6.87. Верно ли, что для любых квадратных матриц и одного порядка выполняетсяравенство det( + ) = det + det ? Если да, докажите это; если нет, приведитепример, опровергающий это равенство.6.88.
Существуют ли ненулевые квадратные матрицы, произведение которых равнонулевой матрице? Если нет, докажите это; если да, приведите пример.6.89. Существуют ли матрицы и такие, что = , = , где — нулеваяматрица, — единичная матрица? Если нет, докажите это; если да, приведитепример.6.90. Найдите все квадратные матрицы второго порядка, для которых 2 = , где — нулевая матрица. (Квадрат матрицы означает произведение матрицы самойна себя.)6.91. Найдите все квадратные матрицы второго порядка, для которых 2 = , где — единичная матрица.
(Квадрат матрицы означает произведение матрицы самойна себя.)6.92. Известно, что — невырожденная квадратная матрица, которая коммутирует сматрицей . Докажите, что матрица −1 тоже коммутирует с матрицей .396.93. Известно, что квадратные матрицы и невырождены и коммутируют.Докажите, что матрицы −1 и −1 тоже коммутируют.6.94. Пусть и — столбцы одинакового размера и = . Докажите, чтосуществует такое число , что 2 = . (Квадрат матрицы означает произведениематрицы самой на себя.)6.95.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
