Главная » Просмотр файлов » Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии (В.В. Колыбасова)

Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии (В.В. Колыбасова) (1110915), страница 9

Файл №1110915 Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии (В.В. Колыбасова) (Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии (В.В. Колыбасова)) 9 страницаСписок вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии (В.В. Колыбасова) (1110915) страница 92019-04-25СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

На плоскости даны вершины треугольника: (1 , 1 ), (2 , 2 ), (3 , 3 ).1 1 11Докажите, что площадь треугольника вычисляется по формуле = ± |2 2 1|.23 3 1⃗⃗. Представьте вектор ⃗⃗ в виде суммы двух векторов,6.14. Даны векторы ⃗ и ⃗⃗, где ⃗ ≠ 0один из которых коллинеарен вектору ⃗, а другои — ортогонален вектору ⃗.6.15. Даны векторы ⃗, ⃗⃗ и ⃗, удовлетворяющие условию ⃗ + ⃗⃗ + ⃗ = ⃗0⃗. Зная, что |⃗| =|⃗⃗| = |⃗| = 1, вычислите (⃗, ⃗⃗) + (⃗⃗, ⃗) + (⃗, ⃗).2226.16. Докажите тождество параллелограмма: |⃗ + ⃗⃗| + |⃗ − ⃗⃗| = 2 (|⃗|2 + |⃗⃗| ).6.17.

Докажите, что если , , , — произвольные точки в пространстве, то⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = 0.выполняется равенство () + () + (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6.18. Дан прямоугольныи треугольник , в котором угол — прямои. Пусть ⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗. Разложите по базису ⃗, ⃗⃗ вектор, приложенныи к вершине этоготреугольника и совпадающии с его высотои .⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗6.19.

Дан треугольник . Пусть = ⃗⃗. Разложите по базису ⃗, ⃗⃗ вектор,приложенныи к вершине этого треугольника и совпадающии с его высотои .6.20. Докажите, что для произвольного прямоугольника и для любой точки (лежащей или не лежащей в плоскости прямоугольника) выполняется равенство2222⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| + |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | + |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | .|6.21. Даны два неколлинеарных вектора ⃗ и ⃗⃗. Найдите вектор ⃗, компланарныйвекторам ⃗ и ⃗⃗ и удовлетворяющий системе уравнений (⃗, ⃗) = 1, (⃗⃗, ⃗) = 0.6.22. Известно, что среди векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗ никакие два не являются коллинеарными.⃗⃗.Докажите, что если [⃗, ⃗⃗] = [⃗⃗, ⃗] = [⃗, ⃗], то ⃗ + ⃗⃗ + ⃗ = 06.23.

Пусть векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ образуют базис в пространстве, ⃗ = ⃗ + ⃗⃗ + ⃗.Докажите, что =⃗⃗,⃗)(ⅆ⃗ ,,⃗⃗,⃗)(⃗⃗,=(⃗⃗,ⅆ⃗ ,⃗),⃗⃗,⃗)(⃗⃗,=⃗⃗,ⅆ⃗ )(⃗⃗,.⃗⃗,⃗)(⃗⃗,6.24. Три некомпланарных вектора ⃗, ⃗⃗ и ⃗ отложены от единого начала. Наидитеобъем тетраэдра, три ребра которого совпадают с векторами ⃗, ⃗⃗ и ⃗. Ответобоснуите.6.25. Даны вершины тетраэдра: (1 , 1 , 1 ), (2 , 2 , 2 ), (3 , 3 , 3 ), (4 , 4 , 4 ).Найдите объём тетраэдра.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗6.26. Дан тетраэдр .

Пусть ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗, = ⃗. Наидите длину высоты,опущеннои из вершины .6.27. Три некомпланарных вектора ⃗, ⃗⃗ и ⃗ отложены от единого начала. Наидитеобъем призмы, основание которои является треугольником, две стороны которого35совпадают с векторами ⃗, ⃗⃗, а боковое ребро призмы совпадает с вектором ⃗. Ответобоснуите.6.28. Три некомпланарных вектора ⃗, ⃗⃗, ⃗ отложены от единого начала.

Докажите, чтоплоскость, проведённая через концы этих векторов, перпендикулярна к вектору[⃗, ⃗⃗] + [⃗⃗, ⃗] + [⃗, ⃗].6.29. Известно, что векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ ненулевые и ⃗ = [⃗⃗, ⃗], ⃗⃗ = [⃗, ⃗], ⃗ = [⃗, ⃗⃗]. Найдитедлины векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗ и углы между этими векторами.6.30. Считая, что векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ ненулевые, установите, при каком их взаимномрасположении справедливо равенство ⃗⃗(⃗, ⃗) = ⃗(⃗, ⃗⃗).6.31. Считая, что векторы ⃗, ⃗⃗ и ⃗ ненулевые, установите, при каком их взаимномрасположении справедливо равенство [⃗, [⃗⃗, ⃗]] = [[⃗, ⃗⃗], ⃗].(⃗, ⃗) (⃗, ⃗⃗)|.(⃗, ⃗⃗) (⃗⃗, ⃗⃗)6.33.

Докажите, что площадь параллелограмма, две стороны которого совпадают снеколлинеарными векторами ⃗ и ⃗⃗, отложенными от общего начала, вычисляется26.32. Докажите тождество: |[⃗, ⃗⃗]| = |22по формуле = √|⃗|2 ⋅ |⃗⃗| − (⃗, ⃗⃗) .6.34. Докажите тождество [⃗, [⃗, [⃗, [⃗, ⃗⃗]]]] = |⃗|4 ⃗⃗ при условии, что векторы ⃗ и ⃗⃗ортогональны.2226.35. Докажите тождество: (⃗, ⃗⃗, ⃗) + |[[⃗, ⃗⃗], ⃗]| = |[⃗, ⃗⃗]| ⋅ |⃗|2 .(⃗, ⃗) (⃗, ⃗⃗) (⃗, ⃗)26.36. Докажите тождество: (⃗, ⃗⃗, ⃗) = |(⃗, ⃗⃗) (⃗⃗, ⃗⃗) (⃗⃗, ⃗)|.(⃗, ⃗) (⃗⃗, ⃗) (⃗, ⃗)26.37.

Докажите тождество: ([⃗, ⃗⃗], [⃗⃗, ⃗], [⃗, ⃗]) = (⃗, ⃗⃗, ⃗) .6.38. Докажите, что векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ компланарны тогда и только тогда, когдакомпланарны векторы [⃗, ⃗⃗], [⃗⃗, ⃗] и [⃗, ⃗].6.39. Докажите, что если векторы [⃗, ⃗⃗], [⃗⃗, ⃗] и [⃗, ⃗] компланарны, то ониколлинеарны.2226.40.

Докажите тождество: |[⃗, ⃗⃗]| ⋅ |[⃗, ⃗]|2 − ([⃗, ⃗⃗], [⃗, ⃗]) = |⃗|2 ⋅ (⃗, ⃗⃗, ⃗) .46.41. Докажите тождество: ([[⃗, ⃗⃗], [⃗⃗, ⃗]] , [[⃗⃗, ⃗], [⃗, ⃗]] , [[⃗, ⃗], [⃗, ⃗⃗]]) = (⃗, ⃗⃗, ⃗) .(⃗, ⃗) (⃗, ⃗)6.42. Докажите тождество: ([⃗, ⃗⃗], [⃗, ⃗]) = ||.(⃗⃗, ⃗) (⃗⃗, ⃗)6.43. Докажите тождество: ([⃗, ⃗⃗], [⃗, ⃗]) + ([⃗, ⃗], [⃗, ⃗⃗]) + ([⃗, ⃗], [⃗⃗, ⃗]) = 0.6.44. Докажите тождество: [[⃗, ⃗⃗], [⃗, ⃗]] = ⃗(⃗, ⃗⃗, ⃗) − ⃗(⃗, ⃗⃗, ⃗).366.45.

Докажите тождество: [[⃗, ⃗⃗], [⃗, ⃗]] = ⃗⃗(⃗, ⃗, ⃗) − ⃗(⃗⃗, ⃗, ⃗).6.46. Докажите тождество: ⃗(⃗, ⃗⃗, ⃗) = ⃗(⃗⃗, ⃗, ⃗) + ⃗⃗(⃗, ⃗, ⃗) + ⃗(⃗, ⃗⃗, ⃗).6.47. Докажите тождество: (⃗, ⃗⃗)[⃗, ⃗] + (⃗, ⃗)[⃗, ⃗⃗] + (⃗, ⃗)[⃗⃗, ⃗] = ⃗(⃗⃗, ⃗, ⃗).6.48. Докажите тождество [⃗, [⃗⃗, [⃗, ⃗]]] = [⃗, ⃗](⃗⃗, ⃗) − [⃗, ⃗](⃗⃗, ⃗).6.49. Докажите тождество [⃗, [⃗⃗, [⃗, ⃗]]] = ⃗⃗(⃗, ⃗, ⃗) − [⃗, ⃗](⃗, ⃗⃗).⃗⃗⃗⃗⃗⃗6.50.

Докажите тождество: (⃗, ⃗⃗, ⃗)[⃗, ⃗] = |(⃗, ⃗) (, ⃗) (⃗, ⃗)|.(⃗, ⃗) (⃗⃗, ⃗) (⃗, ⃗)(⃗, ⃗⃗, ⃗) (⃗, ⃗⃗, ⃗)6.51. Докажите тождество: (⃗, ⃗⃗, ⃗)(⃗, ⃗, ⃗) = ||.(⃗, ⃗, ⃗) (⃗, ⃗, ⃗)(⃗, ⃗) (⃗, ⅇ⃗) (⃗, ⃗)6.52. Докажите тождество: (⃗, ⃗⃗, ⃗)(⃗, ⅇ⃗, ⃗) = |(⃗⃗, ⃗) (⃗⃗, ⅇ⃗) (⃗⃗, ⃗)|.(⃗, ⃗)(⃗, ⅇ⃗) (⃗, ⃗)6.53. Докажите тождество: ([⃗, ⃗⃗], [⃗, ⃗], [ⅇ⃗, ⃗]) = (⃗, ⃗⃗, ⃗)(⃗, ⅇ⃗, ⃗) − (⃗, ⃗⃗, ⃗)(⃗, ⅇ⃗, ⃗).6.54. Дано комплексное число = + ⅈ. Найдите аргумент числа для всехвозможных значений и .6.55.

Изобразите на комплексной плоскости множество точек , удовлетворяющихуравнению | − 1 | = | − 2 |, где 1 и 2 — фиксированные комплексные числа,1 ≠ 2 . Ответ обоснуйте.6.56. Изобразите на комплексной плоскости множество точек , удовлетворяющихуравнению arg( − 0 ) = . Ответ обоснуйте.6.57. Изобразите на комплексной плоскости множество точек , удовлетворяющихсистеме неравенств 1 < arg( − 0 ) < 2 . Ответ обоснуйте.6.58.

Решите уравнение 5 = ̅.6.59. Докажите, что тангенс угла между двумя прямыми на плоскости 1 + 1 +1 = 0 и 2 + 2 + 2 = 0 равен |1 2 −2 11 2 +1 2|.6.60. Даны уравнения двух прямых на плоскости: 1 + 1 + 1 = 0 и 2 + 2 +2 = 0. Получите необходимые и достаточные условия того, что эти прямыесовпадают; параллельны, но не совпадают; пересекаются в единственной точке.6.61. Найдите расстояние между двумя параллельными прямыми на плоскости + + 1 = 0 и + + 2 = 0.6.62. Найдите координаты ортогональной проекции точки 0 (0 , 0 ) на прямую + + = 0 на плоскости, а также координаты точки, симметричной точке 0относительно данной прямой.376.63.

Докажите, что уравнение прямой на плоскости, проходящей через двенесовпадающие точки 1 (1 , 1 ) и 2 (2 , 2 ), может быть представлено в виде 1|1 1 1| = 0.2 2 16.64. Даны уравнения двух плоскостей: 1 + 1 + 1 + 1 = 0 и 2 + 2 + 2 +2 = 0. Получите необходимые и достаточные условия того, что эти плоскостисовпадают; параллельны, но не совпадают; имеют единственную общую прямую.6.65. Найдите расстояние между двумя параллельными плоскостями + + +1 = 0 и + + + 2 = 0.6.66. Найдите координаты ортогональной проекции точки 0 (0 , 0 , 0 ) на плоскость + + + = 0, а также координаты точки, симметричной точке 0относительно данной плоскости.6.67.

Запишите канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей черезточку 0 (0 , 0 , 0 ) параллельно плоскостям 1 + 1 + 1 + 1 = 0 и 2 +2 + 2 + 2 = 0 при условии, что векторы нормали к плоскостям неколлинеарны.−1−1−1−2−2−26.68. Даны две прямые в пространстве:==и==.111222Получите необходимые и достаточные условия того, что эти прямые совпадают;параллельны, но не совпадают; пересекаются в единственной точке;скрещиваются.−1−1−1−2−2−26.69. Известно, что прямые==и==пересекаются в111222единственной точке. Найдите координаты этой точки.−0−0−06.70.

Дана прямая==и плоскость + + + = 0. Получитенеобходимые и достаточные условия того, что прямая принадлежит плоскости;параллельна плоскости; пересекает плоскость в единственной точке.−0−0−06.71. Известно, что прямая==и плоскость + + + = 0пересекаются в единственной точке. Найдите координаты этой точки.6.72.

Найдите координаты ортогональной проекции точки 1 (1 , 1 , 1 ) на прямую−0−0−0==, а также координаты точки, симметричной точке 1относительно данной прямой.6.73. Приведите к каноническому виду уравнение кривои второго порядка5 2 + 6 + 5 2 − 16 − 16 − 16 = 0.6.74. Найдите множество точек в пространстве, равноудалённых от+1 −1скрещивающихся прямых = =и = =.100010двух6.75. Докажите, что уравнение = задаёт гиперболический параболоид.6.76. Докажите, что уравнение 2 = задаёт конус с вершиной в начале координат.6.77. Пользуясь свойствами определителей, докажите следующее тождество:1 |1 | = ( − )( − )( − ).1 386.78. Пользуясь свойствами определителей, докажите следующее тождество:1 2|1 2 | = ( − )( − )( − ).1 26.79.

Пользуясь свойствами определителей, докажите следующее тождество:1 3|1 3 | = ( − )( − )( − )( + + ).1 36.80. Пользуясь свойствами определителей, докажите следующее тождество:1 2 3|1 2 3 | = ( − )( − )( − )( + + ).1 2 36.81. Пусть = (ⅈ ⅈ )× , где ⅈ — символ Кронекера, ⅈⅈ ≠ 0 при ⅈ = 1, … , .Вычислите −1 .6.82. Верно ли, что если и — квадратные матрицы одного порядка, то () = ? Если да, докажите это; если нет, приведите пример, опровергающий данноеравенство.6.83. Верно ли, что если и — невырожденные квадратные матрицы одногопорядка, то ()−1 = −1 −1 ? Если да, докажите это; если нет, приведите пример,опровергающий данное равенство.6.84.

Пусть — невырожденная квадратная матрица. Как изменится матрица −1 ,если в матрице переставить местами -ю и -ю строки?6.85. Пусть — невырожденная квадратная матрица. Как изменится матрица −1 ,если в матрице умножить -ю строку на число ≠ 0?6.86. Пусть — невырожденная квадратная матрица. Как изменится матрица −1 ,если в матрице к -й строке прибавить -ю, умноженную на число ?6.87. Верно ли, что для любых квадратных матриц и одного порядка выполняетсяравенство det( + ) = det + det ? Если да, докажите это; если нет, приведитепример, опровергающий это равенство.6.88.

Существуют ли ненулевые квадратные матрицы, произведение которых равнонулевой матрице? Если нет, докажите это; если да, приведите пример.6.89. Существуют ли матрицы и такие, что = , = , где — нулеваяматрица, — единичная матрица? Если нет, докажите это; если да, приведитепример.6.90. Найдите все квадратные матрицы второго порядка, для которых 2 = , где — нулевая матрица. (Квадрат матрицы означает произведение матрицы самойна себя.)6.91. Найдите все квадратные матрицы второго порядка, для которых 2 = , где — единичная матрица.

(Квадрат матрицы означает произведение матрицы самойна себя.)6.92. Известно, что — невырожденная квадратная матрица, которая коммутирует сматрицей . Докажите, что матрица −1 тоже коммутирует с матрицей .396.93. Известно, что квадратные матрицы и невырождены и коммутируют.Докажите, что матрицы −1 и −1 тоже коммутируют.6.94. Пусть и — столбцы одинакового размера и = . Докажите, чтосуществует такое число , что 2 = . (Квадрат матрицы означает произведениематрицы самой на себя.)6.95.

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее