Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии (В.В. Колыбасова) (1110915), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Решите систему уравнений при каждом значении параметра :( + 3) + 15 = ,{ + ( + 4) = − 2.30ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА5. Доказательства теорем и выводы формул5.1. Докажите, что если вектор ⃗⃗ коллинеарен ненулевому вектору ⃗, то существуеттакое число , что ⃗⃗ = ⃗.5.2. Сформулируйте и докажите теорему о связи линейной зависимости икомпланарности трёх векторов.5.3. Докажите, что каковы бы ни были неколлинеарные векторы ⃗ и ⃗⃗, для любоговектора ⃗, компланарного с ними, существуют вещественные числа и такие, чтосправедливо равенство ⃗ = ⃗ + ⃗⃗.5.4.
Сформулируйте и докажите теорему о том, какие векторы образуют базис впространстве.5.5. Сформулируйте и докажите теорему о связи декартовых координат вектора наплоскости и его проекций на координатные оси.5.6. Сформулируйте и докажите теорему о связи декартовых координат вектора впространстве и его проекций на координатные оси.5.7.
Выведите выражение для скалярного произведения векторов через ихдекартовы координаты на плоскости.5.8. Выведите выражение для скалярного произведения векторов через ихдекартовы координаты в пространстве.5.9. Выведите выражение для векторного произведения векторов через их правыедекартовы координаты в пространстве.5.10. Сформулируйте и докажите теорему о связи смешанного произведениявекторов и объёма параллелепипеда.5.11. Выведите выражение для смешанного произведения векторов через их правыедекартовы координаты в пространстве.5.12. Запишите и докажите формулу, выражающую двойное векторное произведениечерез скалярные произведения.5.13.
Выведите формулы преобразования декартовых координат на плоскости приповороте и сдвиге системы координат.5.14. Выведите выражение для корня -й степени из комплексного числа.5.15. Выведите формулу для расстояния от точки до прямой на плоскости.5.16. Сформулируйте и докажите теорему о расположении точек относительнопрямой на плоскости.5.17. Выведите формулу для расстояния от точки до плоскости.5.18. Сформулируйте и докажите теорему о расположении точек относительноплоскости.5.19.
Выведите формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве.5.20. Выведите формулу для расстояния между двумя скрещивающимися прямыми.5.21. Выведите уравнение касательной к эллипсу.5.22. Выведите уравнение касательной к гиперболе.5.23. Выведите уравнение касательной к параболе.315.24. Опишите алгоритм приведения уравнения кривой второго порядка кканоническому виду с помощью поворота и сдвига системы координат. Какомуусловию должен удовлетворять угол поворота?5.25. Дано уравнение кривой второго порядка 11 2 + 212 + 22 2 + 21 +22 + = 0.
Докажите, что величина 1 = 11 + 22 является инвариантомотносительно поворота системы координат.5.26. Дано уравнение кривой второго порядка 11 2 + 212 + 22 2 + 21 +11 1222 + = 0. Докажите, что величина 2 = || является инвариантом12 22относительно поворота системы координат.5.27. Дано уравнение кривой второго порядка 11 2 + 212 + 22 2 + 21 +11 12 122 + = 0. Докажите, что величина 3 = |12 22 2 | является инвариантом12относительно поворота системы координат.5.28. Дано уравнение кривой второго порядка 11 2 + 212 + 22 2 + 21 +22 + = 0. Докажите, что величина 1 = 11 + 22 является инвариантомотносительно сдвига системы координат.5.29.
Дано уравнение кривой второго порядка 11 2 + 212 + 22 2 + 21 +11 1222 + = 0. Докажите, что величина 2 = || является инвариантом12 22относительно сдвига системы координат.5.30. Дано уравнение кривой второго порядка 11 2 + 212 + 22 2 + 21 +11 12 122 + = 0.
Докажите, что величина 3 = |12 22 2 | является инвариантом12относительно сдвига системы координат.5.31. Сформулируйте и докажите теорему о формулах Крамера для системы из двухуравнений с двумя неизвестными.5.32. Сформулируйте и докажите теорему о формулах Крамера для системы из трёхуравнений с тремя неизвестными.5.33. Сформулируйте и докажите сочетательное свойство умножения матриц.5.34. Докажите, что если матрицы , , имеют такие размеры, что все операции влевой части равенства определены, то выполняется равенство ( + ) = +.5.35.
Докажите, что если матрицы , , имеют такие размеры, что все операции влевой части равенства определены, то выполняется равенство ( + ) = +.5.36. Докажите, что если матрицы , имеют такие размеры, что их произведениеопределено, — произвольное число, то выполняется () = () = ().5.37. Докажите, что если матрицы , имеют такие размеры, что их произведениеопределено, то выполняется () = .325.38. Докажите, что если и — квадратные матрицы второго порядка, то det() =det ⋅ det .5.39. Докажите, что в определителе -го порядка сумма произведении элементов -гостолбца на алгебраические дополнения соответствующих элементов k-го столбцаравна нулю при ≠ .5.40. Докажите, что в определителе -го порядка сумма произведении элементов ⅈ-истроки на алгебраические дополнения соответствующих элементов k-и строкиравна нулю при ⅈ ≠ .5.41.
Докажите, что если — невырожденная квадратная матрица, то существует−1 .5.42. Докажите, что если матрица, обратная к матрице , существует, то онаединственна.5.43. Докажите, что матричное уравнение = , где — известная невырожденнаяквадратная матрица порядка , — известная матрица размера × , —неизвестная матрица, имеет решение, и это решение единственно.5.44. Докажите, что матричное уравнение = , где — известная невырожденнаяквадратная матрица порядка , — известная матрица размера × , —неизвестная матрица, имеет решение, и это решение единственно.5.45.
Докажите, что матричное уравнение = , где — известнаяневырожденная квадратная матрица порядка , — известная невырожденнаяквадратная матрица порядка , — известная матрица размера × , —неизвестная матрица, имеет решение, и это решение единственно.5.46. Сформулируйте и докажите теорему о формулах Крамера для системы из уравнений с неизвестными.5.47. Докажите, что если строки определителя линейно зависимы, то он равен нулю.5.48.
Докажите, что если столбцы определителя линейно зависимы, то он равеннулю.5.49. Сформулируйте и докажите теорему о базисном миноре.5.50. Докажите, что если определитель равен нулю, то его столбцы линейнозависимы.5.51. Докажите, что если определитель равен нулю, то его строки линейно зависимы.5.52. Докажите, что ранг матрицы равен максимальному числу её линейнонезависимых строк.5.53. Докажите, что ранг матрицы равен максимальному числу её линейнонезависимых столбцов.5.54. Опишите алгоритм решения однородной системы из линейныхалгебраических уравнений с неизвестными методом Гаусса—Жордана.Приведите пример.5.55.
Докажите, что если неоднородная система из линейных алгебраическихуравнений с неизвестными совместна, то ранг её расширенной матрицы равенрангу её основной матрицы.335.56. Докажите, что если для неоднородной системы из линейных алгебраическихуравнений с неизвестными ранг расширенной матрицы системы равен рангуосновной матрицы системы, то система совместна.5.57. Докажите, что общее решение неоднородной системы из линейныхалгебраических уравнений с неизвестными является суммой её частногорешения и общего решения соответствующей однородной системы.5.58.
Опишите алгоритм решения неоднородной системы из линейныхалгебраических уравнений с неизвестными методом Гаусса—Жордана.Приведите пример.6. Образцы задач6.1. Докажите, что условие, при котором три точки на плоскости 1 (1 , 1 ), 2 (2 , 2 )1 1 1и 3 (3 , 3 ) лежат на одной прямой, может быть записано в виде |2 2 1| = 0.3 3 16.2. Даны координаты точек (1 , 1 , 1 ), (2 , 2 , 2 ), (3 , 3 , 3 ). Получитенеобходимое и достаточное условие того, что точка принадлежит отрезку .⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗.
Разложите по базису ⃗, ⃗⃗ вектор,6.3. Дан треугольник . Пусть приложенныи к вершине этого треугольника и совпадающии с егобиссектрисои .6.4. Докажите, что три отрезка, соединяющие середины скрещивающихся ребертетраэдра, пересекаются в однои точке и делятся этои точкои пополам.6.5. Докажите, что четыре отрезка, соединяющие вершины тетраэдра с точкамипересечения медиан противоположных гранеи, пересекаются в однои точке иделятся этои точкои в отношении 3:1, считая от вершины.6.6. На диагоналях 1 и 1 боковых гранеи треугольнои призмы 1 1 1расположены соответственно точки и так, что прямые и 1 параллельны.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 |.⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |: |Наидите отношение |6.7.
Докажите, что любые три вектора на плоскости являются линеино зависимыми.6.8. Докажите, что любые четыре вектора в пространстве являются линеинозависимыми.6.9. Векторы ⃗, ⃗, ⃗ являются линейными комбинациями векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗. Докажитеили опровергните утверждение: если векторы ⃗, ⃗, ⃗ линейно независимы, то ивекторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ линейно независимы.6.10. Дан произвольныи тетраэдр . Докажите следующее утверждение: еслиперпендикулярны ребра и , а также ребра и тетраэдра, то ребра и также перпендикулярны.6.11. Докажите, что из медиан произвольного треугольника можно составитьтреугольник. Выразите площадь треугольника, составленного из медиантреугольника , через площадь треугольника .346.12. Докажите, что площадь параллелограмма на плоскости, сторонами которогоявляются векторы ⃗ = {1 , 2 } и ⃗⃗ = {1 , 2 }, может быть вычислена по формуле =1 2± | |.126.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
