Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии (В.В. Колыбасова) (1110915), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Запишите канонические уравнения прямой в пространстве. Объяснитегеометрический смысл входящих в них величин.2.46. Запишите уравнения прямой, являющейся линией пересечения двухплоскостей.2.47. Запишите формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве.2.48. Запишите формулу для расстояния между двумя скрещивающимися прямыми.2.49. Сформулируйте фокальное свойство эллипса.2.50. Сформулируйте директориальное свойство эллипса.2.51. Запишите параметрические уравнения эллипса.2.52. Запишите уравнение касательной к эллипсу.2.53.
Сформулируйте оптическое свойство эллипса.2.54. Запишите полярное уравнение эллипса. Объясните смысл входящих в неговеличин.2.55. Запишите уравнения наклонных асимптот гиперболы.2.56. Сформулируйте фокальное свойство гиперболы.2.57. Сформулируйте директориальное свойство гиперболы.2.58. Запишите параметрические уравнения гиперболы.2.59. Запишите уравнение касательной к гиперболе.2.60. Сформулируйте оптическое свойство гиперболы.2.61. Запишите полярное уравнение гиперболы.
Объясните смысл входящих в неговеличин.2.62. Сформулируйте директориальное свойство параболы.2.63. Запишите уравнение касательной к параболе.2.64. Сформулируйте оптическое свойство параболы.2.65. Запишите полярное уравнение параболы. Объясните смысл входящих в неговеличин.2.66. Объясните, почему эллипс, гиперболу и параболу называют коническимисечениями.2.67. Перечислите, какие множества точек на плоскости являются кривыми второгопорядка.2.68.
Перечислите инварианты уравнения кривой второго порядка.2.69. Перечислите все невырожденные поверхности второго порядка.2.70. Сформулируйте определение линейчатой поверхности. Перечислитеневырожденные линейчатые поверхности второго порядка.2.71. Перечислите свойства операции сложения матриц.2.72. Перечислите свойства операции умножения матрицы на число.2.73. Перечислите свойства операции транспонирования матриц.2.74. Перечислите свойства операции умножения матриц.2.75. Можно ли переставлять множители в произведении матриц? Почему?2.76. Чему равно произведение произвольной матрицы на единичную матрицу;единичной матрицы на произвольную матрицу?2.77. Перечислите свойства определителей -го порядка.92.78.
Запишите формулу, связывающую алгебраические дополнения и минорыопределителя -го порядка.2.79. Запишите формулу разложения определителя -го порядка по его строке; по егостолбцу.2.80. Чему равен определитель произведения квадратных матриц?2.81. Опишите метод Гаусса вычисления определителя. Приведите пример.2.82.
Запишите формулу для вычисления обратной матрицы.2.83. Перечислите свойства обратной матрицы.2.84. Сформулируйте теорему о формулах Крамера для системы из двух уравнений сдвумя неизвестными.2.85. Сформулируйте теорему о формулах Крамера для системы из трёх уравнений стремя неизвестными.2.86. Сформулируйте теорему о формулах Крамера для системы из уравнений с неизвестными.2.87. Опишите метод Гаусса нахождения обратной матрицы. Приведите пример.2.88. Сформулируйте теорему о базисном миноре.2.89. Сформулируйте необходимое и достаточное условие равенства нулюопределителя.2.90.
Перечислите элементарные преобразования строк матрицы, не меняющие еёранг.2.91. Опишите метод Гаусса—Жордана нахождения ранга матрицы. Приведитепример.2.92. В каком случае однородная система из линейных алгебраических уравненийс неизвестными имеет тривиальное решение; нетривиальное решение?2.93. В каком случае однородная система из линейных алгебраических уравнений с неизвестными имеет тривиальное решение; нетривиальное решение?2.94.
Запишите однородную систему из линейных алгебраических уравнений с неизвестными. Из скольких столбцов состоит её фундаментальная совокупностьрешений? Какой вид имеет общее решение однородной системы?2.95. Сформулируйте теорему Кронекера—Капелли.2.96. Запишите неоднородную систему из линейных алгебраических уравнений с неизвестными. Какой вид имеет общее решение неоднородной системы?3. Простые доказательства теорем и выводы формул3.1. Докажите, что для любой точки и для любого вектора ⃗ в пространственайдётся такая точка , что ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗.3.2.
Докажите эквивалентность правила треугольника и правила параллелограммасложения неколлинеарных векторов.3.3. Сформулируйте и докажите переместительное свойство сложения векторов.3.4. Сформулируйте и докажите сочетательное свойство сложения векторов.3.5. Докажите, что для любого вектора ⃗ выполняется ⃗ + ⃗0⃗ = ⃗.3.6. Докажите, что для каждого вектора ⃗ существует вектор ⃗′ такой, что ⃗ + ⃗′ = ⃗0⃗.103.7.
Докажите, что для любых векторов ⃗, ⃗⃗ и для любого вещественного числа выполняется (⃗ + ⃗⃗) = ⃗ + ⃗⃗.3.8. Докажите, что для любого вектора ⃗ и для любых вещественных чисел , выполняется ( + )⃗ = ⃗ + ⃗.3.9. Докажите, что для любого вектора ⃗ и для любых вещественных чисел , выполняется (⃗) = ()⃗.3.10. Докажите, что для любого вектора ⃗ выполняется 1 ⋅ ⃗ = ⃗.3.11. Докажите, что для любого вектора ⃗ выполняется 0 ⋅ ⃗ = ⃗0⃗.⃗⃗ = 0⃗⃗.3.12. Докажите, что для любого вещественного числа выполняется ⋅ 0⃗⃗.3.13. Докажите, что для любого вектора ⃗ выполняется ⃗ + (−1) ⋅ ⃗ = 03.14.
Докажите, что для любых векторов ⃗, ⃗⃗ выполняется ⃗ + (−1) ⋅ ⃗⃗ = ⃗ − ⃗⃗.3.15. Докажите, что если хотя бы один из векторов ⃗1 , ⃗2 , …, ⃗ является нулевым, тоэти векторы являются линейно зависимыми.3.16. Докажите, что если среди векторов какие-либо < векторов являютсялинейно зависимыми, то и все векторов линейно зависимы.3.17. Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии линейнойзависимости векторов. Докажите необходимость.3.18.
Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии линейнойзависимости векторов. Докажите достаточность.3.19. Сформулируйте и докажите теорему о связи линейной зависимости иколлинеарности двух векторов.3.20. Сформулируйте и докажите теорему о том, какие векторы образуют базис наплоскости.3.21. Сформулируйте и докажите теорему о единственности разложения вектора поданному базису на плоскости.3.22. Сформулируйте и докажите теорему о единственности разложения вектора поданному базису в пространстве.3.23. Сформулируйте и докажите теорему о том, как преобразуются координатывекторов на плоскости при сложении векторов.3.24. Сформулируйте и докажите теорему о том, как преобразуются координатывектора на плоскости при умножении вектора на число.3.25.
Сформулируйте и докажите теорему о том, как преобразуются координатывекторов в пространстве при сложении векторов.3.26. Сформулируйте и докажите теорему о том, как преобразуются координатывектора в пространстве при умножении вектора на число.3.27. Сформулируйте и докажите теорему о величине проекции вектора на ось.3.28. Сформулируйте и докажите свойства проекций векторов на ось.3.29.
Запишите и докажите формулу, выражающую длину вектора на плоскостичерез его декартовы координаты.3.30. Запишите и докажите формулу, выражающую длину вектора в пространствечерез его декартовы координаты.113.31. Запишите и докажите формулу, связывающую между собой направляющиекосинусы вектора в пространстве.3.32. Запишите и докажите выражение для декартовых координат вектора сзаданным началом и концом на плоскости. Получите формулу для расстояниямежду двумя точками.3.33. Запишите и докажите выражение для декартовых координат вектора сзаданным началом и концом в пространстве. Запишите и докажите формулу длярасстояния между двумя точками.3.34. Запишите и докажите формулы, связывающие декартовы и полярныекоординаты точки на плоскости.3.35. Запишите и докажите формулы, связывающие декартовы и цилиндрическиекоординаты точки в пространстве.3.36. Запишите и докажите формулы, связывающие декартовы и сферическиекоординаты точки в пространстве.3.37.
Выведите формулу, выражающую скалярное произведение векторов черезпроекции.3.38. Сформулируйте и докажите теорему о величине угла между векторами взависимости от знака их скалярного произведения.3.39. Докажите, что для любых векторов ⃗, ⃗⃗ выполняется (⃗, ⃗⃗) = (⃗⃗, ⃗).3.40. Докажите, что для любых векторов ⃗, ⃗⃗ и любого вещественного числа выполняется (⃗, ⃗⃗) = (⃗, ⃗⃗) = (⃗, ⃗⃗).3.41. Докажите, что для любых векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗ выполняется (⃗ + ⃗⃗, ⃗) = (⃗, ⃗⃗) + (⃗, ⃗),(⃗, ⃗⃗ + ⃗) = (⃗, ⃗⃗) + (⃗, ⃗).⃗⃗; (⃗, ⃗) = 0, если ⃗ = 0⃗⃗.3.42. Докажите, что (⃗, ⃗) > 0, если ⃗ ≠ 03.43. Сформулируйте и докажите теорему о связи коллинеарности векторов ивеличины их векторного произведения.3.44.
Запишите и докажите формулу, выражающую площадь параллелограмма черезвекторное произведение.3.45. Сформулируйте и докажите перестановочное свойство векторногопроизведения.3.46. Докажите, что для любых векторов ⃗, ⃗⃗ и любого вещественного числа выполняется [⃗, ⃗⃗] = [⃗, ⃗⃗] = [⃗, ⃗⃗].3.47. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условиеколлинеарности векторов, связанное с их координатами.3.48. Докажите, что для любых векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗ выполняется (⃗, ⃗⃗, ⃗) = (⃗⃗, ⃗, ⃗) =(⃗, ⃗, ⃗⃗).3.49. Докажите, что для любых векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗ выполняется ([⃗, ⃗⃗], ⃗) = (⃗, [⃗⃗, ⃗]).3.50.
Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условиекомпланарности векторов, связанное с величиной их смешанного произведения.123.51. Сформулируйте и докажите переместительное свойство сложениякомплексных чисел.3.52. Сформулируйте и докажите сочетательное свойство сложения комплексныхчисел.3.53. Докажите, что для любого комплексного числа выполняется + (0, 0) = .3.54. Сформулируйте и докажите переместительное свойство умножениякомплексных чисел.3.55. Сформулируйте и докажите сочетательное свойство умножения комплексныхчисел.3.56. Докажите, что для любого комплексного числа выполняется ⋅ (1, 0) = .3.57. Докажите, что для любого комплексного числа выполняется ⋅ (0, 0) = (0, 0).3.58.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
