Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии (В.В. Колыбасова) (1110915), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Что такое порядокквадратной матрицы, главная диагональ, побочная диагональ? Приведите пример.1.83. Что такое определитель матрицы? Что такое элементы определителя?Запишите выражения определителя первого и второго порядка через егоэлементы.1.84.
Запишите выражение определителя третьего порядка через его элементы.1.85. Сформулируйте определение равных матриц. Приведите пример.1.86. Сформулируйте определение суммы матриц. Приведите пример.1.87. Сформулируйте определение произведения матрицы на число. Приведитепример. Чему равно произведение нулевой матрицы на любое число?1.88. Сформулируйте определение разности матриц. Приведите пример.1.89.
Сформулируйте определение транспонированной матрицы. Приведите пример.1.90. Сформулируйте определение симметричной матрицы. Приведите пример.1.91. Сформулируйте определение кососимметричной матрицы. Приведите пример.1.92. Сформулируйтеопределениематрицы-строкииматрицы-столбца.Сформулируйте определение произведения строки на столбец. Приведите пример.1.93. Сформулируйте определение произведения матриц. Приведите пример.1.94. Сформулируйте определение коммутирующих матриц.
Приведите пример.1.95. Сформулируйте определение единичной матрицы. Что такое символКронекера? Как выражаются элементы единичной матрицы через символКронекера?1.96. Сформулируйте определение минора определителя -го порядка. Приведитепример.1.97. Сформулируйте определение определителя -го порядка, использующеепонятие минора.1.98. Сформулируйте определение перестановки чисел. Чему равно количестворазличных перестановок чисел? Сформулируйте определение беспорядка.5Приведите пример.
Сформулируйте определение определителя -го порядка,использующее понятия перестановок и беспорядков.1.99. Сформулируйте определение алгебраического дополнения к элементуопределителя -го порядка. Приведите пример.1.100. Сформулируйте определение верхней треугольной матрицы. Приведитепример.1.101. Сформулируйте определение нижней треугольной матрицы. Приведитепример.1.102. Сформулируйте определение диагональной матрицы. Приведите пример.1.103.
Сформулируйте определение вырожденной квадратной матрицы.1.104. Сформулируйте определение невырожденной квадратной матрицы.1.105. Сформулируйте определение обратной матрицы. При каком условии онасуществует и единственна?1.106. Сформулируйте определение линейной комбинации строк.1.107. Сформулируйте определение линейной комбинации столбцов.1.108. Сформулируйте определение линейно зависимых строк.1.109. Сформулируйте определение линейно зависимых столбцов.1.110. Сформулируйте определение линейно независимых строк.1.111.
Сформулируйте определение линейно независимых столбцов.1.112. Сформулируйте определение минора матрицы. Приведите пример.1.113. Сформулируйте определение базисного минора матрицы. У всякой лиматрицы существует базисный минор? Какие строки и столбцы матрицыназываются базисными? Что такое ранг матрицы? Чему равен ранг нулевойматрицы?1.114. Запишите систему из линейных алгебраических уравнений с неизвестными. Как её записать в матричном виде? Что такое основная матрицасистемы; расширенная матрица системы? Какая система называется однородной;неоднородной? Какое решение однородной системы линейных алгебраическихуравнений называется тривиальным; нетривиальным?1.115. Запишите систему из линейных алгебраических уравнений с неизвестными.
Какие переменные называются базисными; свободными?Сформулируйте определение фундаментальной совокупности решенийоднородной системы линейных алгебраических уравнений.1.116. Сформулируйте определение совместной системы уравнений. В каком случаеоднородная система линейных алгебраических уравнений является совместной?Ответ обоснуйте.2. Формулировки теорем2.1. Перечислите свойства операции сложения векторов.2.2. Перечислите свойства операции умножения вектора на число.⃗⃗. Запишите необходимое и достаточное условие того, что вектор ⃗⃗2.3. Пусть ⃗ ≠ 0коллинеарен вектору ⃗.62.4. Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии линейнойзависимости векторов.2.5. Сформулируйте теорему о связи линейной зависимости и компланарности трёхвекторов.2.6.
Сформулируйте теорему о том, какие векторы образуют базис в пространстве.2.7. Сформулируйте теорему о связи декартовых координат вектора на плоскости иего проекций на координатные оси.2.8. Сформулируйте теорему о связи декартовых координат вектора в пространствеи его проекций на координатные оси.2.9. Перечислите свойства скалярного произведения.2.10. Запишите выражение скалярного произведения векторов через их декартовыкоординаты на плоскости.2.11. Запишите выражение скалярного произведения векторов через их декартовыкоординаты в пространстве.2.12.
Перечислите свойства векторного произведения.2.13. Запишите выражение векторного произведения векторов через их правыедекартовы координаты в пространстве.2.14. Сформулируйте необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов,связанное с их координатами.2.15. Сформулируйте теорему о связи смешанного произведения векторов и объёмапараллелепипеда.2.16. Перечислите свойства смешанного произведения векторов.2.17.
Запишите выражение смешанного произведения векторов через их правыедекартовы координаты в пространстве.2.18. Запишите формулу, выражающую двойное векторное произведение черезскалярные произведения.2.19. Запишите формулы преобразования декартовых координат на плоскости приповороте и сдвиге системы координат.2.20. Перечислите свойства операций сложения и умножения комплексных чисел.2.21. Перечислите свойства операции комплексного сопряжения комплексных чисел.2.22. Как преобразуются модули и аргументы комплексных чисел при их умножении?2.23. Как преобразуются модули и аргументы комплексных чисел при их делении?2.24. Как преобразуется модуль и аргумент комплексного числа при возведенииэтого числа в целую степень?2.25. Запишите выражение для корня -й степени из комплексного числа. Сколькоразличных значений имеет корень -й степени из данного комплексного числа?Как эти значения расположены на комплексной плоскости? Чему равен корень й степени из нуля?2.26.
Запишите уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку иимеющей заданный вектор нормали.2.27. Запишите общее уравнение прямой на плоскости, имеющей заданный векторнормали.72.28. Запишите уравнение прямой на плоскости в отрезках. Объяснитегеометрический смысл входящих в него коэффициентов.2.29. Запишите уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом.Объясните геометрический смысл входящих в него величин.2.30.
Запишите уравнение прямой на плоскости с заданным угловымкоэффициентом, проходящей через заданную точку.2.31. Запишите параметрическое уравнение прямой на плоскости в векторном виде.Объясните геометрический смысл входящих в него величин. Какова егомеханическая интерпретация? В каком случае уравнение будет описыватьполупрямую; отрезок прямой?2.32. Запишите параметрические уравнения прямой на плоскости в координатномвиде. Объясните геометрический смысл входящих в них величин. Каковамеханическая интерпретация этих уравнений? В каком случае уравнения будутописывать полупрямую; отрезок прямой?2.33.
Запишите каноническое уравнение прямой на плоскости. Объяснитегеометрический смысл входящих в него величин.2.34. Запишите формулу для расстояния от точки до прямой на плоскости.2.35. Сформулируйте теорему о расположении точек относительно прямой наплоскости. При каком условии точки будут находиться по одну сторону от прямой;по разные стороны от прямой?2.36. Запишите уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и имеющейзаданный вектор нормали.2.37. Запишите общее уравнение плоскости, имеющей заданный вектор нормали.2.38. Запишите уравнение плоскости в отрезках. Объясните геометрический смыслвходящих в него коэффициентов.2.39.
Запишите параметрическое уравнение плоскости в векторном виде. Объяснитегеометрический смысл входящих в него величин.2.40. Запишите параметрические уравнения плоскости в координатном виде.Объясните геометрический смысл входящих в них величин.2.41. Запишите формулу для расстояния от точки до плоскости.2.42. Сформулируйте теорему о расположении точек относительно плоскости. Прикаком условии точки будут находиться по одну сторону от плоскости; по разныестороны от плоскости?2.43. Запишите параметрическое уравнение прямой в пространстве в векторномвиде.
Объясните геометрический смысл входящих в него величин. Какова егомеханическая интерпретация? В каком случае уравнение будет описыватьполупрямую; отрезок прямой?2.44. Запишите параметрические уравнения прямой в пространстве в координатномвиде. Объясните геометрический смысл входящих в них величин. Каковамеханическая интерпретация этих уравнений? В каком случае уравнения будутописывать полупрямую; отрезок прямой?82.45.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
