Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр (1109831), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Δ ≠ 0 в М0). Т.о.,к (6) можно применить теорему о существовании и дифф‒сти неявнозаданной ф‒и: для дост-но малого εт > 0 Ǝ окрестность М'0 (х1°, ...,хп°) ∈ R', что всюду в ее пределах определена ф‒я = (1 , … , ) ()которая удовлетворяет | иm ‒ иm° | < εm и является единственнымнепрерывным и дифф‒мым решением уравнения (6). Имея в виду, чтоф‒и (4) являются решениями первых т ‒ 1 уравнений (2) при∀ ит, х1 ..., хп из окрестности М0'', и вставляя (10) в (4), получимфункции, зависящие только от х1, ..., хп:1 = Ф1 ( (1 , … , ), 1 , … , ) = 1 (1 , … , )… … … … … … … … … ….−1 = Ф−1 ( (1 , … , ), 1 , … , ) = −1 (1 , … , )По теореме о дифф‒сти сложной функции каждая из φ1, ..., φm‒1дифф‒ма в окрестности М '0 (х1°, ..., хп°).
Т.о., доказано: т функций1 = 1 (1 , … , ),…() = (1 , … , )удовлетворяют в окрестности М '0 условиям | и1 ‒ и1° | < ε1, …,| иm ‒ иm° | < εm и являются при наличии этих условий единственнымнепрерывным и дифф‒мым в некоторой окрестности М '0 (х1°, ..., хп°)решением системы (2). Осталось доказать, что функции (11) являютсяединственным решением системы (2). Пусть кроме ф‒й (11),существуют еще т функций�1 = �1 (1 , … , ),…(′)� = � (1 , … , )также являющихся решением системы (2) и удовлетворяющих | �1 ‒и1° | < ε1, …, | �m ‒ иm° | < εm . Тогда, в силу предположения индукции,первые (т ‒ 1) функций (11) являются при заданномит = �т единственным и дифференцируемым решением системыпервых (т ‒ 1) уравнений (2).
Но при заданном ит единственноерешение системы первых (т ‒ 1) уравнений (2) дается равенствами(4). Т.о., справедливы�1 = Ф1 (� , 1 , … , ),…(′)�−1 = Ф−1 (� , 1 , … , )где Ф1, ..., Фт‒1 ‒ те же функции, что и (4) => из последнегоуравнения (2) и соотношения (5) => �т ‒ единственное решениеуравнения (6), т. е. �т = ит => из (4') и (4) => �1 = и1, ..., �т‒1 = ит‒1.29. Понятие зависимости функций. Функциональные матрицы.Пусть т функций от одних и тех же п переменных1 = 1 (1 , … , ),…() = (1 , … , )определены и дифф‒мы в некоторой открытой n‒мерной области D.1 из этих ф‒й, напр.
uk , зависит в области D от остальных, если длявсех точек (x1, ..., xn ) ∈ D : uk = Ф (u1, …, uk‒1, uk+1, …, um) (2)где Ф ‒ некоторая ф‒я, определенная и дифф‒мая всоответствующей области изменения своих аргументов. Функцииu1, …, um зависимы в области D, если 1 из них зависит в D отостальных.Если ∄ дифф‒мой ф‒и Ф : сразу для всех точек области Dсправедливо тождество вида (2), то u1, …, um независимы в D.Определитель Якоби:11…(1 , … , ) � 1�…=(1 , … , ) � �…1Т1(достат. усл-е незав-сти). Пусть m функций от п ≥ тпеременных1 = 1 (1 , … , +1 , … , ),… = (1 , … , +1 … , )определены и дифф‒мы в окрестности М0 (х1°, ..., хп°). Тогда еслиякобиан из этих функций по каким‒либо т переменным отличен от 0в M0, то эти ф‒и независимы в некоторой окрестности М0.Док‒во.
Пусть в М0 отличен от 0 якобиан(1 , … , )()(1 , … , )Пусть u1, …, um зависимы в некоторой окрестности М0 :uk = Ф(u1, …, uk‒1, uk+1, …, um)где Ф ‒ некоторая дифф‒мая ф‒я. Производная сложной иk по ∀ xl :Ф −1Ф +1 Ф 1=+ ⋯+++⋯−1 +1 1 Ф +,() => если их взять (3) для каждого l = 1, 2, ..., т в М0 , то k‒я строкаякобиана (2) является линейной комбинацией остальных строк сФФФФкоэффициентами,…,,,…,=> якобиан (2) = 0 в М0,1−1 +1=> противоречит условию теоремы.Функциональные матрицы. Пусть функции (1) определены и дифф‒мы в некоторой окрестности М0 (х1°, ..., хп°) и все их частныепроизводные 1‒го порядка непрерывны в самой М0.Функциональная матрица из т строк и п столбцов:11… �1� ………………()��…1Т2. Пусть у функциональной матрицы (4): 1) некоторый минор r ‒гопорядка отличен от 0 в М0 (х1°, ..., хп°), 2) все миноры (r + 1) ‒гопорядка = 0 в некоторой окрестности М0.
Тогда r функций,представ‒ленных в указанном миноре r‒го порядка, независимы вокрестности М0, каждая из остальных функций зависит в этойокрестности от указанных r функций. (Если r = min (m, n),требование 2) опустить)Док‒во. Пусть в М0 ≠ 0 минор в левом верхнем углу (4)11…1�… …… … … … �()� �…1=> из Т1 =>независимость и1, ..., иr в окрестности М0 . Надо доказать,что ∀ из иr+1, ..., ит (m > r) зависит в окрестности М0 от и1, ..., иr .Напри‒мер иr+1 . Пусть и1° = φ1 (х1°, ..., хп°), ..., иr° = φr (х1°, ..., хп°) =>то всюду в некоторой окрестности N0 (и1°, …, иr°, х1°, ..., хп°)(п +r)‒мерного пр‒ва 1‒ые r функций (1) являются единственным идифференцируемым решением системы уравнений :1 (1 , … , , 1 , … , ) ≡ 1 (1 , … , ) − 1 = 0,…() (1 , … , , 1 , … , ) ≡ (1 , … , ) − = 0( ,…, )(в N0 все F1, ....
Fr обращаются в 0, а (1 = (‒1)r ≠ 0 =>1 ,…, )выполнены условия теоремы о разрешимости системы( ,…, )функциональных уравнений). Якобиан (1,…, ) совпадающий с1минором (5), ≠ 0 в N0 => всюду в достаточно малой окрестности N0система (6) имеет единственное и дифф‒мое решение1 = 1 (1 , … , , +1 , … , )…() = (1 , … , , +1 , … , )Равенства (7) и 1‒ые r равенств (1) полностью эквивалентны вокрест‒ности N0 : если подставить x1, ..., xr из (7) в 1‒ые r равенств(1), то они обратятся в тождества относительно xr+1, ..., хп, и1 ..., иr .Дифференцируя (7) по xl (l = r + 1, ..., п) и замечая, что и1 ..., иr независят от xr+1, ..., хп :1 11 1+ ⋯++= 0 ( )1 … 1 + ⋯++= 0 ( )1 1rРавенства (8 ) ‒ (8 ) справедливы для всех значений x1, ..., xr , xr+1, ...,хп из некоторой окрестности М0.
Подставим x1, ..., xr из (7) в (r +1)‒е равенство (1) => иr+1 ‒ функция Ф от и1 ..., иr, xr+1, ..., хп, т.к.+1 = +1 (1 , … , +1 , … , ) = +1 (1 (1 , … , , +1 , … , ), …, (1 , … , , +1 , … , ), +1 , … , = Ф(1 , … , , +1 , … , )=> иr+1 зависит в некоторой окрестности М0 от и1, ..., иr. Остаетсядоказать, что для всех значений x1, ..., xr , xr+1, ..., хп , лежащих вмалой окрестности М0, функция Ф не зависит от xr+1, ..., хп .
Дост‒нодоказать, что для всех x1, ..., хп из достаточно малой окрестноститочки М0 :Ф= 0 ( = + 1, … ) ()Продифференцируем Ф по xl (l = r + 1, ..., п) как сложную ф‒ю:+1 +1 Ф+1 1(+ )+ ⋯++=1 Рассмотрим минор (r + 1)‒го порядка матрицы (4):1 11… �1�……………… Δ=()…1 ��+1 +1+1…1По условию теоремы он = 0 всюду в окрестности М0. Умножимравенства (81) ‒ (8r+1) на соответствующие алгебраическиедополнения Δ1, .... Δr+1 элементов последнего столбца (10) и сложим 1+11+1��Δ + ⋯+Δ �+�Δ + ⋯+Δ � 1 +1+1 1+1 +1=1Ф=Δ +1Т.к. сумма произведений элементов данного столбца насоответствую‒щие алгебраические дополнения элементов этого(другого) столбца равна определителю (0), то каждая [ ] = 0, а ( ) =минору (10):ФΔ=Δ() +1Δ ‒ минор (10), = 0 всюду в окрестности М0, алгебраическое дополнение Δr+1 совпадает с минором (5), ≠ 0 в М0 и в некоторой окрестностиМ0 (Т.к.
все частные производные, входящие в (5), непрерывны в М0,то и сам минор (5) непрерывен в М0 => по теореме об устойчивостизнака непрерывной функции этот минор ≠ 0 не только в М0, но и внекоторой ее окрестности). Из (11) => всюду в некоторойокрестности М0 справедливы равенства (9).30. Условный экстремум и методы его отысканияПусть требуется найти экстремум функции т + п переменных = (1 , … , , 1 , … , ) ()при наличии т условий связи1 (1 , … , , 1 , … , ) = 0,…() (1 , … , , 1 , … , ) = 0Функция (1) при наличии связей (2) имеет условный максимум(минимум) в М0 (х1°, ..., хп°, y1°, ..., ym°), координаты которойудовлетворяют условиям связи (2), если Ǝ такая окрестность М0, впределах которой значение функции (1) в М0 является наибольшим(наименьшим) среди ее значений во всех точках, координатыкоторых удовлетворяют условиям связи (2).Пусть функции в левых частях равенств (2) дифф‒мы в некоторойокрестности М0, в самой М0 их частные производные по у1, ..., утнепрерывны, и отличен от 0 якобиан:11… �(1 , … , ) � 1…=()(1 , … , ) � �…1=> по теореме о разрешимости системы функциональных уравненийдля достаточно малых ε1 > 0, ..., εm > 0 Ǝ такая окрестность М '0 (х1°,..., хп°) пр‒ва переменных (х1, ..., хп), что всюду в пределах этойокрестности определены т функций1 = 1 (1 , … , ),…() = (1 , … , )удовлетворяющих | y1 ‒ y1° | < ε1, …, | ym ‒ ym° | < εm и являющихся приналичии этих условий единственным и дифф‒мым решением системыуравнений (2).
Подставляя (4) в (1), сведем вопрос о существованииусловного экстремума в точке М0 у (1) при наличии связей (2) квопросу о существовании безусловного экстремума в точке М'0 усложной функции аргументов х1, ..., хп = �1 , … , , 1 (1 , … , ), … , (1 , … , )� = Ф(1 , … , ) ()Установим необходимые условия существования условногоэкстремума в М0. Пусть (1) дифф‒ма в М0 и имеет в этой точкеусловный экстремум при наличии связей (2), т.е., (5) имеет в М '0безусловный экстремум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
