Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр (1109831), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Подставляя из (4) в (16) и собираякоэффициенты приполучим 11� + ⋯ + � + ⋯ +1 1 1 +� + ⋯ + � 1 1 Коэффициент при = дифференциалу dxi ф-ции xi = φi (t1, …, tk) => =получим для дифференциала dи сложной функции формулу (15), вкоторой дифференциалы dxi будут дифференциалами функций xi = φi(t1, …, tk).22. Производная по направлению. Градиент.Пусть и = f (х, у, z) 3 переменных х, у и z задана в некоторой окрестности М0 (х0, у0, z0).
Рассмотрим некоторое направление,определяемое единичным вектором а с координатами {cos α, cos β,cos γ}. Проведем через М0 ось 1, направление которой совпадает снаправлением а, возьмем на этой оси∀ М (х, у, z) и пусть l ‒ величина направленного отрезка М0М.Координаты х, у, z точки М :x = x0 ‒ l cos α, y = y0 ‒ l cos β, z = z0 ‒ l cos γ(1)На оси 1 ф‒я и = f (х, у, z) ‒ сложной ф‒я одной переменной l. Еслиэта функция имеет в l = 0 производную по переменной l, то этапроизводная называется производной по направлению 1 оти = f (х, у, z) в М0 : =++=> �т.
к.= cos ,= cos ,= cos � => =cos +cos +cos () Градиентом дифф‒мой в точке М0 (х0, у0, z0) функции и = f (х, у, z) вМ0 называется векторgrad u, имеющий координаты, соответственно равные производным , , , взятым в М0 : = � , , � Т.к. вектор а, определяющий направление оси 1, имеет координаты{cos α, cos β, cos γ}, представим выражение (2) в виде скалярногопроизведения векторов grad и и а:= а ()Покажем, что градиент функции и = f (х, у, z) в точке М0 характеризует направление и величину максимального роста этой ф‒и в М0,т.е., производная функции и в М0 по направлению, определяемомуградиентом этой функции в М0, имеет максимальное значение посравнению с производной по ∀ другому направлению в М0, а значение указанной производной равно длине вектора | grad и |.Перепишем (3) в виде= |а|| | cos = [т.
к. |а| = 1] = | | cos где φ ‒ угол между grad и и а => максимальное значениепроизводной по направлению приcos φ = 1, т. е. когда направление а совпадает с направлением grad и,при этом� �= | | maxЗ. Для ф‒и и = f (х, у) 2 переменных х и у единичный вектор а,определяющий направление в М0, имеет координаты {cos α, sin α} =>(2) принимает вид =cos +sin Для ф‒и 2 переменных градиент дифф‒мой функции и (х, у) ‒ вектор с координатами � , �, формула (3) также справедлива.
Для функции и = f (х1, ..., хт) т переменных х1, ..., хт аналогично.Производнаяв М0 (х1°, ..., хт°) по направлению 1, котороезадается единичным вектором а = {cos α1, …, cos αm} (гдеcos2 α1 + …+ cos2 αm = 1), определяется как производная по l сложнойф‒и и = f (х1, ..., хт) , гдеx1 = x1° ‒ l cos α1 , …, xm = xm° ‒ l cos αi . Еслии = f (х1, ..., хт) ‒ дифф‒мая функция, для производной понаправлению :=cos 1 + ⋯ +cos 1Градиентом ф‒и в данной М0 (х1°, ..., хт°) называется вектор = �,…,�1производные берутся в М0.
Также справедлива (3).23. Частные производные и дифференциалы высших порядков.Теоремы о равенстве смешанных производных.Пусть у и =f (х1, ..., хт), определенной в области {М}, в ∀ ∈{М}Ǝпо xi =>‒ функция от х1, ..., хт , тоже определенная в {М}.Если она имеет частную производную по хk в некоторойМ ∈ {М}, то ее называют 2‒ой частной производной и = f (х1, ..., хт)в М сначала по хi, а затем по хk:2 (2)(2), , п‒я частная производная вводится индуктивно.
Если введено понятие(п ‒ 1)‒й частной производной ф‒и и =f (х1, ..., хт) по хi1, ..., хi(n‒1) иона имеет в М частную производную по хin , то ее на-зывают п‒йчастной производной и = f (х1, ..., хт) в М по хi1, ..., хin −1 =�� −1 … 1 −1 … 1Если не все i1, ..., in совпадают, то част. производная ‒смешаннаяФ‒я и = f (х1, ..., хт) называется п раз дифф‒мой в М0 (х1°, ..., хт°),если все частные производные (п ‒ 1)‒го порядка этой ф‒и являютсядифф‒мыми функциями в М0.У. Чтобы и = f (х1, ..., хт) была п раз дифф‒емой в М0 (х1°, ..., хт°),достаточно, чтобы все ее частные производные п‒го порядка былинепрерывными в М0. (=> из определения дифф‒сти функции итеоремы о достаточных условиях дифф‒сти)Т1.
Пусть и = f (х, у) дважды дифференцируема в М0 (x0, у0). Тогда в(2)(2)М0 = .Док‒во. и = f (х, у) дважды дифф‒ма в М0 (x0, у0) => fx' и fy'определены в окрестности М0 и дифф‒мы в М0. РассмотримФ=f (х0+h, у0+h)‒ f (х0+h, у0 )‒ f (х0, у0+ h)+ f (х0, у0 ) (1)где h ‒ ∀ столь малое число, что М (х0 + h, у0 ‒ h) находится в этоойокрестности М0. Ф ‒ приращение Δφ = φ (х0 + h) ‒ φ (x0) дифф‒мой на[x0, x0 + h] ф‒и φ (х) = f (х, у0 + h) ‒ f (х, у0 ) переменной х => по Т.Лагранжа, Ǝ θ из 0 < θ < 1:Ф = Δφ = φ' (х0 + θh)h = [ fx'(х0 + θh, у0 + h) ‒‒fx'(х0 + θh, у0 )]h ={[ fx'(х0 + θh, у0 + h) ‒ fx'(х0, у0 )] ‒‒ [ fx'(х0 + θh, у0 ) ‒ fx'(х0, у0 )]}h (2)Т.к. fx' дифф‒ма в М0 => [ fx'(х0 + θh, у0 + h) ‒ fx'(х0, у0 )] =(2)(2)= (х0, у0 ) θh + (х0, у0 )h + α1 θh +(2)+β1 h[ fx'(х0 + θh, у0 ) ‒ fx'(х0, у0 )] = (х0, у0 ) θh+α2 θhгде α1, β1, α2 ‒ бесконечно малые при h → 0 .
Подставляя в (2):(2)Ф = [ (х0, у0 ) + α] h2 (3)где α = α1 θ + β1 ‒ α2 θ ‒ бесконечно малая при h → 0 функция. С др.стороны, (1) для Ф ‒ приращение Δψ = ψ(y0 + h) ‒ ψ (y0) дифф‒мой на[y0, y0 + h] ф‒и ψ (y) = f (х0 +h, у) ‒ f (х0, у):(2)Ф = [ (х0, у0 ) + β] h2 (4)где β ‒ бесконечно малая при h → 0. (3) = (4) и сократить на h2 :(2)(2) (х0, у0 ) + α = (х0, у0 ) + β(2)(2)α и β‒бесконечно малые при h→0 => (х0, у0 ) = (х0, у0 )Т2.
Пусть и= f (х1, ..., хт) п раз дифф‒ма в М0 (х1°, ..., хт°). Тогда вМ0 значение ∀ смешанной частной производной п‒го порядка независит от порядка последовательных дифференцирований.Док‒во. Достаточно доказать для 2 последовательных дифф-ний:=() … +1 … 1 … +1 … 1Т.кТ1 −1 −1 …1‒ дважды дифф‒мая ф‒я переменных и +1 , то по +1 +1 −1 …1= +1 +1 −1 …1=> справедливость (5).Дифф‒лы высших порядков. 1‒й дифференциал дифф‒мой вМ (х1, ..., хт) ф‒и и = f (х1, ..., хт) : = + ⋯ + ()1 1 Пусть правая часть (6) ‒ функция от х1, ..., хт, дифф‒мая в М (х1, ...,хт). Достаточно, чтобы и = f (х1, ..., хт) была 2 раза дифф‒ма в М, ааргументы были либо независимыми переменными, либо 2 разадифф‒мыми ф‒ями некоторых независимых переменных.О1.
Значение δ (dи) дифференциала от 1‒го дифференциала (6),взятое при δх1 = dх1, ..., δхm = dхт , называется 2‒ымдифференциалом ф‒и и=f (х1, ..., хт) (в данной М (х1, ..., хт) 2 = ()|1 =1 = � ��|…| ==1 �� |1 =1()|…| =Пусть введен дифференциал d п‒1и порядка п ‒ 1 и и = f (х1, ..., хт) праз дифф‒ма в данной М (х1, ..., хт), а ее аргументы или независи-мыепеременные, или п раз дифф-мые функции некоторых независимыхпеременных.О2.
Значение δ (d n‒1и) дифференциала от (п ‒ 1)‒го дифференциа-лаd n‒1и, взятое при δх1 = dх1, ..., δхm = dхт , называется п‒мдифференциалом и= f (х1, ..., хт) в М: = ( −1 )|1=1|…| =При вычислении 2‒го и последующих дифференциалов 2 случая:1) х1, ..., хт ‒ независимые переменные => dх1, ..., dхт не зависят от х1,..., хт . Каждый dхk можно взять = одному и тому же приращению Δхkдля ∀ М (х1, ..., хт) =>( )(7)( ) = � = 0 =>=1= ��=1 �= |1=1|…| == � � ∙ ��+( )�|1 =1=1= �� �=1 =1=1=1= � � �|…| = �� �=|1 =1 |…| =22 ∙ �= �� |= 11|…| = ()2 () 2 = � �=>=1 =1=1 =1З1.
По индукции для п‒го дифференциала: = � � … � … 1 2 … 1 21 =1 2 =1 =1= [используя оператор диф − ла] = �1+ ⋯ + � ()12) х1, ..., хт ‒ соответствующее число раз дифф‒мые функциинезависимых переменных t1, ..., tk. : 2 = ()|1 =1 = � � ∙ ��+( )�=|1 =1|…| ==1= � � ∙ �=1=1+��=1|…| = �� �|1 =1 ( )�=|1 =1|…| =|…| == �по опр − ию 2 − го диф − ла = : [( )]|1 =1 = 2 = ��=1 =1|…| =�2 2 + � = =1= [используя оператор диф − ла] = 2= �1+ ⋯ + � 1 2 2+� 1 + ⋯ + � ()1Из (11) и (10) => 2‒й и последующие дифференциалы не обладаютсвойством инвариантности формы, но обладают этим свойством,если х1, ..., хт ‒ линейные функции независимых переменных t1, ..., tk ,т.к. ∀ частная производная выше 1‒го порядка от линейной ф‒и =0 иd2xi = 0, …, d mxi = 0.24. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.Дифф-л k‒го порядка ф‒и и = f (х1, ..., хт) в М : d ku|MТ.
Пусть ф‒я и = f (М) = f (х1, ..., хт) задана в некоторой ε ‒окрестности М0 (х1°, ..., хт°) и n+1 раз дифф‒ма в этойε‒окрестности. Тогда полное приращение Δu = f (М) ‒ f (М0) этойфункции в М0 для ∀ точки М из этой ε‒окрестности можно представить в следующей форме:11∆ = |0 + 2 |0 + ⋯ + |02!!1+ +1 |()( + 1)!где N ‒ некоторая точка ε ‒ окрестности, зависящая от М0 , адифференциалы dxi переменных хi , входящие в d ku|M и d n+1u|N , равныΔxi = xi ‒ хi°.Док‒во. Проведем для и = f (х, у) 2 переменных х и у.
ФормулаТейлора для п + 1 раз диф‒мой в некоторой окрестности t0 функции u= F (t) одной переменной t с центром разложения в t0 (остаточныйчлен в форме Лагранжа), 0 < θ <1:1() = (0 ) + ′ (0 )( − 0 ) + (2) (0 )( − 0 )2 +2!1+ ⋯ () (0 )( − 0 ) +!1+ (+1) �0 + ( − 0 )�( − 0 )+1 ()( + 1)!t ‒ независимая переменная => приращение Δt =t ‒ t0 ‒ дифференциалdt независимой переменной t => () (0 )( − 0 ) = () (0 ) = (0 ) = |0(+1)�0 + ( − 0 )�( − 0 )+1 == +1 |0+(−0) ()Обозначим Δu = F (t) ‒ F (t0), согласно (3), формулу Тейлора (1)можно записать в форме:11∆ = |0 + 2 |0 + ⋯ + |02!!1+ +1 |0 +(−0 ) ()( + 1)!Рассмотрим в ε‒окрестности М0 (х0, у0) ∀ точкуМ (х0 +Δx, у0+Δy) и соединим точки М0 и М прямой линией =>координаты х и у точек этой прямой ‒ линейные функции новойпеременной t :х = х0 +tΔx , y = у0+tΔy (5)при этом координаты точек отрезка М0М соответствуют значениямпеременной t из сегмента [0, 1].
Значению t = 0 отвечает точка М0, азначениюt = 1 ‒ точка М. Т.к. по условию и = f (х, у) двух переменных х и у вε‒окрестности точки М0 п + 1 раз дифф‒ма, то из (5) => на прямойМ0М эта функция является сложной функцией переменной t, (п + 1)раз дифф‒мой для всех значений t из [0, 1]. Обозначим эту сложнуюфункцию через F (t) и запишем для нее формулу Тейлора с центромразложения в t0 = 0 в форме (4) при Δu = F (1) ‒ F (0) = f (М) ‒ f (М0)Фигурирующие в (4) дифференциалы различных порядков являютсядифференциалами сложной функции и = f (х, у) , где х и у ‒ линейныефункции (5) => дифференциалы ∀ порядка ф‒и и = f (х, у): = �1+ ⋯ + � =>1 |0 =0 = � +� |0(0 ,0) = |0+1+1 |0+(− ) == � +�|(0+∆,0+∆) =0+1= | ()В (6) dx и dу находятся из (5) при dt = Δt = 1 ‒ 0 = 1 => в (6): dx = dtΔx = Δx, dy = dt Δy = Δy (7)Подставляя |0 =0 и +1 |0+(− ) из (6) в (4) и учитывая (7),0получим формулу Тейлора (1).Развернутое выражение формулы Тейлора :°(1 , … , ) = �1° , … , �++�=11 ° )�°( − ��1 − 1° � + ⋯ +�1° , … , �+! 1++11° )�( − ��1 − 1° � + ⋯ +×( + 1)! 1°°°° )]× [1 + �1 − 1 �, … , + ( − 25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
