Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр (1109831), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.Т. Пусть п ≥ 1 ‒ целое число, u = f (М) = f (х1, ..., хт) задана и (п ‒ 1)раз диф‒ма в ε‒окрестности М0 (х1°, ..., хт°) и п раз диф‒ма в М0.Тогда для ∀ точки М из ε ‒ окрестности М0 :111() = (0 ) + |0 + 2 |0 + ⋯ + |0 + ( ) ()1!2! n!где ρ ‒ расстояние ρ (М0, М), о (ρ ) ‒ бесконечно малая при ρ →0 (приМ → М0) ф‒я более высокого порядка малости, чем ρn.З. В более подробной записи:1°(1 , … , ) = �1° , … , � + � ��1 − 1° �+ ⋯+!1=1 ° )°+ ( − � × �1° , … , � + ( ) ()В правой части (2) ‒ сумма многочлена степени п от т переменныхх1, ..., хт и остаточного члена о (ρn).
Обозначим:+1 () = () − (0 ) −1 ° )− � ��1 − 1° �+ ⋯ + ( − � (0 ) ()!1=1Теорема будет доказана, если установить, что при выполненииусловий теоремы Rn+1(М) = о (ρn) .Л1. Если f (М) = f (х1, ..., хт) п раз диф-ма в М0 (х1°, ..., хт°), то каксама ф-я Rn+1(М), определяемая равенством (3), так и все еечастные производные по ∀ переменным х1, ..., хт до порядка п включительно обращаются в 0 в точке М0.Док‒во. При п = 1 функция (3) :( ) − ⋯ −2 () = () − (0 ) − �1 − 1° �1 0° )( )−( − 0и R2 (М0) = 0, 2 (М0) = 0 (i = 1, ..., т) проверяются элементарно.Далее по индукции. Пусть лемма справедлива для некоторого п ≥ 1.Пусть f (М) (п + 1) раз диф-ма в точке М0 и+2 () = () − (0 ) −+1−�=11 ° )��1 − 1° �+ ⋯ + ( − � (0 ) ()!1Rn+2 (М0) = 0, т.к.
в (4) каждая (хi - хi° ) = 0 в точке М0. Надо доказать,что для ∀ i = 1, ..., т ф-я +2 (М) и все ее частные производные до пвключительно обращаются в 0 в М0, для этого в силу индуктивногопредположения достаточно доказать, что +2 (М) определяетсяравенством типа (3):+2() =() −( ) − 01 ° )( ) ()− � ��1 − 1° �+ ⋯ + ( − �!1 0=1Т.к. все хi (i = 1, ..., т) равноправны и входят в (4) симметрично, тодостаточно доказать (5) для i = 1:+2() =() −( ) −11 011 ° )( ) ()− � ��1 − 1° �+ ⋯ + ( − �!1 1 0=1Из (4) => для док-ва (6) достаточно убедиться: для ∀ k = 1, ....
п + 1при фиксированных х2, х3, ..., хт ° )��1 − 1° �+ ⋯ + ( − � (0 ) =11 −1 ° )( ) ()= ��1 − 1° �+ ⋯ + ( − �11 0Т.к. при дифференцировании по х1 переменные х2, x3, ..., хтфиксированы, то величину° ) = �2 − 2° �+ ⋯ + ( − 1при дифференцировании по х1 можно рассматривать как постоянную.Т.к. символы , ..., используются для образования частных1производных функции f в фиксированной М0, то при дифференцировании по х1 указанные символы также нужно рассматривать какпостоянные величины => для док-ва (7) достаточно убедиться всправедливости равенства−1��1 − 1° �+ � = ��1 − 1° �+ �()1111Дифференцируя ф-ю ��1 − 1° � + � по х1 как сложную и1учитывая независимость от х1 символов D и , получим (8).1Л2.
Пусть R (М) = R (х1, ..., хт) ‒ ∀ функция, удовлетворяющая :1) R (М) п раз дифференцируема в точке М0 (х1°, ..., хт°),2) сама функция R(М) и все ее частные производные по ∀ изпеременных х1, .... хт до порядка п включительно обращаются в 0 вточке М0. Тогда для функции R (М) справедлива оценкаR (М) = о (ρn) (9)где ρ - расстояние ρ (М0, М).Док‒во. При п = 1 утверждение леммы вытекает из условия дифф-стиф-и R(М) в М0 :(0 )� − ° � + ()() − (0 ) = �=1Учитывая, что R (М0) = 0, (М0) = 0 для ∀ k = 1, ..., m, получим: R(М)= о (ρ).
Дальше по индукции. Пусть Л2 справедлива для некоторого п≥ 1 и R(М) удовлетворяет требованиям Л2 для п +1 => ∀(М )удовлетворяет требованиям Л2 для n =>() = ( ) ()Т.к. п ≥ 1, то п + 1 ≥ 2 и R(М), удовлетворяющая требованиям Л2 дляп + 1, хотя бы 1 раз дифф-ма в окрестности М0 => выполненыусловия разложения по формуле Тейлора с остаточным членом вформе Лагранжа для п = 0, т.е для ∀ М из достаточно малой ε‒окрестности М0 на отрезке М0М Ǝ N :1() ()() = (0 ) + �� − ° �1!=1N лежит между М0 и М и ρ = ρ (М0, М) => ρ (М0, N ) ≤ ρ => из (10) =>() = ( ) => [т. к. (0 ) = 0]=> () = ( ) �� − ° � ==1⎡⎤= ⎢т.
к. � − ° � ≤ ��( − ° )2 = ⎥ = ( )⎢⎥=1⎣⎦Док‒во теоремы. В силу Л1 сама функция (3) и все ее частныепроизводные по ∀ переменным х1, ..., хт до порядка п включительнообращаются в 0 в точке М0. Но тогда в силу Л2 для функции (3)справедлива оценка Rn+1(М) = о (ρn).26. Экстремум функции нескольких переменных.и = f (М) определена в некоторой окрестности М0 (х1°, ..., хт°) пр‒ва Ет.О1. Ф‒я и = f (М) имеет в М0 локальный максимум (минимум), еслиƎ ε ‒ окрестность М0, в пределах которой значение f (М0) являетсянаибольшим (наименьшим) среди всех значений ф‒и.О2. Ф‒я и = f (М) имеет в М0 локальный экстремум, если она имеетв М0 либо локальный максимум, либо локальный минимум.У1 (необходимое условие экстремума).
Если и = f (М) обладает вМ0 (х1°, ..., хт°) частными производными 1‒го порядка по всем х1, ...,хт и имеет в М0 локальный экстремум, то:= 0, = 1, ()Док‒во. У f (х1, ..., хт) зафиксировать: х2 = x2°, ..., хm = xm° => получимф‒ю 1 переменной х1. Ее производная в х1 = x1° совпадает с (М0).1Т.к. функция т переменных имеет локальный экстремум в М0, то ф‒я1 переменной имеет локальной экстремум в х1 = x1° => еепроизводная в этой точке =0. Остальные равенства аналогично.У1*. Если и = f (М) дифф‒ма в М0 и имеет в М0 локальныйэкстремум, то дифференциал dи|M0 ≡ 0 относительно дифференциалов независимых переменных dx1, …, dxm . (т.к.|0 =( )1 + ⋯ +( )1 0 0то из (1) => при ∀ dx1, …, dxm справедливо dи|M0 = 0).Если х1, ....
хт 2 раза дифф‒мой ф‒и ‒ независимые переменные илилинейные ф‒и некоторых независимых переменных, то 2‒ойдифференциал этой ф‒и в данной М0 является квадратичной формойотносительно дифференциалов аргументов dx1, …, dxm : 2 2 |0 = � � , где = =( ) () 0=1 =1Т(достаточные условия локального экстремума).
Пусть функцияи = f (М) = f (х1, ..., хт) 1 раз дифф‒ма в некоторой окрестностиМ0 (х1°, ..., хт°) и 2 раза дифф-ма в самой М0. Пусть М0 ‒ точкавозможного экстремума, т. е. |0 = 0. Тогда, если 2‒йдифференциал (2) является положительно (отрицательно)определенной КФ от переменных dx1, …, dxm , то и = f (М) имеет вМ0 локальный минимум (максимум).
Если 2‒й дифф-ал (2) ‒знакопере‒менная КФ, то и = f (М) не имеет локального экстремумав М0.Док‒во. 1) Пусть 2‒й дифференциал (2) ‒ положительно определеннаяКФ от dx1, …, dxm. Разложим и = f (М) в окрестности М0 по формулеТейлора с остаточным членом в форме Пеано при п = 21() − (0 ) = |0 + 2 |0 + (2 ) ()2!где dxk = хk ‒ xk° в выражения для |0 и 2 |0 , а ρ :° )2 () = �(1 )2 + ⋯ + ( )2 = �(1 − 1° )2 + ⋯ + ( − М0 ‒ точка возможного экстремума => |0 = 0 => полагая в (2)dxk = хk ‒ xk°, (3) примет вид: 1() − (0 ) = � � � − ° �� − ° � + (2 ) ()2=1 =1Если для малых ρ правая часть (5) > 0, то в малой окрестности М0 :f (М) ‒ f (М0) > 0 => и = f (М) имеет в М0 локальный минимум.Пусть hi = (хk ‒ xk°) / ρ , i = 1, ..., т => из (4) :| hi | ≤ 1, h12 +…+ hm2 = 1 (6)(5) можно переписать: 2() − (0 ) = � � ℎ ℎ + (2 ) =2=1 =1(2 )= �() =− бесконечно малая при → 0� =21= 2 � � � ℎ ℎ + (2 )�2=1 =1(∗ )КФ Ф =∑=1 ∑=1 ℎ ℎ ‒ функция, определенная и непрерывнаяна поверхности единичной сферы (6), являющейся замкнутым иограни‒ченным мн‒вом.
По 2‒й Т Вейерштрасса эта ф‒я достигаетна этом мн‒ве своей ТНГ μ, и из положительной определенности КФФ и из того, что h1, ..., hт, удовлетворяющие (6), ≠ 0 одновременно =>ТНГ μ>0 Т.к. бесконечно малая при ρ → 0 функция α (ρ) при всехмалых ρ :| α (ρ) | < μ, то вся правая часть (5) > 0 при этих ρ, т. е. при всех М,достаточно близких к М0 => и = f (М) имеет в М0 локальныйминимум.2) Доп. св‒во: если КФ Ф (h1, ..., hт) = ∑=1 ∑=1 ℎ ℎзнакопере‒менна, то Ǝ 2 совокупности переменных (h1', ..., hт' ) и (h1'',..., hт'' ):′ )2′′ )2(ℎ1′′ )2 + ⋯ + (ℎ(ℎ1′ )2 + ⋯ + (ℎ= 1,= 1 ()′ )′′ )> 0, Ф(ℎ1′′ , … , ℎ< 0 (8)причем Ф(ℎ1′ , … , ℎИз определения знакопеременной КФ => Ǝ 2 совокупности (t1', ..., tт') и (t1'', ..., tт''), состоящие из чисел, одновременно ≠ 0, и такие, что′ )′′ )> 0, Ф(1′′ , … , < 0 . ПоложивФ(1′ , … , ′′′ℎ′ =, ℎ′′ =()′ )2′′ )2�(1′ )2 + ⋯ + (�(1′′ )2 + ⋯ + (и учитывая, что из определения КФ =>1′ )′ ),= ′ 2Ф(ℎ1′ , … , ℎФ(1′ , … , ′ )2(1 ) + ⋯ + (1′′ )′′ )== ′′ 2Ф(ℎ1′′ , … , ℎФ(1′′ , … , ′′ )2(1 ) + ⋯ + (получим неравенства (8), из (9) => (7).
Доп. свойство доказано.Зафиксируем 2 совокупности (h1', ..., hт' ) и (h1'', ..., hт'' ),удовлетво‒ряющие (7) и (8), и докажем, что для ∀ ρ > 0 найдутся М'(x1', ..., xт' ) и М" (x1'', ..., xт'' ) пр‒ва Е т : ρ (М', М0) = ρ (М", М0) = ρ,причем′′ − ∘′ − ∘= ℎ′ ,= ℎ′′ для всех = 1,2, … , ()Положив для ∀ ρ > 0 и для всех i : ′ = ∘ + ℎ′ , ′′ = ∘ + ℎ′′удовлетворим соотношениям (10), причем в силу (7) справедливы:′ − ° )2 = �(ℎ′ )2 + ⋯ + (ℎ′ )2(′ , 0 ) = �(1′ − 1° )2 + ⋯ + (1=′′ − ° )2 = ( , 0 ) = �(1′′ − 1° )2 + ⋯ + (′′Беря в точках М' и М" для и = f (М) разложение в окрестности М0 поформуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, получимвместо (5) разложения, справедливые для всех достаточно малых ρ >0: 1′))( − (0 = � � �′ − ° ��′ − ° � + (2 ) =2=1 =1= [из (10) и (2 ) = 2 ∙ (), () → 0 при → 0] = 11′ )+ ()� ()= 2 � � � ℎ′ ℎ′ + ()� = 2 � Ф(ℎ1′ , … , ℎ22=1 =1′ )> 0,Для точки М" все ан‒но.
Учитывая (8) и что Ф(ℎ1′ , … , ℎ′′ )< 0 не зависят от ρ и ρ (М', М0)= ρ (М", М0) = ρ,Ф(ℎ1′′ , … , ℎполучим из (11), что для как угодно малого ρ >0 : f (М ') > f (М0) иf (М") < f (М0) => отсутствие экстремума в М0.З. Требование 2 |0 ≥ 0 ( 2 |0 ≤ 0) является необходимымусловием локального минимума (максимума) в М0 дваждыдифференцируемой в этой точке ф‒и и = f (М).Пусть f (М) имеет в М0 локальный минимум, но условие 2 |0 ≥ 0не выполнено => Ǝ h1, ....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
