Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Нить не скользит по поверхности блока, поэтому её точки имеют то же самое ускорение. Линейное ускорение точек нити на её вертикальных участках имеет такое же значение. А в силу нерастяжимости нити мы можем и для ускорений грузов окончательно записать уравнение кинематической связи:

а =R . (5)

Совместное решение уравнений (1)  (5) приводит к искомому результату для момента инерции блока:

.

Задача

1. Найти ускорение центра масс шара массой m, скатывающегося по наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом. Коэффициент трения между поверхностью шара и наклонной плоскостью равен .

Р ешение

Выберем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей. Одну из осей (X) неподвижной декартовой системы координат направим вдоль направления качения шара, т.е. парал-лельно плоскости, две другие – перпендикулярно к ней (см. рис.).

Силы, действующие на шар, изображены на рисунке. Уравнения динамики поступательного движения имеют вид:

, (1)

ma_y = F_p – mgcos , a_y = 0, (2)

где a_х и a_y – соответствующие проекции ускорения центра масс шара. Относительно оси, проходящей через центр масс перпен-дикулярно плоскости качения, момент имеет только сила трения:

. (3)

Для дальнейшего необходимо уточнить характер движения шара. Если проскальзывание отсутствует, то F_тр является силой трения покоя и 0  F_тр  F_р, где  – коэффициент трения скольжения. Следовательно F_тр представляет собой, наряду с a_х, F_р и  неизвестную величину. Для полноты системы необходимо добавить ещё одно уравнение. Отсутствие проскальзывания позволяет связать линейное и угловое ускорения шара: а_х = R.

Решая полученную систему, получаем:

.

При наличие проскальзывания величины а_х и  больше не связаны. Дополнительным уравнением является выражение для силы трения скольжения:

,

.

1. (Задача о «послушной катушке» ) На горизонтальной поверхности лежит катушка с намотанной на нее нитью. Катушка движется по поверхности без проскальзывания. Найти ускорение ц ентра масс катушки. Массу катушки m, ее момент инерции I относительно собственной оси и угол α считать заданными. При каком угле α катушка останется неподвижной?

Р ешение

Укажем все силы, действующие на катушку. Выберем инерциальную систему отсчета, связанную с Землёй. Т.к. катушка может совершать плоское движение, представим его как совокупность поступательного и вращательного. Направим одну из координатных осей этой системы отсчёта вдоль горизонтальной поверхности (OX), вторую – вертикально вверх (OY). Так как моменты всех сил приложенных к телу и его возможное угловое ускорение направлены вдоль оси катушки, направим третью координатную ось OZ перпендикулярно плоскости рисунка от нас через центр катушки.

Запишем уравнения движения катушки в проекциях на выбранные оси координат (а_х – ускорение центра масс катушки):

, (1)

(2)

(2^й закон Ньютона, поступательное движение);

(3)

(уравнение динамики вращательного движения катушки). Здесь I_z – момент инерции блока относительно оси Z. Обратим внимание на знаки проекций моментов сил и углового ускорения на ось Z, а также на согласованность знаков проекций линейного и углового ускорений катушки – положительный знак проекции линейного ускорения соответствует ускоренному вращению катушки по часовой стрелке, т.е. положительной проекции линейного ускорения оси катушки а_x.

Условие отсутствия проскальзывания катушки позволяет связать проекции этих ускорений:

а_x =_zR . (5)

Совместное решение уравнений (1)  (5) позволяет определить искомое ускорение центра катушки

. (6)

Проанализируем полученный результат. Видно, что знак проекции определяется соотношением величин cos и . При малых углах наклона “тянущей” нити, когда cos > , катушка катится с ускорением вправо. Если же cos < (наклон нити большой), ускорение направлено влево. Наконец, при ускорение катушки равно нулю и при соответствующих начальных условиях она может оставаться неподвижной.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Найти момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину и образующей угол  со стержнем. Масса стержня m, его длина l.

2. Вывести формулу для вычисления момента инерции тонкого обруча относительно оси, проходящей через центр обруча перпендикулярно его плоскости.

3. Доказать, что для любого плоского тела I_z = I_x + I_y, где X, Y и Z – взаимно перпендикулярные оси, причем оси X и Y лежат в плоскости тела, а ось Z перпендикулярна телу. I_x, I_y и I_z – моменты инерции относительно осей X, Y и Z соответственно.

4. Вывести формулу для вычисления момента инерции однородного диска относительно оси, проходящей через его центр и направленной перпендикулярно плоскости диска. Масса диска m, радиус R.

5. Вычислить момент инерции тонкого однородного диска относительно оси, проходящей через центр диска и лежащей в его плоскости. Масса диска m = 2 кг, радиус диска R = 0,4 м.

6. Показать, что момент инерции двухатомной молекулы относительно оси, проходящей через центр масс молекулы перпендикулярно ее оси, можно вычислять по формуле I_z = l²,

где  = – “приведенная масса молекулы”, а l – расстояние между атомами (“длина молекулы”).

1. * Вывести формулу для вычисления момента инерции однородного сплошного конуса относительно его оси симметрии. Масса конуса m, радиус основания R.

2. * Вывести формулу для вычисления момента инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр. Масса шара m, радиус R.

3. Вычислить момент инерции и момент импульса земного шара. Воспользоваться справочными данными о параметрах земного шара.

4. Однородный круглый диск диаметром d = 10 см и массой m = 1 кг вращается вокруг своей оси, делая ν = 100 об/мин. Постоянная сила трения, будучи приложена к ободу диска, останавливает его за время  = 1 мин. Найти величину этой силы.

5. На барабан массой M = 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Найти ускорение груза и силу натяжения шнура. Барабан считать однородным цилиндром. Трением на оси цилиндра пренебречь.

6. Для определения момента инерции махового колеса радиуса R = 0,5 м относительно оси проходящей через центр масс, колесо обмотали тонкой проволокой, к которой привязали гирю массой m = 8 кг. Продолжительность опускания гири с высоты h = 2 м при разматывании проволоки составила  = 2 с. Найти момент инерции махового колеса, пренебрегая трением.

7. Сплошной цилиндр m = 1 кг насажен на ось. К оси цилиндра прикреплена невесомая нить, которая перекинута через б
   лок. К концу нити привязан груз массы M = 2 кг (см. рис.). Считая, что цилиндр катится без проскальзывания, найти: а) ускорение груза, б) величину силы трения, действующей на цилиндр. При каком значении коэффициента трения не будет происходить проскальзывания?

8. * Конец веревки, намотанной на сплошной цилиндр, тянут с силой F. Радиус цилиндра R, масса m. При каком значении коэффициента трения скольжения  цилиндр не будет проскальзывать?

9. В условиях задачи 3.4 найти силу трения между катушкой и столом.

10. * На горизонтальной плоскости лежит катушка, масса которой m = 50 г, а момент инерции относительно ее оси I = 5·10^-6 кгм². На катушку намотана невесомая и нерастяжимая нить. Радиус внешнего слоя витков r = 2 см, радиус торцов катушки R = 3 см (см. рисунок к задаче 3.4). Коэффициент трения скольжения между катушкой и плоскостью  = 0,2. Как ведет себя катушка, если сила F, с которой тянут за нить, и угол  имеют следующие значения: а) F = 0,128 Н и  = 30º; б) F = 0,1 Н и  = 48,2º; в) F = 0,1 Н и  = 30º и г) F = 0,1 Н и  = 60º.

11. О днородный сплошной цилиндр массы m = 1 кг висит в горизонтальном положении на двух намотанных на него невесомых нитях. Цилиндр отпускают без толчка.

а) За какое время  цилиндр опустится на высоту h = 50 см? б) Какое натяжение T испытывает при опускании цилиндра каждая из нитей?

1. * Однородный стержень массы m горизонтально подвешен к потолку посредством двух вертикальных нитей, прикрепленных к концам стержня. Найти натяжение одной из нитей сразу же после обрыва другой.

2. * Гироскоп одного из авиагоризонтов характеризуется следующими данными: масса m = 5 кг; момент инерции относительно собственной оси I_z = 8·10^-3 кг·м²; гироскоп вращается вокруг собственной оси с частотой  = 20000 об/мин. Определить период прецессии, вызванной тем, что центр тяжести гироскопа отстоит от точки опоры на расстояние l = 0,25 cм.

3. * Найти угловую скорость прецессии наклоненного волчка, прецессирующего под действием силы тяжести. Волчок имеет собственный момент инерции I_z, угловую скорость вращения . Расстояние от точки опоры до центра тяжести волчка равно l.

4. * Доказать соотношение M_О = M_C + [R,P], где М_О момент импульса системы материальных точек относительно начала О лабораторной системы отчета (Л-система); М_C – момент импульса относительно центра масс С (собственный момент импульса), R – радиус-вектор центра масс в Л-системе, P – суммарный импульс системы точек, определенный в Л-системе.

5. О бруч радиуса R и массы m катится без проскальзывания с постоянной скоростью V₀ по горизонтальной плоскости. Найти модуль момента импульса обруча М(t), относительно точек 1, 2 (см. рис).

6. О днородный цилиндр радиуса R и массы m катится без проскальзывания с постоянной скоростью V₀ по горизонтальной плоскости. Найти модуль момента импульса цилиндра М(t), относительно точек 1, 2, 3, 4, 5 (см. рис).

7. Н ебольшой брусок массы m соскальзывает с вершины наклонной плоскости. Записать выражение для:

а) момента результирующей силы, действующей на брусок, относительно точки О, б) момента импульса бруска М(t), относительно точки О.

1. Небольшой мячик массы m брошен под углом  к горизонту с начальной скоростью V₀. Записать выражение для:

а) момента силы, действующей на мячик, относительно точки бросания, б) момента импульса мячика М(t), относительно той же точки. Сопротивлением воздуха пренебречь.

*⁾ Это утверждение повторяет “уравнение моментов” для системы МТ, доказательство которого см., например, П.К. Кашкаров, А.И. Ефимова «Механика и электромагнетизм» § 4.2 (стр. 28 – 30).

*⁾ На рисунке оси вынесены вправо.

47

Характеристики

Список файлов книги