Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

4. Работа и энергия.

4. Работа силы, мощность, энергия

• А) Работа силы.

• Элементарной работой называется скалярное произведение вектора силы на вектор малого перемещения МТ dl^*):

. (4.1)

Работа силы на конечном участке траектории 1 – 2 может быть найдена интегрированием вдоль траектории L движения МТ:

. (4.2)

Учитывая связь малого перемещения с мгновенной скоростью МТ dl = Vdt, выражение (4.2) может быть записано в виде:

. (4.3)

• Скалярное произведение векторов силы и скорости позволяет определить мощность силы W:

. (4.4)

Очевидно, если векторы F и V перпендикулярны, мощность силы равна нулю, и работа не совершается.

Мощность можно определить и как работу, совершаемую в единицу времени:

. (4.5)

• Если МТ движется по окружности, то элементарная работа, совершаемая при малом угловом перемещении d:

,

а при повороте радиус-вектора на конечный угол:

. (4.6)

• Б) Потенциальная энергия.

• Силы, работа которых не зависит от формы траектории движения МТ, а определяется лишь начальным и конечным положением МТ, называются потенциальными или консервативными. К этому классу относятся гравитационные, упругие и электростатические силы.

Для таких сил работа при перемещении МТ по замкнутой кривой L равно нулю. Математически это можно записать следующим образом:

. (4.7)

Для потенциальных сил можно ввести скалярную функцию координат U(x,y,z), частные производные которой определяют вектор силы F(x,y,z):

. (4.8)

Такая функция U называется потенциальной энергией МТ в поле сил. Работа, совершаемая потенциальной силой при элементарном перемещении МТ, равна:

. (4.9)

Для случая перемещения на конечное расстояние работа потенциальной силы определится через разность потенциальных энергий в начальном и конечном положениях МТ:

. (4.10)

Отметим, что измеряемые в опытах физические величины – сила и работа силы – равны производной и разности значений потенциальной энергии. Следовательно, функция U(x,y,z) определена с точностью до константы. Однако, если принять значение функции U(x,y,z) равным нулю в некоторой точке с координатами x₀, y₀, z₀, то работа, совершаемая силовым полем по перемещению МТ в указанное положение

, (4.11)

будет целиком определяться введенной таким образом функцией U(x,y,z). При этом говорят, что потенциальная энергия нормирована в точке x₀, y₀, z₀.

• В) Кинетическая энергия.

Если сила совершает работу при перемещении МТ под действием только этой силы, то происходит изменение модуля скорости. Можно доказать, что работа равна в этом случае:

. (4.12)

Введем понятие кинетической энергии МТ, определив ее как половину произведения массы точки на квадрат ее скорости:

. (4.13)

Тогда, изменение кинетической энергии МТ движущейся под действием силы определяется работой этой силы (равнодействующей):

. (4.13)

Кинетическую энергию материальной точки можно связать также с её импульсом:

.

Кинетическая энергия – аддитивная величина. Для системы материальных точек:

.

Если механическая система представляет собой твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси OZ, то его полная кинетическая энергия:

, или . (4.14)

Если тело совершает плоское движение:

. (4.15)

• Задачи этого раздела, как правило, связаны с нахождением конкретного выражения для потенциальной энергии силового поля или, наоборот, с определением векторной функции F(x,y,z) по известной зависимости потенциальной энергии от координат (формула 4.8).

Примеры решения задач

1. Доказать, что любая центральная сила является потенциальной.

Решение

Напомним, что сила, действующая на МТ, называется центральной, если ее величина зависит только от расстояния r между МТ и некоторым центром О, а направлена она вдоль прямой, проведенной от этого центра к МТ. Математически это свойство можно описать следующим образом:

.

Здесь F_r – означает проекцию вектора F на направление r, е_r – единичный вектор, задающий радиальное направление от центра поля.

Н айдем работу, совершаемую центральной силой при перемещении МТ из положения 1 в положение 2:

.

Скалярное произведение = dlcos равно приращению модуля радиус-вектора r, т.е. dr (см. рис.). С учетом этого криво-линейный интеграл вдоль траектории L сводится просто к определенному интегралу от скалярной функции F_r(r):

, где . (4.16)

То есть работа силы по перемещению МТ может быть выражена через разность значений некоторой скалярной функции, соответствующих начальному и конечному положению МТ. Следовательно, первообразная функции F_r(r) представляет в данном случае выражение для потенциальной энергии МТ в поле центральной силы.

Задача

1. Найти потенциальную энергию МТ, находящейся в центральном силовом поле вида: , где F₀ и r₀ – положительные константы.

Решение

Используем общее выражение (4.16), связывающее силу и потенциальную энергию взаимодействия в центральном силовом поле:

.

Если положить, что U(r  ) = 0, то получим .

Задача

1. Потенциальная энергия частицы, находящейся в центрально-симметричном силовом поле, имеет вид:

U(r) = а/r²  b/r,

где a и b – положительные константы. а) Найти значение r₀, соответствующее равновесному положению частицы, б) выяснить, устойчиво ли это положение, в) найти максимальное значение силы притяжения, г) изобразить графики зависимости U(r) и F_r(r) – проекции силы на радиус-вектор r.

Решение

а) Силовое поле центрально-симметрично, т.е. энергия и сила взаимодействия частицы с полем зависят только от расстояния до центра этого поля. Для рассмотрения такого взаимодействия удобно использовать сферическую систему координат. Определим силу, воспользовавшись соотношением (4.5) и учитывая отсутствие зависимости от направления (, ), так как поле центрально-симметрично: .

В положении равновесия, действующая на частицу сила должна быть равна нулю. Приравнивая к нулю выражение в скобках, получаем соответствующее равновесное расстояние:

.

б) Устойчиво ли это положение? Можно определить направление силы при малом отклонении частицы из найденного положения равновесия. Положение устойчиво, если сила направлена в сторону этого положения. Однако так как данное расстояние соответствует экстремуму потенциальной энергии взаимодействия , проще выяснить характер этого экстремума. Положение устойчиво, если потенциальная энергия минимальна и неустойчиво в противном случае. Определим знак второй производной потенциальной энергии при r = r₀:

Следовательно, в этой точке функция U(r) имеет минимум – положение равновесия устойчиво.

в) Для нахождения экстремума силы взаимодействия продифференцируем радиальную проекцию силы F_r и приравняем её к нулю:

.

Т.к. при данном расстоянии можно утверждать, что это расстояние соответствует максимальной силе притяжения (сила направлена к центру поля). Значение этой силы равно .

г ) Представим графически полученные результаты:

Если полная энергия частицы U + T, находящейся в таком поле, невелика, то частица совершает колебательное движение вблизи равновесного положения^*). При бóльших энергиях частица может удалиться от положения равновесия на расстояния, значительно превышающие r₀, и её взаимодействие с полем становится пренебрежимо малым.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Тело массой m движется под действием постоянной силы F. Найти зависимость его кинетической энергии Т от времени, если начальная скорость тела равна нулю.

2. Маховик вращается с постоянной скоростью, делая ₀ = 10 об/с; его кинетическая энергия T₀ = 8·10³ Дж. За какое время постоянный вращающий момент сил N = 50 Н·м, приложенный к этому маховику, увеличит его угловую скорость в два раза?

3. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить частоту оборотов маховика от 0 до 120 об/мин? Массу маховика m = 0,5 т можно считать распределённой по ободу диаметром D = 1,5 м. Трение не учитывать.

4. Определить потенциальную энергию U сжатой пружины как функцию ее деформации x, считая, что упругая сила пропорциональна третьей степени величины деформации с коэффициентом пропорциональности .

5. Потенциальная энергия частицы имеет вид U = (x/y  y/z)a, где а – константа. Найти силу, действующую на частицу как функцию координат.

6. * Найти потенциальную энергию небольшого тела массы m на различных расстояниях r от центра Земли. Величину потенциальной энергии на бесконечно большом удалении считать равной нулю. Рассмотреть случаи r > R и r < R (R – радиус Земного шара).

7. * Подсчитать гравитационную энергию U шара радиуса R, равномерно заполненного веществом с постоянной объемной плотностью . Гравитационную постоянную G считать известной.

8. * Горизонтальная пружина, на конце которой прикреплено тело известной массы m, сжата силой F и находится в покое. Один конец пружины закреплен. Внезапно сила F меняет свое направление на противоположное. Определить, пренебрегая массой пружины, во сколько раз получающееся при этом наибольшее растяжение пружины l₂ больше ее первоначального сжатия l₁.

9. * При движении иона в ускорителе по круговой траек-тории радиуса R его кинетическая энергия возрастает пропорци-онально пройденному пути s (T = bs). Найти зависимость от s силы F, действующей на ион.

*⁾ Малое перемещение dl совпадает с приращением радис-вектора dr МТ, однако в дальнейшем символом dr мы будем обозначать только перемещения в радиальном направлении при рассмотрении силовых полей, обладающих центральной или осевой симметрией.

*⁾ Рассмотренный пример моделирует поведение атома вблизи узла кристаллической решётки, а при повышении энергии (например, нагрев вещества) – возможность плавления и испарения.

58

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги