Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1. Кинематика.

1. Кинематика движения материальной точки

и абсолютно твердого тела.

Кинематика – раздел механики, изучающий движение тел без анализа причин, обусловливающих это движение. Простейшей моделью физического тела является материальная точка (МТ), которой называют тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

положение любого тела в пространстве может быть определено только по отношению к системе отсчета (СО). Для количественного описания движения с последней связывается система координат, в простейшем случае – декартова прямоугольная система координат.

Положение мт в такой системе задается радиус-вектором, проведенным из начала координат к данной точке:

r = xe_x + ye_y + ze_z. (1.1)

• Вектор r, соединяющий начальную и конечную точки движения, называется перемещением. Линия, которую описывает МТ при своем движении, представляет собой траекторию. Она задается уравнением кривой. Путь s – это длина участка траектории, причем всегда .

• Мгновенная скорость МТ есть первая производная радиус-вектора по времени. В декартовой системе координат:

V = = = V_xe_x + V_ye_y + V_ze_z , (1.2)

где ; ; .

Модуль вектора скорости характеризует изменение пройденного пути со временем:

. (1.3)

Зная мгновенную скорость как функцию времени, можно найти вектор перемещения МТ:

r = , (1.4)

а также изменение координат и пройденный путь:

; . (1.5)

• Мгновенным ускорением называется первая производная скорости по времени:

, (1.6)

где .

Зная функцию , можно определить изменение вектора скорости за промежуток времени между моментами t₁ и t₂:

. (1.7)

Если известны начальные положение r(0), скорость МТ V(0) и функция , то

(1.8)

Вектор ускорения в общем случае составляет некоторый угол с касательной к траектории в данной точке. Часто оказывается удобным разложить вектор a на две составляющие: касательную к траектории в данной точке – a_ и перпендику-лярную к касательной – a_n:

a = a_ + a_n.

Величины a_ и a_n называют тангенциальным и нормальным ускорениями соответственно.

(1.9)

где R_кр – радиус кривизны траектории.

• При описании криволинейного движения материальной точки удобно пользоваться угловыми характеристиками движения – угловыми перемещением, скоростью и ускорением.

Малым угловым перемещением МТ  называют вектор, равный по величине углу поворота радиуса, проведенного от оси вращения к этой точке, и направленный вдоль указанной оси по правилу правого винта.

Угловая скорость есть первая производная по времени углового перемещения:

. (1.10)

При движении МТ по окружности связь между линейной и угловой скоростью определяется соотношением:

V = [ω,r] . (1.11)

Угловым ускорением называют первую производную по времени от вектора угловой скорости:

. (1.12)

Если движение происходит в одной плоскости, то можно определить скалярную величину – угол поворота радиус-вектора МТ:

. (1.13)

• Положение твёрдого тела (ТТ) в пространстве полностью определяется заданием координат трех не совпадающих друг с другом точек, то есть заданием положения треугольника.

Простейшим типом движения ТТ является поступательное. При этом каждая прямая, связанная жестко с ТТ, движется параллельно самой себе. При описании такого движения, когда все точки тела движутся по одинаковым траекториям, можно пользоваться соотношениями, определяющими кинематику материальной точки.

Другим простейшим видом представляется вращение ТТ около неподвижной оси. Описать такое движение можно всего лишь одной координатой, задав угол поворота ТТ относительно фиксированного направления.

• Более сложным оказывается так называемое плоское движение ТТ, при котором все его точки движутся в параллельных плоскостях. Такое движение можно представить, комбинируя поступательное движение тела и его поворот вокруг оси перпендикулярной плоскостям, в которых движутся точки ТТ. Тогда скорости точек тела:

, (1.14)

где V₀ – скорость поступательного движения оси поворота,  – угловая скорость поворота, r_i – радиус вектор, проведенный от оси вращения к i–ой точке ТТ.

Необходимо подчеркнуть, что разложение движения на поступательное и вращательное может быть произведено бесконечным числом способов. Ось вращения может быть выбрана произвольно. При этом какую ось мы бы ни выбрали для описания движения, угловая скорость будет иметь одно и то же значение.

Интересно отметить, что из множества способов разложения движения всегда можно найти такой, когда движение сведется к последовательности поворотов вокруг некоторой оси (V₀ = 0). Эта ось вращения занимает разное положение в пространстве в разные моменты времени. Её называют мгновенной осью вращения.

Приступая к решению задач по разделу кинематика, следует, прежде всего

• выбрать систему отсчёта, относительно которой рассматривается движение тел задачи, и

• связать с ней систему координат с учётом симметрии задачи (декартова, цилиндрическая, сферическая системы координат).

• Далее необходимо спроектировать известные по условию задачи векторы (ускорения, скорости, начального смещения) на оси выбранной системы координат и,

• используя приведенные выше соотношения для связи кинематических величин, записать соответствующие уравнения и найти искомые величины.

Примеры решения задач

1. Двигатель ракеты сообщает ей при взлёте постоянное ускорение а, составляющее угол  с горизонтом. Через время  после старта двигатель выключают. Найти расстояние L между точками старта и падения ракеты, считая, что её движение началось без начальной скорости.

Решение

Систему отсчёта естественно связать с Землей и использовать прямоугольную систему координат, поместив её начало в точку старта.

П о условию задачи известны точка вылета, начальная скорость (V₀ = 0) и ускорения на первом (а) и втором (g) этапе движения. Пока работает двигатель:

После выключения двигателя:

V_x(t) = V_x(),

V_y(t) = V_y() – g(t  ),

x(t) = x() + V_x()(t  ),

y(t) = y() – .

Момент падения ракеты определяется условием y(₁) = 0, где ₁ – время всего полёта ракеты. Отсюда

.

Физический смысл имеет только одно решение, соответствующее ₁ > , т.е. .

Искомая дальность полёта находится из условия:

.

Задача

1. Точка А находится на ободе колеса радиуса R, которое катится без проскальзывания с постоянной скоростью V₀ по горизонтальной плоскости. Найти скорость точки А, написать уравнение траектории (в параметрической форме), по которой движется точка А, и её путь за один оборот колеса.

Решение

Рассмотрение будем вести относительно системы отсчёта, связанной с Землей. Систему координат расположим, как это показано на рисунке. Движение обруча – плоское. В частности оно может быть представлено как совокупность поступательного перемещения со скорость движения оси колеса V₀ и вращения с угловой скоростью относительно неё.

К оординаты точки А:

Это уравнения циклоиды.

Компоненты скорости точки А:

Модуль скорости:

.

Время одного полного оборота колеса находится из условия:

V₀ T = 2R, т.е. .

Путь, пройденный точкой А за период:

Д вижение колеса можно представить также как последова-тельность поворотов вокруг мгновенной оси О_М (так как проскаль-зывание отсутствует, то в любой момент времени скорость точки касания колеса и плоскости О_М равна нулю).

V_A = [r_A],

V_А = = .

Естественно, что мы получили такой же результат.

Задача

1. * Зависимость модуля скорости частицы V от пройденного пути s определяется функцией V(s) = V₀  bs.

а) Найти зависимость s от времени t.

б) Определить зависимость V от t.

Решение

а) Заданную зависимость V от пройденного пути представим в виде:

. (1)

Соотношение (1) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка. Если провести замену переменной s(t) на , то, поскольку дифференциалы величин ds и du (малые приращения) не отличаются, равенство (1) принимает вид:

. (2)

Это так называемое уравнение с разделяющимися переменными, решение которого после приведения к виду:

. (3)

выполняется посредством интегрирования правой и левой частей:

. (4)

Константу интегрирования удобно представить как lnu₀, тогда после простых преобразований и потенциирования получим:

. (5)

Возвращаясь к исходной переменной, запишем:

. (6)

Константа интегрирования u₀, определяется из начальных условий – s(0) = 0:

Итак, путь зависит от времени по закону:

. (8)

б) Зависимость скорости от времени получим, диф-ференцируя равенство (8):

. (9)

Полученные зависимости представлены графически на рисунке и имеют ясный физи-ческий смысл, который мы предлагаем продумать читателю самостоятельно.

Задача

1. * Лодка пересекает реку с постоянной относительно воды и перпендикулярной берегам скоростью V_отн = 0,3 м/с. Ширина реки равна H = 63 м. Скорость течения изменяется по параболическому закону , где y – расстояние от берега, u₀ – константа, равная 5 м/с. Найти снос лодки L вниз по течению от пункта ее отправления до места причаливания на противоположном берегу.

Решение

Как известно, механическое движение всегда носит относительный характер – его характеристики различны в разных системах отсчёта. Поскольку в задаче дана скорость лодки относительно воды, будем использовать две системы отсчёта – «неподвижную», связанную с берегом, и «движущуюся» – связанную с водой в реке. Направим координатные оси обеих с истем отсчёта вдоль берега (OX) и перпендикулярно к нему (OY). Скорость лодки относительно неподвижной системы отсчёта равна сумме скорости лодки относительно движущейся системы отсчёта (воды) и скорости движущейся системы отсчёта относительно неподвижной (берега):

V = V_отн + u.

Сложное движение лодки можно представить как сумму двух более простых – вдоль берега и перпендикулярно к нему. Первое происходит со скоростью движения относительно воды V_отн, второе – со скоростью воды относительно берега u(y). Поскольку вдоль оси OY движение является равномерным закон этого движения можно записать в виде:

y(t) = V_отнt. (1)

Это позволяет определить зависимость изменения скорости лодки вдоль оси OX от времени. Последнее необходимо для определения изменения координаты в каждом направлении, как интеграл соответствующих функций скорости по времени в пределах «времени переправы»  :

, (2)

. (3)

Интеграл в равенстве (2) легко вычисляется и, поскольку ширина реки H известна, это позволяет найти время переправы:

. (4)

Для определения сноса лодки вниз по течению L = x() придётся провести довольно кропотливую, но несложную процедуру вычисления соответствующих интегралов:

[подставим найденное ранее значение  = H/V_отн]

.

Итак, снос лодки с учётом численных данных задачи равен:

м.

Задачи для самостоятельного решения.

1. А том в молекуле, совершая так называемые “маятниковые колебания”, движется по дуге окружности радиуса R по закону s = s₀cost (s – длина дуги). Найти полное ускорение атома в точках а) s = 0 и б) s = ±s₀. Считать R = 10^-7 см, s₀ = 10^-8 см и  = 10¹³ с^-1.

2. Частица движется по круговой орбите радиуса R так, что зависимость угла поворота радиус-вектора от времени имеет вид: (t) = a + bt  ct². Найти зависимость от времени: 1) угловой скорости, 2) линейной скорости, 3) тангенциального ускорения, 4) нормального ускорения и 5) полного ускорения частицы.

3. Шар вращается вокруг оси, проходящей через его центр с помощью электромотора с частотой  = 1800 об/мин. После выключения электромотора шар, вращаясь равнозамедленно, совершил N = 150 оборотов и остановился. Сколько времени прошло с момента выключения до остановки.

4. Диск электропроигрывателя вращается с постоянной угловой скоростью, делая  = 33,(3) об/мин. После выключения двигателя диск останавливается за счет трения через  = 20 c. Считая движение равнозамедленным, найти, сколько оборотов сделает диск после выключения двигателя до полной остановки.

5. Маховик вращается, совершая ₀ = 20 об/с. После выключения двигателя, вращавшего маховик, он остановился, сделав N = 250 оборотов. Считая движение равнозамедленным, найти угловое ускорение маховика.

6. Радиус-вектор частицы определяется выражением r = 3t²e_x + 4t²e_y + 7e_z (м). Вычислить а) путь s, пройденный частицей за первые 10 с движения, б) модуль перемещения |Δr| за это время, в) объяснить полученный результат.

7. Радиус-вектор частицы определяется выражением r = 3t²e_x + 2te_y + 1e_z (м). Найти: а) зависимость от времени скорости V и ускорения a частицы, б) модуль скорости в момент времени  = 1 c, в) приближённое значение пути, пройденного частицей за 11-ю секунду движения.

8. Точка движется ускоренно по окружности вокруг неподвижной оси. Указать направления векторов линейной и угловой скорости, а также линейного и углового ускорения.

9. Укажите на чертеже направления вектора линейного ускорения математического маятника в следующих случаях: а) в момент прохождения положения равновесия, б) в крайнем положении, в) в промежуточном положении. Какие силы создают ускорение в рассмотренных случаях?

10. Указать на чертеже направление углового ускорения в следующих случаях: а) диск вращается вокруг собственной неподвижной оси с возрастающей угловой скоростью, б) направление оси вращения поворачивается, а скорость вращения диска остается неизменной.

11. Точка совершает гармонические колебания вдоль оси X с амплитудой А = 4 см и частотой  = 5 Гц. Найти проекции скорости V_x и ускорения a_x точки в тот момент, когда ее смещение от положения равновесия определено координатой x₁ = 2 см.

12. Точка движется по окружности радиуса R = 20 см с постоянным тангенциальным ускорением a_ = 5 см/c². Через какое время после начала движения нормальное ускорение а_n будет: а) равно тангенциальному, б) вдвое больше тангенциального?

13. Компоненты скорости частицы изменяются со временем по законам: V_x = Аcosωt, V_y = Аsinωt и V_z = 0, где А и ω – константы. Найти модуль скорости частицы, модуль ускорения, а также угол между векторами скорости и ускорения. На основании получен-ных результатов сделать вывод о характере движения частицы.

14. Зависимость координат частицы от времени имеет вид: x = Аcosωt, y = Аsinωt и z = 0 (А и ω  константы). Определить радиус-вектор r, скорость V и ускорение а частицы, а также их модули. Найти:

а) скалярное произведение векторов r и V; б) скалярное произведение векторов r и а. Что означают полученные результаты?

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги