Лекции (1108964)
Текст из файла
Математический анализ
2 семестр
Содержание
Определенный интеграл
-
Интегральные суммы. Определение интеграла
-
Необходимое условие существования интеграла
-
Суммы Дарбу и их свойства
-
Критерий интегрируемости
-
Интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции
-
Свойства интеграла
-
Определенный интеграл с переменным верхним пределом
-
Приемы вычисления определенных интегралов
-
Приложения интеграла: площадь плоской фигуры
-
Приложения интеграла: объем тела
-
Приложения интеграла: длина дуги кривой
-
Приложения интеграла: площадь поверхности вращения
-
Несобственные интегралы
Функции нескольких переменных
-
Пространство Rn
-
Функции и отображения. Предел
-
Свойства предела. Непрерывность
-
Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные
-
Достаточное условие дифференцируемости
-
Дифференциал
-
Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала
-
Производные высших порядков
-
Дифференциалы высших порядков
-
Формула Тейлора
-
Геометрические приложения: касательная плоскость
-
Геометрические приложения: производная по направлению, градиент
-
Экстремумы функций нескольких переменных
-
Достаточные условия экстремума
-
Неявная функция
-
Условный экстремум
Определенный интеграл
-
Интегральные суммы. Определение интеграла
Определение. Точки задают разбиение отрезка
. Для краткости будем обозначать разбиение буквой
.
Определение. Наибольшее из чисел называется диаметром разбиения T и обозначается
.
Определение. Если произвольным образом выбрать точки
, то получится разбиение T с отмеченными точками
. Будкм обозначать
набор
.
Пусть функция определена на отрезке
.
Определение. Величина называется интегральной суммой, соответствующей разбиению T с выбранными точками
.
Определение. Пусть существует число такое, что для любого
существует
,
такое, что для
и любого выбора точек
выполняется неравенство
Тогда функция называется интегрируемой на
, а число I называется ее интегралом по отрезку
и обозначается
Примечания.
Это-определение интеграла Римана (Б. Риман (1826-1866)). Существуют другие определения интеграла (интеграл Лебега, интеграл Мак-Шейна, интеграл Курцвейла-Хенстока, интеграл Стилтьеса и др.). Мы будем рассматривать лишь интеграл Римана ввиду относительной простоты его определения, с одной стороны, и его достаточности для приложений, с другой стороны.
Чисто, допуская некоторую вольность языка (в математическом смысле!) говорят, что интеграл – это предел интегральных сумм при стремлении к нулю диаметра разбиения . «Вольность» состоит в том, что у нас имеется определение предела функции одной переменной, а интегральная сумма зависит не только от
, но и от самого разбиения T, и от выбора точек
. Поэтому говоря в дальнейшем о пределе интегральных сумм мы имеем в виду утверждение, сформулированное в определении интеграла.
Впрочем, этой вольности можно избежать, если рассматривать понятие предела по базе (с этим понятием можно ознакомиться в более развернутых курсах математического анализа).
-
Необходимое условие существования интеграла
Теорема. Если функция интегрируема на отрезке
, то она ограничена на
.
Доказательство. Возьмем в определении интеграла и рассмотрим соответствующее ему
. Пусть T – любое разбиение, удовлетворяющее условию
. Для того, чтобы убедиться в справедливости теоремы, достаточно доказать, что при всех
функция
ограничена на отрезке
, т.е.
. Действительно, тогда для
имеем при
:
, т.к. x входит в некоторый отрезок
и, значит
.
Выберем любое и представим интегральную сумму
в виде
(1).
Зафиксируем произвольным образом числа выбранные в соответствующих промежутках. При этом первое и третье слагаемые в равенстве (1) примут определенное фиксированное значение. Обозначим сумму этих слагаемых буквой J. Таким образом, при любом
(2).
По условию, функция интегрируема, значит , т.е.
, или
. Откуда, учитывая (2),
,
,
(3).
Левая и правая части неравенств (3) представляют собой величины, не зависящие от . Поэтому неравенства (3) означают, что
. Теорема доказана.
-
Суммы Дарбу и их свойства
При исследовании вопроса о существовании интеграла важную роль играют суммы Дарбу (Г. Дарбу (1842-1917)).
По доказанной в §2 теореме ограничена на
и, следовательно, для любого разбиения T отрезка она ограничена на всех отрезках
, (т.е. множество ее значений на этом отрезке ограничено сверху и снизу). Обозначим
- точную верхнюю грань, а
- точную нижнюю грань множества значений функции
на
,
.
Определение. Числа и
называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции
для разбиения T на отрезке
.
Теорема. Верхняя сумма Дарбу представляет собой точную верхнюю грань, а нижняя сумма Дарбу
- точную нижнюю грань множества значений интегральных сумм при заданном разбиении T и всевозможных выборах точек
.
Доказательство. Проведем его для верхней суммы Дарбу. Для нижней суммы рассуждения вполне аналогичны.
Во-первых, для любого и для любой точки
имеет место неравенство
(по определению
). Значит,
(1).
Суммируя неравенства (1) по всем получаем
. Т.е.
- верхняя грань множества
по всевозможным выборам
.
Осталось доказать, что - точная верхняя грань. Для этого возьмем произвольное
. Поскольку
- точная верхняя грань множества значений
на отрезке
,
существует точка
такая, что
и
(2).
Суммируя неравенства (2) по получаем, что
, т.к.
(суммарная длина отрезков, составляющих отрезок
, равна длине этого отрезка).
Итак, доказано, что для любого можно так выбрать точки
, что
, что как раз и означает, что
, где верхняя грань взята по всевозможным выборам точек
. Теорема доказана.
Замечание. Отметим очевидность неравенства: .
Считая известным понятие площади многоугольника, отметим, что нижняя сумма Дарбу, соответствующая разбиению , представляет собой площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке есть нижняя из 3 ломаных, отмечена жирной линией.
Верхняя сумма Дарбу - это площадь многоугольника, верхняя граница которого - верхняя из 3 ломаных линий, отмечена еще более жирной линией.
Наконец, интегральная сумма, соответствующая выбору точек - это площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке заключена между описанными выше линиями и изображена простой линией.
Определение. Разбиение отрезка
называется продолжением разбиения
(или измельчением), если оно получено присоединением к
новых точек деления.
(круглыми точками отмечены новые точки деления).
Теорема.
Доказательство. Сначала докажем неравенства (3) в случае, когда получено присоединением к
одной новой точки. Пусть эта точка, обозначим ее
, попала в интервал
. Рассмотрим суммы Дарбу, соответствующие старому разбиению и новому разбиению.
Поскольку остальные отрезки старого разбиения остались без изменения, соответствующие им слагаемые сумм Дарбу не изменятся. Поэтому различие старой и новой суммы Дарбу только в том, что:
Для верхней суммы Дарбу слагаемое заменяется на сумму
, где
- точная верхняя грань множества значений
на
,
- на
;
Для нижней суммы Дарбу слагаемое заменяется суммой
, где
- соответствующие точные нижние грани.
Очевидны неравенства: (точная верхняя грань множества значений
на части отрезка не превосходит точной верхней грани множества значений
на всем отрезке, а точная нижняя грань множества значений
на части отрезка не меньше, чем точная нижняя грань множества значений
на всем отрезке).
Итак, первое утверждение теоремы доказано в случае, когда получено из
добавлением одной новой точки.
Если же таких новых точек - несколько, то мы можем рассматривать как результат последовательного присоединения по одной точке. При этом, по доказанному выше, при каждом таком присоединении точки верхняя сумма Дарбу не увеличивается. Значит,
и в общем случае. Аналогичное рассуждение справедливо и для нижних сумм.
Поэтому первое утверждение теоремы полностью доказано.
Докажем утверждение 2. Неравенство (4) легко следует из первой части теоремы. Действительно, рассмотрим разбиение , которое получается, когда мы берем все точки, входящие в
и все точки, входящие в
. Тогда
- продолжение
и
. Но тогда
. Первое и последнее неравенства следуют из доказанной первой части теоремы, среднее неравенство очевидно.
-
Критерий интегрируемости
Теорема. Для того, чтобы функция была интегрируема на
необходимо и достаточно, чтобы
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.