Лекции (1108964)

Файл №1108964 Лекции (Лекции)Лекции (1108964)2019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический анализ

2 семестр

Содержание

Определенный интеграл

  1. Интегральные суммы. Определение интеграла

  2. Необходимое условие существования интеграла

  3. Суммы Дарбу и их свойства

  4. Критерий интегрируемости

  5. Интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции

  6. Свойства интеграла

  7. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

  8. Приемы вычисления определенных интегралов

  9. Приложения интеграла: площадь плоской фигуры

  10. Приложения интеграла: объем тела

  11. Приложения интеграла: длина дуги кривой

  12. Приложения интеграла: площадь поверхности вращения

  13. Несобственные интегралы

Функции нескольких переменных

  1. Пространство Rn

  2. Функции и отображения. Предел

  3. Свойства предела. Непрерывность

  4. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные

  5. Достаточное условие дифференцируемости

  6. Дифференциал

  7. Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала

  8. Производные высших порядков

  9. Дифференциалы высших порядков

  10. Формула Тейлора

  11. Геометрические приложения: касательная плоскость

  12. Геометрические приложения: производная по направлению, градиент

  13. Экстремумы функций нескольких переменных

  14. Достаточные условия экстремума

  15. Неявная функция

  16. Условный экстремум

Определенный интеграл

  1. Интегральные суммы. Определение интеграла

Определение. Точки задают разбиение отрезка . Для краткости будем обозначать разбиение буквой .

Обозначим .

Определение. Наибольшее из чисел называется диаметром разбиения T и обозначается .

Определение. Если произвольным образом выбрать точки , то получится разбиение T с отмеченными точками . Будкм обозначать набор .

Пусть функция определена на отрезке .

Определение. Величина называется интегральной суммой, соответствующей разбиению T с выбранными точками .

Определение. Пусть существует число такое, что для любого существует , такое, что для и любого выбора точек выполняется неравенство

.

Тогда функция называется интегрируемой на , а число I называется ее интегралом по отрезку и обозначается

.

Примечания.

Это-определение интеграла Римана (Б. Риман (1826-1866)). Существуют другие определения интеграла (интеграл Лебега, интеграл Мак-Шейна, интеграл Курцвейла-Хенстока, интеграл Стилтьеса и др.). Мы будем рассматривать лишь интеграл Римана ввиду относительной простоты его определения, с одной стороны, и его достаточности для приложений, с другой стороны.

Чисто, допуская некоторую вольность языка (в математическом смысле!) говорят, что интеграл – это предел интегральных сумм при стремлении к нулю диаметра разбиения . «Вольность» состоит в том, что у нас имеется определение предела функции одной переменной, а интегральная сумма зависит не только от , но и от самого разбиения T, и от выбора точек . Поэтому говоря в дальнейшем о пределе интегральных сумм мы имеем в виду утверждение, сформулированное в определении интеграла.

Впрочем, этой вольности можно избежать, если рассматривать понятие предела по базе (с этим понятием можно ознакомиться в более развернутых курсах математического анализа).

  1. Необходимое условие существования интеграла

Теорема. Если функция интегрируема на отрезке , то она ограничена на .

Доказательство. Возьмем в определении интеграла и рассмотрим соответствующее ему . Пусть T – любое разбиение, удовлетворяющее условию . Для того, чтобы убедиться в справедливости теоремы, достаточно доказать, что при всех функция ограничена на отрезке , т.е. . Действительно, тогда для имеем при : , т.к. x входит в некоторый отрезок и, значит .

Выберем любое и представим интегральную сумму в виде (1).

Зафиксируем произвольным образом числа выбранные в соответствующих промежутках. При этом первое и третье слагаемые в равенстве (1) примут определенное фиксированное значение. Обозначим сумму этих слагаемых буквой J. Таким образом, при любом (2).

По условию, функция интегрируема, значит , т.е. , или . Откуда, учитывая (2), , , (3).

Левая и правая части неравенств (3) представляют собой величины, не зависящие от . Поэтому неравенства (3) означают, что . Теорема доказана.

  1. Суммы Дарбу и их свойства

При исследовании вопроса о существовании интеграла важную роль играют суммы Дарбу (Г. Дарбу (1842-1917)).

По доказанной в §2 теореме ограничена на и, следовательно, для любого разбиения T отрезка она ограничена на всех отрезках , (т.е. множество ее значений на этом отрезке ограничено сверху и снизу). Обозначим - точную верхнюю грань, а - точную нижнюю грань множества значений функции на , .

Определение. Числа и называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции для разбиения T на отрезке .

Теорема. Верхняя сумма Дарбу представляет собой точную верхнюю грань, а нижняя сумма Дарбу - точную нижнюю грань множества значений интегральных сумм при заданном разбиении T и всевозможных выборах точек .

Доказательство. Проведем его для верхней суммы Дарбу. Для нижней суммы рассуждения вполне аналогичны.

Во-первых, для любого и для любой точки имеет место неравенство (по определению ). Значит, (1).

Суммируя неравенства (1) по всем получаем . Т.е. - верхняя грань множества по всевозможным выборам .

Осталось доказать, что - точная верхняя грань. Для этого возьмем произвольное . Поскольку - точная верхняя грань множества значений на отрезке , существует точка такая, что и (2).

Суммируя неравенства (2) по получаем, что , т.к. (суммарная длина отрезков, составляющих отрезок , равна длине этого отрезка).

Итак, доказано, что для любого можно так выбрать точки , что , что как раз и означает, что , где верхняя грань взята по всевозможным выборам точек . Теорема доказана.

Замечание. Отметим очевидность неравенства: .

Считая известным понятие площади многоугольника, отметим, что нижняя сумма Дарбу, соответствующая разбиению , представляет собой площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке есть нижняя из 3 ломаных, отмечена жирной линией.

Верхняя сумма Дарбу - это площадь многоугольника, верхняя граница которого - верхняя из 3 ломаных линий, отмечена еще более жирной линией.

Наконец, интегральная сумма, соответствующая выбору точек - это площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке заключена между описанными выше линиями и изображена простой линией.

Определение. Разбиение отрезка называется продолжением разбиения (или измельчением), если оно получено присоединением к новых точек деления.

(круглыми точками отмечены новые точки деления).

Теорема.

  1. Если продолжает , то , (3).

  2. Для любых разбиений и имеет место неравенство: (4).

Доказательство. Сначала докажем неравенства (3) в случае, когда получено присоединением к одной новой точки. Пусть эта точка, обозначим ее , попала в интервал . Рассмотрим суммы Дарбу, соответствующие старому разбиению и новому разбиению.

Поскольку остальные отрезки старого разбиения остались без изменения, соответствующие им слагаемые сумм Дарбу не изменятся. Поэтому различие старой и новой суммы Дарбу только в том, что:

Для верхней суммы Дарбу слагаемое заменяется на сумму , где - точная верхняя грань множества значений на , - на ;

Для нижней суммы Дарбу слагаемое заменяется суммой , где - соответствующие точные нижние грани.

Очевидны неравенства: (точная верхняя грань множества значений на части отрезка не превосходит точной верхней грани множества значений на всем отрезке, а точная нижняя грань множества значений на части отрезка не меньше, чем точная нижняя грань множества значений на всем отрезке).

Поэтому , т.к. .

Аналогично, , т.к. .

Итак, первое утверждение теоремы доказано в случае, когда получено из добавлением одной новой точки.

Если же таких новых точек - несколько, то мы можем рассматривать как результат последовательного присоединения по одной точке. При этом, по доказанному выше, при каждом таком присоединении точки верхняя сумма Дарбу не увеличивается. Значит, и в общем случае. Аналогичное рассуждение справедливо и для нижних сумм.

Поэтому первое утверждение теоремы полностью доказано.

Докажем утверждение 2. Неравенство (4) легко следует из первой части теоремы. Действительно, рассмотрим разбиение , которое получается, когда мы берем все точки, входящие в и все точки, входящие в . Тогда - продолжение и . Но тогда . Первое и последнее неравенства следуют из доказанной первой части теоремы, среднее неравенство очевидно.

  1. Критерий интегрируемости

Теорема. Для того, чтобы функция была интегрируема на необходимо и достаточно, чтобы

(1)

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
4,82 Mb
Материал
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее