Лекции (1108964), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Докажем, что непрерывна. Пусть приращению соответствует приращение . При этом по построению . Но - дифференцируемая функция, поэтому (3), где при .

Так как по построению окрестности , из равенства (3) следует, что при также и , что означает непрерывность построенной . ( ).

Из равенства (3) следует, что , т.к. , и при достаточно малых (а значит, по доказанному выше, и ) коэффициент при отличен от 0 и . Значит, . Теорема доказана.

Аналогичными рассуждениями можно доказать такую теорему:

Теорема. Пусть функция непрерывна и имеет все непрерывные частные производные в окрестности точки такой, что , причем . Тогда существуют числа такие, что в области уравнение равносильно уравнению , причем функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные, причем .

Важную роль играет аналогичная теорема для системы уравнений. Сформулируем некоторый частный случай подобной теоремы.

Теорема. Пусть (4), где функции непрерывны и имеют непрерывные производные в некоторой области (точки ). Пусть матрица Якоби имеет в этой области ранг 2. . Тогда, если, например, минор , то в области систему (4) можно преобразовать к уравнению (5), причем есть непрерывно дифференцируемая функция от и , (6).

Замечание. Уравнения (4) представляют собой так называемое параметрическое задание поверхности. Уравнение (5) – это задание той же самой поверхности явным уравнением. Часто обозначают .

Если зафиксировать , то - координатные линии (аналогично, при фиксированном также представляют собой координатные линии). При этом векторы и - касательные векторы к координатным линиям. Если взять точку поверхности, соответствующую параметрам и рассмотреть касательную плоскость в этой точке, то векторы

(7), где буквы обозначают соответствующие определители.

Тогда формулы (6) можно переписать в виде (8).

При этом если мы хотим рассматривать вместо (7) нормальный вектор единичной длины, то, деля (7) на его модуль, т.е. на , получаем (9). Преобразуем выражение . По определению, это есть , где – угол между и . Тогда , где , , (10).

Приложения доказанных теорем

Задача. Дано уравнение . Найти .

Решение. Приведем уравнение к виду .

При левая часть – непрерывная функция. ; . , если .

Итак, если и , то рассматриваемое уравнение определяет как функцию от , и (11).

Для подсчета второй производной: . Согласно (11), .

Задача. Пусть . Найти и в точке, соответствующей .

Решение. Справедливы все условия теоремы 3, т.к. (производные вычислены в точке и ранг этой матрицы равен 2). , .

Замена переменных

Задача. Преобразовать уравнение (12) к полярным координатам.

Решение. , . , , и (12) принимает вид: или .

Задача. Преобразовать уравнение считая новой функцией (13), новыми независимыми переменными , (14).

Решение. Согласно (13) (15). С другой стороны, (16). Из (15) и (16) получаем: , . Откуда , и . Поэтому исходное уравнение можно заменить уравнением . Оно равносильно совокупности уравнений и , что и дает искомый результат.

1. Условный экстремум

Пусть дана функция и предположим, что переменные удовлетворяют уравнениям связи (1).

Определение. В точке , удовлетворяющей уравнениям (1) функция имеет условный минимум (максимум) если неравенство ( ) выполняется в некоторой окрестности точки для всех точек , удовлетворяющих (1).

Для упрощения выкладок рассмотрим случай функции и 2-х уравнений связи . Предположим, что обладают непрерывными частными производными, причем ранг матрицы равен 2. Для определенности, пусть . Тогда по определению теоремы о системе неявных уравнений , , где - непрерывные дифференцируемые функции и понятие условного экстремума функции совпадает с экстремумом функции . Стало быть, должны выполняться условия , , т.е. (2). Иными словами, , . Для нахождения воспользуемся уравнениями связи (3).

Из этой системы можно линейно выразить и через и , что и дает искомое выражение для .

Есть, однако, специальный прием, называемый методом неопределенных множителей Лагранжа, который позволяет обойтись без решения этой системы. По инвариантности формы дифференциала, условие равносильно условию , т.е. (4). Умножим уравнения (3) на и соответственно и сложим с (4): (5).

Выберем и так, чтобы коэффициенты при и одновременно обращались в 0. Это можно сделать потому, что определитель системы (6) не равен 0.

Тогда (5) примет вид , где - дифференциалы независимых переменных. Поэтому и (7).

Таким образом, необходимые условия экстремума вспомогательной функции совпадают с уравнениями (6) и (7) и, тем самым, с необходимыми условиями условного экстремума.

Достаточные условия получаются при исследовании 2-го дифференциала.

Пример 1. Найти экстремум функции при условии .

Дадим 2 решения этой задачи.

Решение 1 основано на том, что уравнение связи можно решить: и получить, соответственно, 2 функции от : , . Первая из них имеет максимум в точке , вторая – минимум в точке .

Решение 2. Строим . , .

При получаем , . При .

Выясним, что происходит в этих точках. С этой целью найдем . . Из условия следует , и в точке , т.е. . В точке , т.е. снова . Поэтому , и в точке получается: , т.е. максимум, а в точке – получается , т.е. минимум.

54

Характеристики

Список файлов лекций