Лекции (1108964), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Доказательство.

1. Необходимость. Для числа выберем так, чтобы , что можно сделать ввиду интегрируемости на . Тогда , для любого выбора . Значит, число - верхняя грань множества значений при всевозможных выборах .

Значит, , поскольку, по доказанному в §3, - точная верхняя грань этого множества, а точная верхняя грань является наименьшей из верхних граней и не может превосходить числа . Аналогично, . Поэтому .

Неравенство (1) доказано.

2. Достаточность. Поскольку (2), множество значений при всевозможных разбиениях отрезка ограничено сверху (любым числом вида ). Аналогично, множество ограничено снизу. Поэтому существуют , . Из неравенства (2) сразу следует, что .

Покажем сначала, что из (1) следует, что . Действительно, и . Значит, ввиду произвольности , . Обозначим .

Далее, . Но при любом выборе . Поэтому , или согласно (1). Поэтому - интегрируема на . Теорема доказана.

Примечания.

1. Это - достаточно слабый критерий (Более сильные критерии, например критерий Дю-Буа-Реймона, критерий Лебега интегрируемости приведены в более развернутых курсах анализа). Однако нам будет вполне достаточно этой теоремы.

2. Часто обозначают и называют колебанием на . Тогда критерий примет вид: - интегрируема на .

3. Используя теорему, докажем, что существуют ограниченные, но неинтегрируемые функции.

Пример. . Тогда и . Поэтому условие критерия не выполняется.

1. Интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции

Теорема. Если , то - интегрируема на .

Доказательство. По теореме Кантора, равномерно непрерывна на , т.е. (1).

Рассмотрим разбиение отрезка с диаметром меньшим, чем выбранное . Тогда на каждом отрезке имеет место неравенство:

(2).

Действительно, достаточно подобрать точку так, что

(3)

и точку так, чтобы (4).

(Это можно сделать, т.к. числа - точные грани множества значений). Тогда ввиду (1), (3), (4) , и . Неравенство (2) доказано. Тогда . Т.о. критерий интегрируемости выполняется.

Теорема. Если не убывает (не возрастает) на , то она интегрируема на .

Доказательство. Пусть не убывает. Тогда на отрезке выполняются равенства: . Если , то - постоянная и ее интегрируемость очевидна ( ). Если , то положим (5). Тогда если , то ввиду (5). Т.о. теорема доказана.

1. Свойства интеграла

Пусть . Положим по определению . Отметим, что эта формула верна и при . Действительно, при этом или , что и утверждалось.

Итак, для любых .

Примечание. Отсюда сразу следует, что .

Свойство 1. Пусть интегрируема на , . Тогда интегрируема на и и (1).

Важное примечание. Это свойство можно сформулировать иначе: если существуют интегралы , то интегрируема на и имеет место равенство (1). Ниже будет доказано свойство (1) в первой из формулировок.

Отметим также, что вторая формулировка позволяет утверждать, что если непрерывна на и на и ограничена на , то она интегрируема на . Действительно, доопределяя на отрезке в точке по непрерывности получаем, что интегрируема на . Аналогично, – интегрируема на . Тогда, по вышеупомянутому свойству, интегрируема на .

Аналогичные рассуждения легко провести и в случае конечного числа точек разрыва на . При этом – интегрируема на .

Доказательство. Произвольные разбиения отрезков и дают разбиение отрезка . Пусть в этом разбиении отрезка . Тогда (2). Левая часть суммы (2) соответствует всему отрезку , первое слагаемое правой части - отрезку , второе слагаемое - . Поскольку все и неотрицательные, (3) и (4).

По условию, интегрируема на , значит .

Но тогда, ввиду (3) и (4) (5) и (6).

Поскольку левые части (5) и (6) представляют собой разности верхней и нижней суммы Дарбу для отрезков и , соответственно, мы получаем, что функция интегрируема на этих отрезках.

Рассмотрим произвольные интегральные суммы для интегралов и . Их сумма даст некоторую интегральную сумму для . (7). (первое слагаемое правой части - интегральная сумма для , второе слагаемое - интегральная сумма для ).

По доказанному выше, интегральные суммы в правой части стремятся к и к при стремлении к нулю, а интегральная сумма в левой части стремится к . Поэтому из равенства (7) при следует, что , т.е. (1).

Следствие. С учетом данного перед свойством 1 определения равенство (1) справедливо при любом расположении точек при условии, что интегрируема на том из отрезков , который содержит в себе остальные.

Примечание. Свойство 1 можно сформулировать так: интеграл есть аддитивная функция отрезка.

Свойство 2. Если интегрируема на , то функция интегрируема на и (8).

Свойство 3. Если - интегрируемы на , то - интегрируема на и (9).

Доказательство свойств 2 и 3.

Обозначим суммы Дарбу для и . Поскольку , что выполняется при ввиду интегрируемости . Далее, , .

Поэтому, при имеем: .

Итак, интегрируемость в свойствах 2 и 3 доказана. Равенства (8) и (9) следуют теперь из очевидных равенств: и для интегральных сумм при стремлении к 0.

Свойство 4. Если на , и - интегрируема на , то .

Доказательство. . Поэтому и, т.к. , тоже .

Свойство 5. Если интегрируемы на и имеет место неравенство , то (10).

Доказательство. По свойствам 2 и 3 функция интегрируема. По свойству 4, (11).

Вновь по свойствам 2 и 3, . Поэтому из (11) следует (10).

Свойство 6. Пусть - интегрируема на и . Тогда - интегрируема на и (12).

Доказательство. Известно, что . Значит, . Из этого следует, что - колебание функции на отрезке не превосходит колебания функции на . Значит, при достаточно малом . Это доказывает интегрируемость функции .

Наконец, (13) (т.к. для любых чисел ).

Из (13) при следует (12).

Замечание. Из того, что интегрируема на не следует, что - интегрируема на .

Пример. . , а - очевидно, интегрируемая функция.

Свойство 7. Пусть - интегрируема на , и при . Тогда .

Это сразу следует из свойства 5 и того, что для постоянной .

Теорема. (Теорема о среднем значении). Пусть интегрируема на , и при . Тогда такое, что . Если, кроме того, , то , т.е. .

Доказательство. Первое утверждение сразу следует из свойства 7. Действительно . Обозначив , получаем требуемое утверждение.

Если же - непрерывна, то она принимает все свои промежуточные значения между наименьшим и наибольшим значениями на отрезке . При этом и , где . Ввиду непрерывности на , как отмечено выше, .

Теорема. (Обобщенная теорема о среднем значении). Пусть:

1. - интегрируемы на ;

2. ;

3. не меняет знак на .

Тогда такое, что . Если, при этом, - непрерывна на , то .

Доказательство. Пусть, для определенности, на , . Тогда и (1).

По свойству 4 . Если оказалось, что , то из (1) следует, что и теорема справедлива при любом значении .

Если же , то из (1) . Обозначая , получаем утверждение теоремы.

Если - непрерывна, то, как и в предыдущей теореме, .

1. Определенный интеграл с переменным верхнем пределом

Пусть интегрируема на . Тогда, по свойству 1 предыдущего параграфа, интегрируема на при любом .

Рассмотрим функцию (1).

Теорема 1. Если - интегрируема на , то .

Доказательство. Достаточно доказать, что при (при этом предполагается, что ). По определению (1) , согласно теореме о среднем (При этом , где ). При очевидно, и теорема доказана.

Теорема 2. Пусть интегрируема на и непрерывна в точке . Тогда имеет производную в точке , причем .

Доказательство. . По условию, непрерывна в точке , следовательно, , как только . Но . Значит, при , что как раз и означает, что .

Следствие. Если , то и - первообразная для .

Замечание. Пример , показывает, что (т.к. ), т.е. , поэтому в случае точки разрыва теорема может оказаться неверной.

Теорема 3. (Формула Ньютона-Лейбница). Если , то для любой первообразной имеет место равенство .

Доказательство. По доказанному следствию, первообразная существует. Если - любая другая первообразная, то существует такая, что , т.е. . Тогда , что и требовалось доказать.

1. Приемы вычисления определенных интегралов

Теорема. (Замена переменной). Пусть и , где:

1. определена и непрерывна на ;

2. Значения при не выходят за пределы отрезка ;

3. ;

4. .

Тогда (1).

Доказательство. Пусть - первообразная для . Тогда . Поэтому выполняются равенства: , и требуемое равенство (1) установлено.

Теорема. (Интегрирование по частям). Пусть непрерывны на . Тогда .

Доказательство. . Поскольку - непрерывная функция, то существует ее первообразная , т.е. . Тогда и . Теорема доказана.

1. Приложения интеграла: площадь плоской фигуры

Считаем известным понятие площади треугольника. Площадь – неотрицательная, аддитивная величина. Площадь многоугольника легко определить, как суммарную площадь составляющих его треугольников. Это определение – корректное, т.е.: если разбить многоугольник на треугольники различными способами, все равно сумма площадей этих треугольников одинакова. Докажем это.

Возьмем 2 разбиения многоугольника на треугольники:

Построим общее разбиение:

Тогда площади частей как 1-го, так и 2-го разбиения получаются, как суммы площадей маленьких треугольников из результирующего разбиения. Поэтому суммы частей 1-го и 2-го разбиения отличаются друг от друга только порядком слагаемых и их величины одинаковы.

Характеристики

Список файлов лекций