В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 128
Текст из файла (страница 128)
«по кривая Ь о некоторой окр«:с«внести «Ие однозначно проскирустсл на свою касатаельную. Д о к в з в те л ь с т в о. П1«ежде все~о. отметин«. что су«пествоввпио касательной к кривой о в точке З1с вытекает из существования производной 1 (.сс). Перейдем теперь к новой си«теме декартовых прямоугольных координат Ху„поместив новое начало в точку касания ййс и направив ось Х влоль касательной в ггйс (рис. 16.7). Если через о ооозпвчить угол между осью .г, и осью Х. то очевидно.
что новая система координат получветгя из гтврой посредством переио«в начат в точку г!Хо(хс.,)(хо)) и новорозв осей нв угол ««. Используя известные формулы преобразования координат Определение обыкновенной точки кривой, заданной уравнением Е(х„у) = О, бы, ю двпо в п. 1 1 1. В чвгтпо«ти. для кривой, заданной уравнением у = ф(х), 'гочка «се(хо, ф(та)) взлет ооыкнове«оюй, ещ«и п1«оизводггвя 1'(х) лишь непрерывке в точке то. В1 В.й. Ильин, Эзп Позняк, часть 1 618 нриложкиии Лис экркиг(ийу!ьного исч|ислкнии гл.
Ро при переносе и повороте осей (сл|. выпуск 8), получим сзе;|ун|щее выражение новых координат Х, У |очек кривой Л через старые коорлипа|ы х и р = Х(о:): Х = (х — хо) сова -|- (Х'(х) — Х(хо)) вши, (16.22) У = — (х — хо) вша+ (Х(х:) — Х(хо)) сов!|. 1!вша цель булет д|н:тигнута, если мы покажем. что из уравпепий (16.22) можно выразигь 1' как функция| Х (это и б|дет означать, что участок У кривой Ь, примыкающий к !!Хо, одное зпачно проецируотся пв ось Х, т.
е. г па каса! Рлъп| ю). Де|я э|ого досгаточио доказать, что в окрестности точки ЛХо Х первое из уравнений (16.22) одпозпачно разрепшмо отпосительно х. (В сам! мом,|еле. выразив х через Х из первоо; го уравнения (16.22) и подставив полу' (Лх~ Х(х) чепное выражение во второе уравнение (16.22). мы и опре;|елим И как функцию О хо х х Х.) Согласно теореме 15.1 достаточно доказать. что производная по х правой части первого из уравнений (16.22) отРис. 16Л личпа от пуля в точке хо и непрерывна в этой то.|ке. Но зто о |егидпо, ибо |казы!пав прои|во,!пав ~~ее~ гит со.
и-~- т Х (,г) вша и в точке хо, в которой Х|(хо) = Скп, раппа 1,|сова. Так как т ф яХ2, то сов и у- О. Лен|ма доколе||а. Пусть кривые Х ! и Ьо, представляющие собой графики функций р = = Х! (х) и р = Хо(х), касаются друг друга в точке ЛХо(хо. Х! (хо)), которая является обыкновеши|й для каж,|ой из этих кривых, а х = хо + |зх. Пусть„ да:т'е.
из точки ЛХт(зи )о(:г)) опущен перпендикуляр па касвтельеун| в ЛХо (рис. 16.8), ЛХ! |очка пересечения этого перпендикуляра с кривой Ь! '), а ЛХ . с касательной. Тогда спр шедливы следующие утверждения. Лемма й. Сри|естеует отлиягний от нуля предел Г . (16.23) .',"'0 ~ЛХ|ЛХ,~ Лема!а о. Сущее|вере!!! отличный от, пуля предел л.",.",о )йх) Заметихц по из лемм 2 и 3 вьггекает, что отличный от пуля предел (16.21) существует тогда и го:|ыго тогда. когдд с|тцесгв|.ет отличньш от пуля предел (16.20), Рпг. 16.8 ') В силу леммы 1 при достаточно молом .йх такая точка булет только олпа.
СОПГИКОСПОВК1ПХП ПЛОСКИХ КРИВЫХ 619 в зто и означает зквиввлептность „твух определений порядка соприкосновения. Перехо;сим к доказательству лемм 2 и 3. До к а з а т е л ь с' т в о л г м и ы 2. Ради простаты обозна псы расстояние Мс ЛХ. через р и ради определенности будем с щтатьч что кривые Х,с и Ао расположены так, квк указано на рис. 16.8. Если Х и У координаты точки ЛХс, а и стол наклона касательной в ЛХо к оси О:г, то, очевидно, .'т = х+ ря1ссп, У = Х 1х) — ргоя и. Твк как точка ЛХс лежит на кривой Ьс. та К = Хс) З) или Хс(х) — рсоа а = Хс(я: -ь ряшсс).
Применяя к правой части последнего равенство формулу Лагранжа по сеглсенту 1х, х+ рашо), будем иметь Уя<х) — с ' = Хс(х) -ь расс У'®., где б — некоторая точка, лежащая Твк как р о О при Ьх — з О и производная Х (т) непрерывна в точке хо, то посхзеднее равен- ство можно перс писать в виде внутри укязщщого гегмепта. Хя(х) — рговсс = Хс(х) + + р яш сс)Х Ого) -Ь я)„(16.23) где я — я О при зо — з О. У гитывая, что Х'(хо) = 16 о, мы получим из (16.25) Хясх) ус сх) 1 -Ь я вша. р сав и Лемма 2 доказана. О До к азател ьсз во с а и м ы 3. Обозначим крез 3 угол между хордой ЛХоМз Рис.
16.9 и касательной МоМ (рис. 16.9). Очевидно, что И -з О при Ьх — > О. 11з прямастольных треугольников ЛХоЛХяР и МоМ М 1зстесь Мор пвралте,тьно оси Ох) находим )Лх) ~МоЛХ~ )ЛХОМ2) с оя(п -~- д) гоя И 11з последней формулы очевидно, что 1. )ЛХОЛХ~ . сая 3 1 1нн = 1шс л.: со )Ья):т. осоя(от и) сова Лемма 3 доказана. 3. Достаточные условия соприкосновения порядка и. Пусть.
как и выше, две кривые Х1 и Х 2., служащие графиками фуикиий 11(х) н )2(х), ксиасотся друг друга в ЛХО(хос Х1(ха)). Справедливо следующее утверждение. 620 И1'и:1Ожения ДПФФегенциильнОГО ис'чисг1ения 1 л. 1в Теорема 16.2. Пусть функ!!а!1 у =--1!(х) и у.= 1а(х) (и +1) рав дифференсснруемы в некоторой стрестноглпо, гпочкн хо., причем произ!ладные порядка и + 1 непрерьнны в само6, точке.
то. Тогда, если в точке хо вьшолнянзцлгя гав!пион!ения .Гл(ХО) = 1а(ХО)л 1!(ХО) = ЫХО)л .; У! (ХО) = Ха (ХО) (и) 1в! ~~вг О(х.) ~ ~~"О(х.) ( ) то кривые 1! и Га иментл, в точке Мо(!хо,1'1(хо)) порядок вол!раки!!наивная, п. Д о к а з а т г л ь е т в о. Пусть г"(сг) = 1а(х) — 1!(сс!). Достаточно доказать, что сулцествуе! отличныГ! от нуля предел 1ш! Так как в силу (16.26) Е(хо) = Г'(хо) = ... = Р(")(хо) = О, Е(ле!)(хо) и'= О, то, записывая для функции Е(х) формулу Тейлора с огтаточным членом в форхле Лагранжа, будем иметь Е(, ) рдвгО(, +у(х, ))(, )пч! О ~ у ~ 1 (и -!- 1)! (16.27) В силу непрерывногти прои'зводной порядка и + 1 в точке хо Р( л(:го + О(х — хо)) = Р( )(хо) + ел (16 28) где е — з О при х — л а;о.
Из соотношений (16.27) и (16.2л8) шзлучнм. что 1!ш ™!, = !Гвз !(хо)/ ф О. лкь ~к — к~~" е' ( з-1)! Тсло1зехла дока:зана. 3 а м е ч а н и е 1. Если вь!полцены вге условно теоремы 16.2, за игключением, быть может, условия 7! ' (хо) ~ (з ' (хо). (!)се!) .(пз-!Л то можно утверждать, что кривые 1 ! и 1 а имеют в то !ке Мо порядок соприкосновения не. ниже и.
3 а ъл е ч а н и с' 2. Выясним порядок соприкосновения кривой рн являкицейся графиком функции у = 1(х) со своей ка- гательнслГ! Т в точке Мо(хо, Г(хсл)). При атом будем считать, что функция 1(х) три раза дифференцируема в окрегтности точки сго, а ое третья производная непрерывна в точке хо. Напомним, что кагательная Т служит графиком глинейной функции = ср(сх) = Х'(хо)(сг — хо) + Х(хо) Таис как ср(хо) = Х(хо) ср'(схо) = =- л"(хо) и сра(хо) = О, то в случае !'а(!го) ~- 'О кривая А имеет го своей касательной Т порядок соприкосновения и = 1, а в случае 1а(хо) = О указанный порядок соприкосновения не ниже двух.
СОПРИКОСЛГОВЕНИЕ ПЛОСКИХ КРИВЫХ 4. Соприкасаюсцаяся окружность. Пусть Мо(:ео> уо) точка кривой А, являющейся графиком функции д = 1(х), имеющей непрерыв>сую третью производную в точке:ео. Через точку ЛХо можно провести бесконечно хшого окружностей, касаюпснхся кривой Х в:>той точке.
Легко убедиться в том> что часть каждой такой окружности, расположенцевс в некоторой окрестности точки ЛХо, представляет собой график функции вида у = = у(х). Поэтому мы можем говорить о порядке соприкосновения кривой Х, и любой из этих окружностей в их общей точке ЛХо, Та из этих окружностей, которая имеет с кривой А порядо>с соприкосновения не ниже. двух, называется сс>прс>кас>ак>с>се>1- ся окружностью для кривой Х в пи>чке ЛХо. Следу>осцее утверждение успшавлпвает достаточные усповия для существования у кривой А в точке Мо соприкасасощейся окружности. Теорема 16.Я.
Пусть кривая Ь являеошя ерафиколс функиии у = ф(х)> причем ф(х) илгеет в >почъе. хо не равную йулн> с>тору>о производпун> и непрерья>сук> третья пропзвод>сук>. Тогда. для кривой Х сусйествуст в точке Мо(хо> Х(хо)) соприкасаюиСолся окХ>дэк>нос>>пс>. Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем искать уравнение соприкасающейся окружности в виде )г+ (у 6)г „г (16. 29) где о,.
6 и р постоянные, подле>кашне определению. Разрешим уравнение (16.29) относительно у и найденное решение д = у(х) подставим в левую часть (16.29). Тогда мы можем рисматривать (16.29) как тождество относительно х (считая при этом, конечно.
что у = у(х)). Продифференцируем тождество (16.29) два раза по:с: и потребуем, чтобы в полученных при этом сос>тцошениях и в самом соотношении (16.29) эначепия уо, д>о, у>о функции у = у(х) и ее первых двух производных в точке хо равнялись соответственно Х(хо)> Х (хо) Х (хо): Уо = Х(сео)> Уо = Х (со)> Уо = Х (гсо). Таким образом, мы получим следующую систему уравнений относительно а, 6 и р: (хо — а) + (Уо — 6) = Р, (хо а) + (Уо 6)уо = О: 1 + (уо) + (уо — 6)уо = О При ус:ювии у>' = Х~~(хо) ф О, р > О эта система имеет единственное решение: 1 Ьуо а=хо — „' Уо> уо 622 нгнложиння диван инцнйльного нс )нслкння гл. кз Из приведенных рассуждений вытекает, что для окружности, координаты (а., Ь) центра н радиус р которой определяк)тся формулами (16.30), и кривой Х выполняются все условия замечания 1 к теореме 16.2.
Поэтому указанная окружность будет соприкасающейс)). В а м е ч а н и е. Если в условиях теоремы 16.3 требованне Х'(що) Х. -0 заменить противоположным требованием Х~'(гао) = = О, то у кривой Х. в точке ЛХе не су)пествует соприкасающейся окружности. Однако в силу заме щния 2 к теореме 16.2 в этом случае кривая А н касательная к ней в точке Мо имеют в этой точке порядок соприкосновения не ниже двух. Таким образом, можно считать, что в указанном случае соприкасаюпщяся окружность в точке Мо вырождается в прямую. й 3. Кривизна плоской кривой 1. Понятие о кривизне плоской кривой. Пусть кривая Х :задана посредством параметрических уравнений та = щ(т), у = = д(Ь). Будем считать, что для кривой Х выполнены условия, оговоренные в )) 1 гл.
11 '). В таком случае в любой точке ЛХ кривой А можно выбрать )золожззтельное направлен)ле. Договоримся называть положительным паправлениемз в дапной точке ЛХ кривой У' то направление, в котором точка ЛХ будет перемезп)зться прн увеличении параметра Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
