В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 123
Текст из файла (страница 123)
1егко убедиться в том, что все определители 3-го порядка тол дественно равны нулю, причем в любой точке пространства (з'«, хи, хз, х,«), у 1«О1Орой пс; все четыре КООрдиегаты 3:«, ссз, ссз, х.« совпадюот, хотя бы один нз определителей второго порядка 2х« 2хз 2х« 2хз 2х« 2х« 1 1 ' 1 1 1 1 отличен от нуля. Стало быть, в окрестности:побой указанной '1ОЧКИ 1««И 'С«З НСЗаВИСИМЫ, а 'ИЗ зав1ПИ1' От 'п« И ыя.
') При ятом мы повторяем рассуждения, подробно сзпсссанньсе на с. 584. з) Поскольку все частные производные, входяспие в минор «15.33), непрерьсвны в то ске Луз, то н сам минор (15.33) неснсе«н,стен в то скс«Л1з. Нсз тогда по теореме об устойчивости знака непрерьсвной функции ятог минор отличен от нуля но только в самой точке Лйе, но н в некото1гой ее окрестнос:тн. 594 '1'еО!'ия не11вных ФУнкЦий и ее ЦРиз!Ожени1! Гл. 1э 5. Ъсловпый экстремум 1. Понятие условного экстремума. В 9 6 гл. 14 мы запималпсь отысканием локальных экстремумов функции, аргумепты которой нс связапы никакими дополцптельпымп условиями.
Вместе с тем в математике и в ее приложепиях часто встречается задача ой огпысквнлпг, экстремулгов г/гунн!!гггл„аугяумснтм ко!порой г!дввлвпгягггртопг донолнггтельнггм, у!гловпялс гвя!згз. Экстремумы такого !года м11 пудом цазыват1 г!словим.мгл, !Тооы отличить пх от (безу<пговпых) экстреъгумов, изучешгых в я 6 гл. 14. Приведем пример задачи об отыскании условного экстремуа ма. Пусть требуется Найти экстремум фупкции и = ха + у- прп у<повии, гто а1ггухггзптг! этой г)!дикции 1з!ггвлг;твгг1гягот у< топи!о связи х+ у — 1 =- О.
Таким образом, экстремумы функции и =- = ха+ у ищутся не на всей плосквсппг хд, а лишь на прямой х + у — 1 = О. Для решения поставлеппоп задачи подставим в уравпепие функции и = ха + уа зпачешле у, определяемое и:з условия связи х + у — 1 = О. Таким путем мы свггдггм пог'тавлеппую зада гу к задаче об отьи:капни бгззустовпого экстремума функции и = 2ха — 2х+ 1. Последний экстремум находится без труда: шгскольку и' .= = 4!х — 1/2), и!а) = 4, то функция и — 2хв — 2х + 1 имеет минимум и — 1/2 при х — 1/2. Таким образом, фупкция и— — +г! г: Угщовпггм г:вязи к+ 1! — 1 = 0 имеет зтгтовпый мипимум и = 1/2 в точке !1/2г1/2).
Отметим, что безусловпьгй минимум ф ц =, +у д: .: в е(00) Впрочем, даже из Наглядных соображений (ригь 15.6) о гевидцо. что мипимум функции и = ха + уа (графиком которой гглужпт параболоид вращения) па всей плоско! ти хд пе совпадает с ее мипимумом па прямой х + д — 1 = О. Переходитл к общей постановке задачи об отыскании условного эксгремума. Пусть требуется найти экстремум функции го+ и переменных гз = Х(хгг хя:у! гум) !15з.40) при наличии на уг товий связи Р1(Х!~''';'ггг,д!г''' 'г!гп) Рз!х! ° ° хп У1 ° ° ° дггг) = О. (15.41) Рг„г(хг,..., х„г Уг,, д„,) = О. Прежде всего уто"шим само понятие угловпого экстремума функции (15.40) при наличии связей (15.41).
Будем говорить. зсловиый иксп вмум 595 12(Г),..., Ео, ) 1з(у)"",у ) (15.42) отличсп от нуля. В таком е)тучае в силу теоремы 15.2 для дое:тато шо малых положительных чисел е), ез..... „, Иайдется такая окрестность точки МЕ (т ! Хп) ПРЕ)ЕЛ РВИСТВЙ ПЕРЕМЕПИЫХ (Х ! ° ° ° . Хп ) !ГО ВСЮ ду в преде.тах этой окрее:тпости определены т функций у~ = ео!(х),...,хп), У2 ер2()С1; ° ° ° Хп) ° (15.43) У)п = ЕР)п(Х) ° ~ ег)о) ° о о УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЧОВИЯМ )У) — 11!( <Е!...., ()Уп, — У,п! (Еп, П являющихся при наличии этих условий едипствепиым и дифферепцируемым решением системь! уравнений (15.-11).
Подставляя иай еепные функции (15.43) в (15.40), мы сведем вопрое: о существовании уе)товпого экстремума в точке ЛХВ у функции (15.40) при наличии связей (15.41) к вопросу о сущезствовапии безуеловпого экстремума в точке Л)е у !ложной функции аргументов С1 .. ~тп н = Я(хы...,хп,еа)(г),....хп),...,едп(х),...,хп)) = = Ф(с).....,хп). (15.44) что функция (15.-10) прн )!алнчеги евяясй' (15.41) !!мест, услоо- о о о о ный макчиемум (минимум) в пккчке Л' е(хе..
° ' хпу! ' ' ' у~п) координаты которой' удовле!пе)е)ряют условиям !аяза (15.41), если нийдется такая окрест)ее)сть томка! ЛХО, в преде.лпх которой внпчен)!е фднкцеги (15.40) в )почке ЛХВ является нпиболь!инм (паимсньеинм) среди ее )та;чтщй во всех точках, коордннп)пы ке)торых удовлетен)ряют условиям стыли (115).43). Для иахождепия уещовпого экстремума функции (15.10) при наличии связей (15А1) предположим, что функции. стоящиез В:н)Вых !Вхг!'ах равенстВ (15.41), дифферепцируемы в пекотореи! Окрестпоети рассматриВ!И)мой тОчки Л)Е, причем в самой точке Л1Е частные производные ука;запиых функций =0 по у),..., у,п пепрерывпы, а якобиап 5796 '!'ЕО!'ИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ И ЕЕ ЦРИЛОкКЕНИу! ГЛ.
7В Вопрос о существовании безусловного экстремума функции (15.44) !!ожет быть решен методакш, указанными в ч 6 гл. 14 '). 14!ложе!шая нами общая схема сведения условного экстремума к безусловному бь7ла реализована в рассмотреппом вылив частном примере. Погтараем7я теперь, не пди77беапя к решен!!я с7!Вшемы (15А1), установить по крайней мере необходимые у7ловия существования у!лонного экстремума в точке Мв. Итак. пусть функция (15АО) дифферепцируема в точке ЛХО и имеет в этой точке условный экстремум при пали 7ии связей (15.41) или (что то же самое) функция (15..14) имеет в точке ЛХО безу7ловпый экстремум.
Согласно устаповлеппому в !! 6 гл. 14 Необходимым уэо70ВИ7эм 67гзу7лОВного экст!)еыума 71)упкции и = 'Р(.Г1...., хп) В точке ЛХ7! является равенство нулю в эт7нл точке дифференциала этой функции 717! = 7(х! +... + г(хв = О, дФ дФ (15.45) дх! ' ' дх„ тождествеппое относительно о!а!,...,74хв. В силу инвариантности формы первого диффе1эепэшала и !Вавепства (15.44) 71иэ1эк!улу (15.45) можно переписать в виде Ви = 7(х7+...+ 6хп+ —,7(77!+...+, 717йп = О. (15.46) дХ дХ дХ дХ дх1 дх„" ду1 ' с777,. (В этой формуле все частные производные берутся в точк7; ЛХО.) Подчеркнем, однако, что в равенстве (15.16) 74д7,...,716777 п1эедставляют собой дифференциалы функций (15.43), так что равенство (15.46) пе является тождеством относительно 747!7,..., 7)у,п. Предположим, что в уравпепия связи (15А1) мы подставили фупкц!ш (15.13), являюшиеся решеш!ем системы (15.41).
Прп этох! у1эавнепия (15.41) Обратят(:я В то!к;77!стВа, и з!ы полу 7икл, дифференцируя эти тождества, — дх! +... + — дхп + — (7О + " + — (7377 = О дЕ дГ7 дБ дГ! и 1п ° ° ° д,7п,— (15.47) 7(х7+ ... + "7(хп+ "* 7(7!7+ ... + '" гХ7!о,=О. Так как якобиап (15А2), по предположепиэо. отли и;в от пуля В ТОЧКЕ ЛХО, тО яэ ЛПНЕйПОй СПСтЕМЫ (15.47) 7т771,..., 7(7!777 МОГут быть выражены как линейны!! функции 71х7,.... 7!хи. Если найти эти выражения и подставить их в (15.46), то, собирая в по- ') При этом, конечно, при:!ется подчинить функиию (75АО) некоэорыи условияи.
хсловпый эксп кмхм 597 лучшшом 1)авепстве члены, соде1)жащие ахз,..., еЬ,'а, мы будем иметь А! дх ~ +... + А„евах„= О. (15.48) где через Аы..., Аа обозпачепы пек<по1ияе 1зациопальньзе функции частпых производпых 1",10,..., Г,„в точке ЛХо. Так как в равепс1ве (15.48) фигурзз1зузоз лтиь дифференциалы независимых переменных, то из этого равенства зак:почаем, что А1 — — О, ..., А,„= О. Присоединяя к указанным равепствам га условий связи (15А1), мы получим пеобходамые. лег шепа существовапия уггювиого экстремума функции (15.40) при наля зии связей (15.41) в виде А, =О,...,А„=О,г) =О....,гш =0 (15г49) Равеш:тва (15.49) предств.тют собой систему гп + о уравнений для опредеглепия го + и коордипат точки возможного экст1х.
мума. 2. Метод неопределенных множителей Лагранжа. При изложеппом выше методе отыскапия точек возможного условного экстремума мы парушили симметрию в отношении ззереме пых:гм ..,, ха, ум..., р,„. Часть из этих перемеипых хы...,х,„мы рассматривали как независимые, остальные как функции этих перемеппых. В ряде случаев это приводит к усложнению выкладок, г1аграпжеъз предложев метод. симметризирую1пий роль переменных. Изложению этого метода и посвящен пастоящий пункт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
