В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 127
Текст из файла (страница 127)
Таким образом, все то гэги дигкрнминантной кривой в нейсэторгэй окрестности ЛХ~э являютс:я обыкновенными. И:э только что дока:эанной леммы вытекает также, что различные точки дискриминангной кривой являются характеристическими точкамн различных кривых семейг:тва. '1еорема доказана. 3 а м е ч а и и е 1. Рассуждения.
проведенные нри доказательстве теоремы, показывают, что в слу гас, когда выполнены тспько у<ловия леммы, в каж эой зпэчкс дискриминантной кривой выполнено условие касания зтой кривой н кривой семейства. Мы уже отмечали (см. замечание 2 п. 1), что угловие касания вьппэлняе гся н ыэгда, когда общая точка двух кривых является особой точкой по крайней мере о,эной из них.
Отсюда ээьэтекает, что дискриминантпая кривая может гг1эедставэгять собой геометрн эеское место особых точек кривых семейства (е<ши в каждой .са1эактеристической точке выпо:шяется условие Е„'в + ~Р~ =- О). Отметим, что и сама дискримннантная кривая может иметь осонк нр бые точки (если — ' н — ' равны одновременно нулю). сэсг гэо ээ э Непрерывность этих прои эводных непш:редспэенно вытекает из непрерывности производных г,',, Е„'. 1"'„, Е"г и г'и и из соотношений (1б.15), из ээх сэп которых .зги производные — и — ' могут быть найдены алгебраически. На э1сэ 614 И1'и:1Озкения ДЛФФеренЦийльнОГО ис'чис71ения 1 л. 16 3 а, м е ч а н и е '2. Теорема 16.1 геометрически может быть истолкована слсдуюгппм образом. Если все кривые семейства и, дискриминантная кривая не имеют особых точек.
то указанная дискримииаьипхал кривал является <эяибаюи<ей. Рассмотриы примеры. 1'. Найти;пюкримипантную кривую семейства у — (х — о)2= О. Имеем Р(х,у,<т) = у — (х — о)2, Р,',(х,у,о) = 2(х — се). Таким образом, система (16.13) имеет вид у — (х — о)2 = О., 2(х — о) = О. От<пода вытекает, что характеристические точки имеют координаты (<х., 0) (<м.
рис. 16.1). Поэтому дискримннантная к)и<вал задаегся параметрическими уравнениями х=о, у=О. Имеем, далее, г' = — 2(х — о), ~Р = 1. В точках ди<криминантной кривой Е',2 + ~„'2 = 1. Кроме того, У""о = — 2 ф О. Таким образом, дискриминантная кривая — ось Ох является огибающей. 2'. Найти дискриминантную кривую с'емейства (у — о)2 — (х— — о)з = 0 Имеем г(х,<д<т) = (у — о)2 — (х — о)', У" (х.у,о) = = — 2(у — о) + 31х — <з)2. Система (16.13) имеет вид (у — о) — (х — о)а = О, — 2(у — о) + 3(х — о) = О.
Отсюда вытекает, что дис'криминантная кривая представляет собой две прямые линии, определяемые параметрическими уравнениями 4 8 х=о, у=оих= — +о, у= — +о 9 '' 27 (см. рис. 16.2). Легко убедиться, что в точках прямой х = о, У = о гыпо:пзиетси Условие г",. + тгв —— О, т.
<к эта, <асть,си<- кримнпан<ной к)знвозз пре дста<э<1<«.т ~вбей г<.ок«*.т)гтс «.ско<1 и<<сто особых точек кривых семейства. <1итатель легко убедится. что 4 8 прямая х = — + о. у = — + о является огибающей рассматри- 9 '' 27 вагмого семейства линий. 4. Огибающая и днскрнминантная поверхность однопараметрнческого семейства поверхностей.
Рмгсмотрим одно«арвмотрическое семейство поверхностей. определяемое уравнением <16.16) г<х,р.г,с<) =-О. При этом мм бу;юм предполагать, что функция Г1х, у,, и) является дифферопцируемой функци<,й в области ес задания. Линия Е ов <юверхности 615 СОПРИКОСНОВЕНИЕ ПЛОСКИХ КРИВЫХ семейства (16.16), отвечаклцей значению о параметра семейства, называ- ется харатпгристической (или характеристикой), если координаты точек этой линии удовлетворяют системе уравнений Е(х,у,г.о) = О, Е (х,у,г,о) =О.
(16.17) 8 2. Соприкосновение плоских кривых 1. Понятие порядка соприкосновения плоских кривых. Пусть две кривые Ьг н Х г касаются друг дрста в некоторой точке ЛХО 9) (рнс. 16.6). Пусть,(злее ЛХ нроизводьпая точка ) Огибающие таких семейств сфер называются капаловьгми поверхностями. г) То ес:ть проходят через ЛХо и имеют в этой точке совпадающие касательные.
Геоьтетртт атское мес:то характеристик пглываетт:я дискримииат*твой пооерхностпьто стмгйствл (16.17). Огибаьлогй одиопараметаричгского сгмейспгоа поогрхпостей (16.16) нагыоогтсл поверхность О, котпорая касаепгся осел пооерхноспюй семейства. Можтто лсгка тать сшедующее утверждение. Если, осе поверхности семейслпоа и, дискриминаитс*ая пооерхпостпь пе имеютп особых пгочгк, тпо укаганнал дискриминантаная ловгрхношпь яоллется огибающей. Отметим„что дискримипавтпая поверхность может пре;ютаг лять собой геометрическое место особых точек поверхпостсгй сеьтейства и тахта мотает иметь особые точки.
Рассмотрим сотедукгший пример. найти огибающую семейства сфер постоянно- Х го радиуса Хс. центры которых находятся в точках дашюй кривой Х ') (па рис. 16.5 изображена одна такая сфера с цептром в точке ЛХ кривой Ь), стпретзечяегтой уравнецияыи : Г р(о): у = ст( ), = х(о). Рис. 16.5 Рассматриваемое о;пюпараметрическое семейство сфер определяется следующим уравпевием: [х — р(о)) -Ь [у — О(п))г .т [ — х(сг)] — Ег = О. (16.18) Характеристики укаэацвого семейства сфер определяются иэ уравнения (16.18) п уравнения [ — Р( )[и (сг) -р Ь вЂ” р( ))ут ( ) + [г — Х(ст))Х (о) = О.
(16.19) Уравнение (16.19) представляет собой плогкость, проходящую через центр т)Х сферы, перпев,зикглярцо касателыюй к кривой Ь. Поэтому характеристиками являются окружности, пре,и тавляклцие собой линии пересечения рассматриваемых сфер с плоскостями (16.19) (см. рис. !6.5). Отметим, что естли Ь является окружнсжтью, то огибактшей будет тор. 616 ири:1Оукени»1 ДПФФеренции:1ьнОГО и<'чис<1ения 1л. 16 на общей касательной< к кривым Х 1 и Х 2, а ЛХ< и ЛХ точки пересечения < кривыми Х 1 и Х 2 соответственно перпендикуляра к указаняой касательной, восстановленного в точке М ) (сь<. рис. 16.6). Будем г<»порить, что две кривые Е< Х» и Хг <хмен»»1» в точке ЛХо порядок, соприкосновения ч<» если, <р»йе<ннврет отл»зчнь<»1 о<п»<для предел м .,л<„~балх„~-'-' ' 1При этом )ЛХ<ЛХг! обозначает длину отрезка ЛХ»М<ь а )МЛХо! д.шну отРис.
16.6 1»евка ЛХМо.) 3 ам еч ан и е 1. Гели предел (16.20) равен нулю, то говорят, что кривые Х 1 и Х2 имеют порядок соприкосновения выше п. 3 а м е ч а и и е 2. Е«ли две кривые Х< и Х2 име»от в точке ЛХо порядок соприкосновения вылив любого и, то говорят. что они имеют в этой точке бенк<»нечнь<»1 п<»ряд<»к с<»прин<»сн<»век<»<я. П р и и е р ы. 1'. Ь'.ривыес у<вля<ощиесу< графиками функций у = х и р = Зх, касаются друг друга в начале координат О, , 2,.2 причем их обн<ей касательной служит о< ь Ох. Взяв на осн Ох точку М с абсцисс ой х, мы получим, что (ОЛХ! = (х(, а )ЛХ» ЛХ2! = = (Зхэ — х2! = 2х2. Поскольку 1шз ' ', =1шз —,— 2в10» )ЛХ~ЛХ»( . 2»' и-»о ~ОЛХ,"- и- о ~хр то рассъ<атриваемые кривые имеют в точке О порчдок соприкосновения единица.
2'. Рассмотрим, далее, две кривые Х1 и Х 2, первая из которых совпадает с осью Ох, а другая является графиком функции д с 1 ' при хфО., Д = О при х= О. Убедив<си. что указанные кривые им<ют бесконечный порядок с<н<рнкосновени"1 в начале координат О. Так как общей касательной в точке О служит ось Ох, то. взяв на этой о<и точку ЛХ с абсциссой х, мы получим, что ~ОМ~ = ~х(, а (ЛХ<М2~ = е ) Л Х» ЛХ» ( 3,остаточно доказать, что для любого п предел 1пп М,О 10»1Х~ л' ') При этом предполагается, что если точка ЛХ достаточно близка к Лх, <о перпендикуляр, во<станов»еп»<ь<й< в точке ЛХ к ка<зтельной, пересекает каждук» кривую Х ~ и Х лишь в одной»очке.
617 СОПРИКОСПОВЕПИЕ ПЛОСКИХ КРИВЫХ ,,— «и й 1пгг, )!авен нулю, Полагая ! = 1гг/х). мы св(дом этот х О ~х~"" 1"' предел к пределу 1шг, . Б конце и. 2 8 12 гл, 8 доказано, г — «;ос е« что последний п)!вдел равен нулю. 2. Порядок соприкосновения кривых, являющихся графиками функций. Предположим, что две кривые Аг и 1 « явл«потея графиками фувкпийг у = 11(х) и у = у (х) соответственно. Предп(хчожим, далее. что эти кривьп' каган!тон друг друга в некоторой точке Мв(хв. )1(хо))«причем точка Мв является обыкновенной для каждой гт этих кривых '). Мы докажем, что при этих предпо:гожениях данное в предыдущем пункте опред(ление поря,гка 1 оприкосновения кривых Аг и Ау можно заменить другим эквивалентным определением, более удобным для п)>иложений.
Пусть г.'гзг — произвольное приращение аргумента, в точке хв. а х =:гв + Ьхз Будем нгворить«что нрггвг«ге. Ь~ и Ьй имеют, в пнгчле Мв(хв,дг(хо)) порядок соггрнкосновенплн п«если сугг(ествует, отличив!В' от мулл предел 1уг( г«+'1 ) — У( еэ-Х )~ 1 ~Ь(х) — 1(х)~ (1б2ц с«х — «О т, -«хо !х — хс!" ' ' Для того чтобы можно было говорить о порядке соприкосновения рассматриваемых кривых Аг и Аз в смысле определени«1, данного в преды,пущем пункте.
нужно прежде всего доказать, что в некоторой окрестности Мв эти кривые одьягзначно проеци1гукт«ня на свою об!дую каса!с !внук«, Эгсгьг) по« нингена щ»!водяная ниже лемма 1. Остальная часть настоягцего пункта посвящена доказателгп тву егце двух лемм, из которых непосредственно вытекает эквивалентность двух определений порядка соприкосновения кривых 1.! и Лв. Лемма 1. Если то «ка «11««(хо, Пха)) лелле«пся обикковенкой точкой кривой Ь, слуга:а««гсй графиком функции у = 1(г«).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
