В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 126
Текст из файла (страница 126)
В дальнейшем пам понадобится уся?овне кисання двух кривых Х? и Хз. Пусть кривая Х ! определяется уравнением (16,1), а кривая Хв — уравнением (16.2) и ЛХо(хо., уо) общая точка этих кри?зых (ири этом координаты хо и уо отвечают значению с» = !то параметра о). Будем считать, что гочка ЛХо является обынновенн?»!1 точкой кривых Х ! и Хз и эти кривые ниса?отел в точке Мо. Тогда эти кривые пренс !валяют собой в окрестности ЛХо графики дифференцируемых функций. Ради определенности бу !ем считать, что Х? и Хв Явлаи»тса гРафиками фУпкЦий У = Х?(х) и у = Хз(х).
Так как по условию кривые Х? и Х»» касаются в точке Мо(хо, уо), то угловые коэффициенты касательных в Мо к графикам функций Х~(х) и Хз(х) равны, т. е. огиьлющля и дискриминлнтззля кривля 609 й'(ао) Рь(ЛХо) условие (16.9), либо узшовие ", =- — ',, т. е. равенство угр'(оо) Н( зто) ' ловых козффициентов касательных в общей точке ЛХо кривых А1 и Ья. Это и означает, что кривые Хз и Ье касаюзся в Мо. Заметим, что условие касания выполняется также и в случае, когда точка Мо является особой точкой по крайней мере одной из кривых Ь1 и Ьа.
Итак, условие касания (16.10) вьппшнястся как в случае, когда кривые Хз и Ха касаются в точке ЛХе, так и в <шучае, козла ЛХо является псовой то ппзйз по к)зайней ме)>с одпозз из ятях кривых. 2. Однопараметрические семейства плоских кривых. Характеристические точки кривых семейства. В различных геометрических и физи веских зада.гах часто встречаются семейс пза плоских кривых. В геометрической оптике рассклазриваются отраженные и преломленные пучки (семейства) лучей, в механике — семейства возможных траекторий материальной застицы в данном поле сил, в геометрии — — семейства касательных к кривым линиям. Один из возможных способов задания такого рода семейства линий заключается в следующем.
1'ассматривается функция Е(в, у., а) трех переменных х, й, а и для каждш о значения параметра о из данного множества (о) ) определяег1з ся кривая семейства прп помощи уравнения (16.12) Р(.т„у,о) = О. Л)ы будем пзворитть зто соснношение (16.12) определяет одногзарозитзрззнетое селзсйстио плсжкваз нрнаыа Параметр о будем на:зывать параметром сезлейства. рассмотрим примеры однопарамстрических се- Ц мейств плоских кривых.
1'. Уравнение 9 — (.г— — о)е = О определяет семейсзво парабол. получаемьзх сдвигом по оси Ои параболы 9 —;га = О (рпс. 16.1). 2'. Уравнение (9 — о)а — (к — а)з =- О опреРис. 16.1 де.,15пет семейство поавкубических парабол, полученных параллельным сдвигом вд1зль биссекгрисы первого координатного угла полукубической параболы дз = ва (рис. 16.2). *) Обьзчно множество (а) аредснсвннет собой некоторый интервал. 206 В.Л.
Ильнп. Э.Г. Поьнвк, часть 1 610 ??1'илОжеи??Я ДНФФере?!Цийг?ьнОГО исчии, ?ениЯ Гл. ?6 функция Г(х, у., о) является дифференцируемой в облсп:ти ее за??сани?!. В этом сз?уч??е х?охкно ввести понятие лгнраътерпсгпнческой точхп кривой семейства, определяемого соотношением (16.12). Точка ЛХ(х, у) называется сгауактпернспгнчесхо?1 точ; кой кривоГ? семейства (16.12), отвечающей даяному значению сс параметра ссмгйства, если координаты х и у этой гочки удовлетворяют системе уравне- ний Пусть фу нкц??с;Й Р(х, у, ы) =- О.
(16.13) Х', (х, у. ст) = О. х=— 4 9 Рассмсприм геометрическую интерпретацию характеристической точки кривой сеРис. ?6.2 мейс гва (16. 12) . Для простоты ограничимс:я сыучаех?, когда любые две кривые семей!:тва пересекаются '). Пусть Ха и Ло гао - две кривые семейства (16.12), отвечающие значениям параметра гс и о + слсх (рис. 16.3), Координаты точки Х их пересечения удовлетворя?от следующей системс уравнений: М г' (х, у, сс) = О, Р(сг„у, о + ?лст) = О или равносильной системе Г(х,у,сс) =О, Р(х, у, сс т сло) — Хс(х, и. о) = О. ?о сто Если Хасс — + О, то гочка Л?, рашюложепяая на кривой г"(х.,у,сг) = О, Рис. ?6.3 стремится, ??ообще говоря, к некоторой точке ЛХ на этой кривой.
Так как Р(х, Го о -?- Ло) — Гбс, У. о) 1!ш ' — го(х, уссх), то кое))ди?ваты точНо — гв схо ки ЛХ удовлетворяют уравнениям (16.13), и поэтому то'?ка ЛХ является характерпсти ?вской точкой кривой семейп:тва. Итак, характеристическая точка данной кривой это та гочка, кото- ) Существуют такие семейства кривых. любые две кривые которых не пересекаюсся. Примером сакого семейспю может служить семейство парабол. определяемых уравнением у — (х — о)в =- О.
ОГНВЛ!ОЩАЯ и Дискриъп!нлнтнАЯ кРНВЛ51 611 рая служит пределом при тат) — ) О то тек пересечения данной кривой Е„тт близкой к ней кривой В, т ъь. 3. Огибающая и дискриминантная кривая однопараметрического семейства плоских кривых. Пусть однопарамтзтри некое <тгмейство плоски~ кривых Оззределяеп;я соогнопюнием (16.12). При атом мы будем с титать, по функция г (х! у, н) является дифференцируемой в области ее задания. Введем понятие т>гибвн>тцеб семейства кртзых (16.12).
Огибт>оъцей т>днт>тзт)1хзметпртзчесь>огт> тзелзействв. к1>т>вых (16.12) т>тззытзатзттзтзг, ку>т>«ая О! )и>тор«я 1) «каэ>сдоа свт>етУ тпочъ)е ка; тзтзтзтпся только одной криво« семейства (16.12)! 2) в ртъзньт>т> тиочъпх ктзсогттзся, разлачньтт, ъривых указанного селлтийствв,. Наглядные геометрические соображения наводят на мысть о тоъл! что огибающая касается криззых семейства тз характеристн теских точках зтих кривых и почтому при определенных условиях может рассматриваться как геометрическое место характеристических точек кривых Р сеълейства.
В самом деле, пусть М вЂ” точка касания >зт огибающей О и кривой Ьтз семейства, отвечающетт значению о параметра семей- Ц, ства !рис. 16.4), Р— точка касания огибаклцей О и кривой Т, т ъв семейство, отве- Рис. 16А чающей значению Г)+Ьо параметра. и Лт точка пересечения кривых ! и зт Ььеаь. Натлядно ясно, что при гъо — ) О точки В и >зт стремятся к точке >ьХ, т.
е. огибающая О касается критзой А„зтътетзно в характернсги тетин)й точке М атой кривой. Будем называп, дискрт>ллинвнтнт>б ъртитй сеътейства кривых (16.12) геометриче! кое место характеристических то тт'к кривых этОГО ссмейстюз. Выясним, тц)и каких у!'Нлзиях дискриминантная кривая является огибающей. Предварительно докажем тледующую лемму. Лемма. П>гсть МО1хть уо) — харак п)еристическал, тпочъп селзействп Е'Гх, у,о) = О, отве'илюгцая, з~ачетиот> оо тзт)1х>метра семейства.
Пуст>и далее. д>ункцт>т>, г)х! у, н) «, ~Г,,(к.у. н) дтз!>))ч !ртзретзцирусмы, в иск«торт>б т>крест))!>стпт>, тпвчка (хо!уо!Оо) и "таст)!не т)ртилзводные этих !рункцтз)1 по х и у неттрерыв)гы в салзой тпо гке (хо>уо,ов). Тогда, если, в пи>чке !хо!уо, Гъо) якобтлин Т)1Р, г;,') оп)лт!'>ен отп нрлл, тпо дтю)1>ттмтзнвнтпн«Я к1>т>вагь Т)1х, у) хт>дяи!ая через Мо. в некопи>рой т>крег)пи!)тзттзтз этной точкт>, моэюет бьипь видана параметрическими уратзтзетттзямтз;г = зр(т)) и го-'' ! 612 гн иложгисия дие онгьнцилльного ио сиса снния гл. пз у = ус(сх), где ср(сс) и, ф(сс) дсл<Яерессцсзрусслсьссс в некоторой окрестности, оо фусскцсссс. Д о к а з а т с л ь с т в о. Так как точка Мо(хо,уо) является характерпстп сеской точкой кривой семегютва, отвечающей значению оо параметра семейства, то Р(сссо,усьос) = О и ~Р,(хсь уо,оо) = О.
и поэтому, в силу условий леммы, система уравнений (16.13)., опредслякпцая характеристические точки кривых семейства, удовлеснюряет всем требованиям теоремы 15.2 о разрешимости системы уравнений относительно х и у. Следовательно, в некоторой окрестности точки оо опредс'лены две функции (16.14) х = ср(о), у = уз(о), являюсцисся единственсп см, непрерывным и дифференцируомым репсением системы (16.13). Кривая, определяемая параметрическими уравнениями (16.14), состоит пз характеристических точек и является поэтому дискриминантной кривой семейства, сз1юходссщей через точку Лссс.
Отметим, что в силу единственности решения системы (16.13), различные то ски дискриминантной кривой, которая определяется параметрическими уравнениями (16.14), являются характеристическими точками различных кривых семейства (16.12), Укажем теперь дополнительные условия. при выполнении которых дпскриминантпая кривая, проходящая через точку Лсссь в некоторой окрестности этой точки предстизляет собой ссгпбткещую. Теорема 16.1. Пусть кроме условий, ссрсзрмулисрссвоннысх в лемме., ссысссзлпяпзтся, следунссссссе условия: 1) в некоторой сскрестнссстсс, спочкп (хо, уо, оо) пронгводньсг Р„', Р'„', Р,",х. Р,",„сз Р'„'!и нессрерлссзссы; 2) в точке (хо, уо.,ссо) вьтолнякстся, свотно- иленссЯ Г„" + ~Рг ф О. ~Г,'в У'.
-О. Тогда дсзск1сссмссссглссспссол, кусссзил, ссрсссхссдясс1оя "серег сссл1саксперссс:тсз сеск;унс точку Мо(сссь уо), явля; евсея, в нсскссссзссрссс1 сзкрсзссслнсзсспсс, асс!си, спички огпбвюслеяз рсзсссзмсзтршсвемвго ссмепствв крпвыт,. Д о к а:з а т с л ь с т в о. Х1ы уже убедились, что некоторый участок дискриминантной крисзсзйс, прохсздящей через точку Л4о, при ссфорасуссирсзванных условиях может быть задан параметрическиъси уравнениями (16.14), которые представляют собой решение системы (16.13). Подс:тавим зто решение в уравнения (16.13) и сз1зсздифферснцируояс по о полу сенные тождества Р(сс, у., о) = О и У",', (х, у, ст) = О. Получим (16.15) вх д „ьд,С, Огиьйэсэщкя н днпкэ'нмннйн'гнетя кривая 613 Так как ~Г, = О, то первое соотношение (16.15) примет внд 'г гэо 'Э э1сэ Мьэ видим.
что в каждой точке рассматриваехнэй дискриминантной кривой выполняется условие касания (16.11) этой кривой и соопэетствующей кривой семейства. Поатгэмэу, в силу замечания 2 из и. 1, для завершения доказательства теоремы дошаточно устаповитэ, что каждая характеристическая точка кривой семейства, Расположшппаа в некотоРой 1экРестности точки Мо, и каждая точка дискрнхшнантной кривой в втой окрестности являются обыкновенными. По ус:пспэию теоремы в точке (шо, йо, оо) э'э выполняегся соотношение г" .+ Р'- ф О, которое, в силу непрерывности частных прои.эводных г, и г,„', будет выполнено и в некоторой окрестнси:ти указанной точки.
Оледовагельпо, в втой окрестности все характеристические точки кривых семейства являются обыкновенными. Из гоотнсппения У",," ф 0 (справедливого. в сэшу непрерывности атой прои:эводной, в некоторой окрестности точки (.гв,ув,оо)) и из второго тсэждества (16.15) ни 67/ вытекает, что в указанной окрестности производные — и — не эгст гэсг обращаю гся о,эновременно в нуль ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
