В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 125
Текст из файла (страница 125)
При и = 3 неравенство Адамара (15.66) допускает простую геометрическую интерпретаци|о. В этом| случае !Ь/ представляе| собой об ьем параллелепипеда, построепного па отрезках ОА|, Г)Ая и ОАа. соединяющих начало координат О с т|хчками А|(г|,д|,з1), Аз(лг, дя, Яв), Аа(ла, да.,з|!). НеРавенство (15.66) утверждает. что из всех параллелешпп|дов, имеющих ребра дашюй длины, наибольший объем имеет пряхлоугольпый паралле;~|Пивал. ') Жак Адамар — французский математик (1866 — 1963). 6ОЗ ДОПОЛНЕ11ИЕ ДОПОЛНЕНИЕ ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ряле вопросов анализа и других разделов математики встречается задача о заявив переменных.
Эта задача зак,почается в следую?нем. Прод- положим, .гго нам задано некоторое выражение (х '-2$ ) (15.67) соцержшцее нозависимые переменные х, д, функцию ? = (хл д) и ее частные производные. Вместо независимых переменных х и д и функции = = = ~(х, д) вводятся новые независимые переменные и и и и новая функции ш = ш(и, и). причом заданы соотношеяия, посредством которых и.
и и и выражаются через:?, д и ?: и = э»(?,д,?), и = 1э(х,д,х), ' = Х(лад,х) 115,68) 'Гребуется преобразовать выражение (15.67) к новым переменным и,, и и ш. При этом мы бучам предполагать, что функции (15.68) достаточное число раз дифференцируемы и что систему (15.68) моисно разрешить относительно х, д и ?, а первые два уравнения (15.68) — относительно х и д. Очевилцо, для решения поставленной задачи цостаточно выразить частд. д" ди: д1? ные производные —, —, ... через и, и, и., —. —, ... Укажем, как:это дх' дд'' ' " ' ' ' ди,' ди' можно сделать.
Имея в виду, что - = ?(х, д). а и = ш( и, и), запишем первые лифференпиалы функций (15.68). Получим д ди: дх дх дх»дх д- й1и = — йи + — 'ш = — дх+ — йд -~- — ) — 6х+ — йд). ди ди дт: дд дх) дх дд 115.71) Полставляя в (15.71) ди и г)и. опрелсляемые формуламн (15.69) и (15.70), и приравнивая коэффициенты при их и йд, получим систему двух уравнений дгу дй д? дх дх дх [ — "+ —,' — ~ = — э-— дх д" д,т д:? д? дх' дьу дх дх дх д? [ — и+ —," — "] = — + — —, дд дх дд дд д? дх' дш ди дш дь дэ др др, др, др Жс =- — Их Э- — дд й — 4 = — дх -с — дд -1- дд д дх дд дд дд ды ди': дш ш = —" г)х -и —, йд -~- — й? = —,' йх+ — ' йд+ дх дд ' д? дх дд др дх д» вЂ” '( — "дх д — дд), д- дх ' дд 115.69) др Гд дх — (= дх -в —, дд), д" дх дд (15.70) ООФ тйр1 Ия Нйу<ВНЫХ Фу<П<ццй И йй Ш И21ОЖ8НИ11 ГЛ.
55 дх дх ззз ко<01<ой .<с< ко возрази!'ь — н —: дх др д«др дш дгу др ди дх до дх дх д:с д<о дзо дш дго дз дзз д" до д дх Ес.<и выра>кение (15.67) зависит также и ог частных произво,зных второго порядка, го для определения этих производных через частнь<е производные и, по и и о глсдует заззисатызервые дифференциалы От уке вычислснных произво <ных первого порядка.
3 а м е ч а н и е 1. Аналогично производится замена и в случае, когда старые переменные связаны с новымн не соотношениями (15.68), а неявными гоатношениями ви,та ) (15. 72) 3 а и е ч а н и е 2. Мы ограничились случаем двух независимых переменных лишь для гокращения записи. Указанный прием применим для случая лзобого числа независимых переменных ги, в частности, для глучая о,<ной независимой переменной). П р и м е р. Пусть,. есть функция переменных:с и д.
Преобразовать выражение ") <15.73) х = и сов г, р = и в1п о. Отметим, что в данном примезнз произво,гится лишь замена независимых переменных. Функция - оствегся прн агом неизменной. Из 115.73) вызекаег.что поэтому нз соотношений дх дх дх дх <)х = — дх -~- — Ир = — <)и Ф вЂ”, <)г дс д1< ' ди до имеем дх . дх . , д дх — (<ов о <1и — ив1пг. <)г) -1- — (в1пс <1<<+ и сов«где) =: Йи+ — <1«. дх др ди до ) Допускакппими, конечно, разрешимость квк относительно и, зз н «<, так и относительно х. р и ) Ука,<аннов выражение называется опера<вором Лапласа. Оно нграот важную роль в матемашке и ее приложениях.
Пьер Симон Лаплас франпузский астроном. математик и физик (1749 — 1827). д«< дзз ди< ды — — + —— д дз. др д. др др дщ дзо дщ дй ди дх до д Фз(зз, <. «з, ах р, х) = О Фз(и. <л ез«х, 1д х) = О. Фзгг<.о, и,х.р,.х) = О. д'х дг х с = хх=:-<- —., дса др« к полярным координатам и н о: <)х = сов«<)и — и<йпг <Од <)р = в)по<)и-~- исоа с<)<5 дз< др дг' д 605 ДОПОЛНННИН Приравнивая коэффициенты ири г1и и де„найдем дв д- .
дг — сов г 4- — яп е = —, дх ду ди дх . дх д— — е,япе 4- — исоа г = —. де ' ду ' ' де' Отсюла (15.74) дв да д( — ) Найдем теперь —. Так квк — = х, го ия первой формулы (15.74) дх: дх дх находим дс дх 1. дг1 1. дс дг 1. дг1 = сов е — ~гов е — — — яв г — ~ — — вш е — ~сов г — — — яп е — ~ . ди! ди и дЛ и де~' ди и де~ После вьггигяений полъ'шм д~, в д х 2 . д"в 1 . а две — = сов е — — — в1пе сове — 4- —, яп е —, + дхг диа и диде иа дев 1,ад 2 де 4- — яп е — + —, яп е сов с —.
и ди ив де Аналогично, иа второй формулы (15.74) нахо:1им в д(:) д( — ) д( — '") =вше 4- — сове ду ду ди дг' двв 2 . д'в 1 а двв = вш е —,, + — япесове — + —, сов и —, ди' и диде и' дга ойраюм, в полярных координатах и и е оператор Лаггпага Л дав — имеег следующий вид: дг7в да 1 д, 1 дв диа и ди, иа дг' Таким д'х д:ге д д — .= сов е —— да; ди дг .
дх — = вше — + ду ди 1. дх — яп е —, де' 1 дв — сов с —. и де 1 в дг -> — сов е —— да 2 . гЭх — — яп е сов с —. и' де НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИт1ЕСКИЕ ПРИЛОхКЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСт1ИСЛЕНИЯ й 1. Огибающая и дискриминантная кривая однопараметрического семейства плоских кривых 1.
Предварительные замечания. Ъ1ы будем задавать плоские кривые либо при помощи параметрических уравнений х = фа)., у = уо(о), где о некоторый параметр, либо ври помощи уравнений вида (16.2) Е(;г, у) = О. В дальнейшем нам понадобятся понятия обыкновенной и особой точек кривой. Пусть кривая Л определяется параметрическими уравнениями (16.1).,причем функции х = х(п) и у = у1(ст) имеют прп гт = оо непрерывные производные.
Точку ЛХо(:го.уо) кривой Х, координаты:го и уо которой соответственно равны ~р(по) и ф(сто), назовем обьтновенной, если ~р (но) + ф' (по) ~ О. (16.3) Если гке при о = но выполняешься соотногпение цо' (гго) + ут (сто) = О; (16.4) то точку ЛХо мы назовем особой точкой кривой Х. Пусть кривая б определяется уравнением (16.2), причем функция г'(.г,,у) дифференцируема в некоторой окрестности точки ЛХо(хо, уо) этой кривой и имеет в указанной точке непрерывныс частные производные по х и у. Точку Мо(хо, уо) назовем 607 огиьйющйя и диокриминйн гния кривая обгякнооенной точкой кривой А, если в этой точке выполняется соотношение 1) (16.5) Бсши же в точке Изз выполняется соотношение (16.6) го эту точку мы назовем особой точкой кривой А. Убедимся, что если точка ЛХо кривой Л лгзллетсл обьисновенной, то о некотгзрой окрестности этой точки крззвля Ь предсгвавллегп, собой либо гра1)зик нсктзторой дзгузузереззцггруежой 1(зункйигл у = 7" (х).
либо грод1ик некопюрой ди1Я~еренцззруемггй функайгзи х = 6(у). В самом деле, пусть кривая Х определяется параметри зескими уравнениями (16.1) и, кроме того, выполнено условие (16.3). Из непрерывности прои сводных ~р (о) и уз (о) при о = оо и иэ условия (16.3) вытекает, что в некоторой окрестности ггв хотя бы одна из этих производных, например За'(гг), не равна нулю.. Тогда функция:г = уз(гг) является дифференцируемой стронз монотонной функцией в отмеченной окрестности. При этих условиях существует дифференцируемая монотонная обратная функция гг = гр '(х).
Подставляя эту функцию в выражение у = ф(гг), мы убедимся, что кривая Л в некоторой окрестности точки Мо представляет собозл график дифференцируемой функции у = = 1(х) = уз[уз 1(х)), Справедливость сформулированного утверждения для гшучая, ког за кривая задается при помощи уравнения (16.2), вытекает из того, что в окрестности обыкновенной точки действует теорема 15.1 о неявных функциях, и поэтому прилегающий к обыкповеннозл точке участок кривой представляет собой график дифференцируемой функции у = )'(х) или функции х = б(у).
3 а м е ч а н и е 1. В геометрии го гку Луо кривой Х налываюз обыкновеннон, охли в неко горой окрестности агой точки кривая й !!родс гавляег собой график некоторой, гяфференцируемой функции, и осогзой, если в любой окрестности агой зочки кривая Е не можег быль представлена в виде графика дифференцнруемой функции. Рйы видели. по гочка кривой Тч являюгцаяся ооыкновенной согласно нашему определению. бу.ге г также обыкновенной с геометрической гочки зрения. Моагно привсгги примеры, ко~да точюз кривой. яв.икнцаяся особой ио нашему онределонию. будет обыкновенной с геоагет1ш ~есной гочки зрения.
Таким образом, на~не определение обыкновенной точки является более узким, чеи геометрическое, но более гсзобным для приложений. Введем теперь понгггие касания кривых Бз и Ь2 в их общей точке Лзв. Будем говорить, что кривые Лз и Аг касагопизл, в их ') Понятия обыкновенной н огобой то юек для кривой (16.2) уже были введены в и. 3 2( 2 гл. 1б, 608 1?!'илО)кения ДНФФегенЦил?1ьнОГО исчис, 1ени11 Гл.
1о Х?(хо) = .Ге(хо) (16.7) Используя формулы дифференцирования функций, заданных параметрически (см. 8 11 гл. 5), и формулы дифференцирования неявных функций (см. и. 2 8 2 гл. 15). получим Х~'(х??) = ' ( ') Д(х?з) = — '(' '). (16.8) !Я(ио) ' Е»0!!и) Формулы (16.8) позвозяют придать равенству (16.7) следующий вид: аУ(оо) Х;„'(ЛХо) з»'0»о) е„'(!Ха) ' (16.9) или ~'.
(ЛХо'4(о??) + Еи(ЛХой(с»о) = 0 (16 10) Псх?леднев соотношение мы будем в дальнейшем называть условием киевння в точке ЛХо кривых Х? и Хо, заданных соответственно уравнениями (16.1) и (16.2). Опуская аргументы функ!у пий и используя обозначения ?р = — и»! = — ', мы запишем г!»» ии у?г?овне» касания в !ле»!ую?цей форме: '' 4 оХо (16.11) 3 а м е ч а н и е 2. Если в общей точке Мо кривых Х? и Х», заданных соответственно уравнениями (16.1) и (16.2), выполнено уш?овне касания (16.10) (или, ч?о го ?ке самое, (16.11)) и ешти при этом точка ЛХо является обыкноветшой точкой кривых Х! и Хз, то кривь?е Х? и Хз касаются в точке Мо. В самом деле, из соотношений (16.3), (16.5) и из у!ловпя (16.10) вытекает либо общей точке ЛХо, е?ши обе кРивые имеют в гочкс Мо касатп!ьные и эти касательные совпадают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
