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¥­¼¨ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ·¥°¥§ «¾¡®¥ ¥£® ¥¤¨­¨·­®¥°¥¡°® ¯°®µ®¤¨² k ª®¤®¢»µ ¯³²¥©. ‘° ¢­¨²¥ ½²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ± ª®¤®¢»¬¨ ¤¥°¥¢¼¿¬¨ (2')(4').¥®¡µ®¤¨¬®¥ ¨ ¤®±² ²®·­®¥ ³±«®¢¨¥ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ¯°¥´¨ª±­®£® ª®¤ (ª®¤®¢®£® ¤¥°¥¢ )± § ¤ ­­»¬ ­ ¡®°®¬ ¤«¨­ ª®¤®¢»µ ±«®¢ (ª®¤®¢»µ ¯³²¥©) 1 L(1) L(2) : : : L(M ) = N¤ ¥²’¥®°¥¬ 1 (¥° ¢¥­±²¢® Š° ´² ) 1) „«¨­» ª®¤®¢»µ ¯³²¥©ª®¤®¢®£® ¤¥°¥¢ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ­¥° ¢¥­±²¢³L(m); m = 1; M , «¾¡®£®MX2;L(m) 1:(6)m=1N2)  ®¡®°®², ¥±«¨ ­¥ª®²®°»© ­ ¡®° ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«1 L(1) L(2) : : : L(M ) =³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ­¥° ¢¥­±²¢³ (6), ²® ±³¹¥±²¢³¥² ª®¤®¢®¥ ¤¥°¥¢® ±.¤«¨­ ¬¨ ª®²®°»µ ¿¢«¿¾²±¿ ·¨±« L(m); m = 1; MMª®¤®¢»¬¨ ¯³²¿¬¨, ±±¬®²°¨¬ ¯°®¨§¢®«¼­»© ª®­¥·­»© ³§¥« ª®¤®¢®£® ¤¥°¥¢ , ¯®¬¥·¥­­»© ±¨¬¢®«®¬ am ; m = 1; M: ’ ª ª ª ¢ ¨±µ®¤­®¬ ¯®«­®¬ ¤¢®¨·­®¬ ¤¥°¥¢¥ ½²®² ³§¥«­ µ®¤¨²±¿ ­ ³°®¢­¥ n = L(m); ²® ¨§ ­¥£®, ±¯³±ª ¿±¼ ¢­¨§ ¯® ¤¥°¥¢³, ¬®¦­® ¯®¯ ±²¼ °®¢­®„®ª § ²¥«¼±²¢®.

1)5¢ 2N ;L(m) ª®­¶¥¢»µ ³§«®¢ (³°®¢­¿ N ) ¯®«­®£® ¤¢®¨·­®£® ¤¥°¥¢ . ‚ ±¨«³ ±¢®©±²¢ ¯°¥´¨ª±­®±²¨, ¬­®¦¥±²¢ ² ª¨µ ª®­¶¥¢»µ ³§«®¢, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ° §«¨·­»¬ §­ ·¥­¨¿¬ m = 1; M­¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿. Ž²±¾¤ , ³·¨²»¢ ¿ ·²® ®¡¹¥¥ ·¨±«® ª®­¶¥¢»µ ³§«®¢ ¯®«­®£® ¤¢®¨·­®£®¤¥°¥¢ ° ¢­® 2N , ¯®«³· ¥¬MX2N ;L(m) 2N ;m=1·²® ° ¢­®±¨«¼­® (6). “²¢¥°¦¤¥­¨¥ 1) ¤®ª § ­®.2) ® ¨­¤³ª¶¨¨. ³±²¼ 1 L(1) L(2) : : : L(m) L(m + 1) : : : L(M ) =N; £¤¥ 1 m < M; ¨ ¢ ¯®«­®¬ ¤¢®¨·­®¬ ¤¥°¥¢¥ ³¦¥ ¯®±²°®¥­» ª®¤®¢»¥ ¯³²¨ ± ¤«¨­ ¬¨L(i); i = 1; m; ª®­¥·­»¥ ª®¤®¢»¥ ³§«» ª®²®°»µ ¯®¬¥·¥­» ½«¥¬¥­² ¬¨ ai ; i = 1; m; ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ˆ§ ­¥° ¢¥­±²¢ (6) ±«¥¤³¥², ·²®mX2;L(i) < 1:i=1®½²®¬³ ¢±¥£¤ ­ ©¤¥²±¿ ³§¥« ¯®«­®£® ¤¢®¨·­®£® ¤¥°¥¢ «¾¡®£® ³°®¢­¿ n; L(m) n N;ª®²®°»© ¯°¨ n = L(m +1) ¬®¦­® ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¢ ª ·¥±²¢¥ ª®­¥·­®£® ª®¤®¢®£® ³§« ­ ³°®¢­¥L(m + 1) ¨ ¯®¬¥²¨²¼ ±¨¬¢®«®¬ am+1 : “²¢¥°¦¤¥­¨¥ 2) ¤®ª § ­®.’¥®°¥¬ 1 ¤®ª § ­ .‡ ¤ · 7.4.

°®¢¥°¼²¥, ·²® ¤«¿ ª®¤®¢®£® ¤¥°¥¢ (2') ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥ Š° ´² ¤®±²¨£ ¥²±¿ ° ¢¥­±²¢®, ¤«¿ ª®¤®¢®£® ¤¥°¥¢ (4') ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥ Š° ´² | ±²°®£®¥ ­¥° ¢¥­±²¢®.Ž¡º¿±­¨²¥ ¯®·¥¬³?7.3’¥®°¥¬» ª®¤¨°®¢ ­¨¿ ¤«¿ ¯°¥´¨ª±­»µ ª®¤®¢.Ž²¬¥²¨¬ ¢ ¦­®¥ ¤«¿ ¯°¨«®¦¥­¨© ±¢®©±²¢® ¯°¥´¨ª±­»µ ª®¤®¢, ª®²®°»¥ ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ¯°¨ª®¤¨°®¢ ­¨¨ ±®®¡¹¥­¨©, ¯®¤«¥¦ ¹¨µ ¯¥°¥¤ ·¥ ¯® ª ­ «³ ±¢¿§¨.

³¤¥¬ ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼¬­®¦¥±²¢® A = fa1; a2; : : :; aM g ª ª ª®­¥·­»© «´ ¢¨² ¨§ M ±¨¬¢®«®¢. ˆ§ ±¨¬¢®«®¢ A ±®±² ¢«¥­® ±®®¡¹¥­¨¥a = (ai1 ; ai2 ; : : :; ain ; : : :); ain 2 A;ª®²®°®¥ ­¥®¡µ®¤¨¬® ¯¥°¥¤ ¢ ²¼ ¯® ¤¢®¨·­®¬³ ª ­ «³ ¡¥§ ¸³¬ .  ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ ±®®¡¹¥­¨¥a § ¯¨± ­® ¢ °³±±ª®¬ «´ ¢¨²¥, ²® ¢ ¥£® M ±¨¬¢®«®¢ ¢µ®¤¿² 32 ¡³ª¢», §­ ª¨ ¯°¥¯¨­ ­¨¿,±¨¬¢®« ¯°®¯³±ª ¬¥¦¤³ ±«®¢ ¬¨ ¨ ².¯. ‡ ¬¥­¨¬ ¡³ª¢» ±®®¡¹¥­¨¿ a ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬¨ª®¤®¢»¬¨ ±«®¢ ¬¨ ¯°¥´¨ª±­®£® ª®¤ ¨ ·¥°¥§ x(a) ®¡®§­ ·¨¬ ¯®«³·¨¢¸³¾±¿ ¤¢®¨·­³¾ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼a ) x(a) = (x(ai1 ); x(ai2 ); : : :; x(ain ); : : :):„ «¥¥ x(a) ¯¥°¥¤ ¥²±¿ ¯® ¤¢®¨·­®¬³ ª ­ «³ ¡¥§ ¸³¬ , ­ ¢»µ®¤¥ ª®²®°®£® ¯°¨¥¬­¨ª ¯® ­¥¨±ª ¦¥­­®© ¤¢®¨·­®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ x(a) ¤®«¦¥­ ¢®±±² ­®¢¨²¼ ¯¥°¥¤ ­­®¥ ±®®¡¹¥­¨¥x(a)) a = (ai1 ; ai2 ; : : :; aik ; : : :)Ž·¥¢¨¤­® ±«¥¤³¾¹¥¥ ¢ ¦­®¥;‘¢®©±²¢® ¯°¥´¨ª±­®£® ª®¤ .

…±«¨ ¨§¢¥±²­® ­ · «® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ x(a) ²® ¢±¨«³ ±¢®©±²¢ ¯°¥´¨ª±­®±²¨ ª®¤ , ¯°¨ ·²¥­¨¨ x(a) ±«¥¢ ­ ¯° ¢® ®¤­®§­ ·­® ¢®±±² ­ ¢«¨¢ ¥²±¿ ¨±µ®¤­®¥ ±®®¡¹¥­¨¥ a.X6£¤¥³±²¼ ­ ¬­®¦¥±²¢¥ A = fa1 ; a2; : : :; aM g § ¤ ­® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢¥°®¿²­®±²¥© p = (p1 ; p2; : : :; pM ),pm = IPrfam g; 0 < pm < 1;MXm=1pm = 1:‚ § ¤ ·¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®£® ¯®¨±ª ·¨±«® pm ¨­²¥°¯°¥²¨°³¥²±¿ ª ª ¢¥°®¿²­®±²¼ ¤ ­­®¬³½«¥¬¥­²³ am ; m = 1; M , ¡»²¼ ¤¥´¥ª²­»¬ (§­ ·¨¬»¬).

‚ § ¤ ·¥ ª®¤¨°®¢ ­¨¿ ±®®¡¹¥­¨©·¨±«® pm ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ¢¥°®¿²­®±²¼ (· ±²®²³) ¯®¿¢«¥­¨¿ ¡³ª¢» am ; m = 1; M;¢ ¯¨±¼¬¥­­®¬ ²¥ª±²¥. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¢ ¦­»¬ ª°¨²¥°¨¥¬ ¯°¥´¨ª±­®£® ª®¤ X ¿¢«¿¥²±¿ ¥£®±°¥¤­¿¿ ¤«¨­ MXL = L(m)pm;(7)m=1£¤¥ L(m) = l(x(am)) | ¤«¨­ (·¨±«® ¤¢®¨·­®»µ ±¨¬¢®«®¢) ±«®¢ x(am).³±²¼MXH (p) = ; pm log pmm=1(8)½­²°®¯¨¿ ˜¥­­®­ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢¥°®¿²­®±²¥© p, £¤¥ ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ (7) ¨ ¤ «¥¥ ¢ ½²®¬ ° §¤¥«¥ ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ¤¢®¨·­»¥ «®£ °¨´¬» ¨ ½ª±¯®­¥­²».

ˆ¬¥¥² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥,­ §»¢ ¥¬®¥ ²¥®°¥¬®© ª®¤¨°®¢ ­¨¿ ¤«¿ ¯°¥´¨ª±­»µ ª®¤®¢.A’¥®°¥¬ 2 ³±²¼ ­ ¬­®¦¥±²¢¥§ ¤ ­® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢¥°®¿²­®±²¥© p. ’®£¤ ±¯° ¢¥¤«¨¢» ±«¥¤³¾¹¨¥ ¤¢ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿, ­ §»¢ ¥¬»¥ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ®¡° ²­®© ¨ ¯°¿¬®© ²¥®°¥¬ ¬¨ ˜¥­­®­ ¤«¿ ¯°¥´¨ª±­»µ ª®¤®¢. 1) „«¿ «¾¡®£® ¯°¥´¨ª±­®£® ª®¤ ±°¥¤­¿¿ ¤«¨­ L H (p):(9)2) ‘³¹¥±²¢³¥² ¯°¥´¨ª±­»© ª®¤ ±® ±°¥¤­¥© ¤«¨­®©L H (p) + 1:(10)…±«¨ Lm ; m = 1; M | ¤«¨­» ±«®¢ ¯°®¨§¢®«¼­®£® ´¨ª±¨°®¢ ­­®£®¯°¥´¨ª±­®£® ª®¤ , ²® ¢ ±¨«³ ­¥° ¢¥­±²¢ Š° ´² (6), ·¨±«®„®ª § ²¥«¼±²¢®.

1)Q=MX2;L(m) 1:(11)m=1‚¢¥¤¥¬ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢¥°®¿²­®±²¥© q = (q1 ; q2; : : :; qM ); £¤¥qm = 2;L(m)=Q; m = 1; M:(12)°¨¬¥­¿¿ ¤®ª § ­­®¥ ¢ x5 ±¢®©±²¢® «¾¡»µ ¤¢³µ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨© ¢¥°®¿²­®±²¥© p ¨ q, § ²¥¬®¯°¥¤¥«¥­¨¥ (8), ¨¬¥¥¬H (p) ;MXm=1pm log qm = ;7MX;L(m)pm log 2 Qm=1==MXm=1L(m)pm + log Q = L + log Q L£¤¥ ¢®±¯®«¼§®¢ «¨±¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ (7) ¨ ­¥° ¢¥­±²¢®¬ (11). “²¢¥°¦¤¥­¨¥ 1), ².¥. ­¥° ¢¥­±²¢®(9), ¤®ª § ­®.2) „«¿ § ¤ ­­®£® p = (p1; p2; : : :; pM ) ®¯°¥¤¥«¨¬ ·¨±« L(m); m = 1; M , ±«¥¤³¾¹¨¬®¡° §®¬L(m) = d; log pm e = dlog 1=pme:(13)ˆ¬¥¥¬; log pm L(m) ; log pm + 1(14)ˆ§ «¥¢®© · ±²¨ (14) ±«¥¤³¥² 2;L(m) pm ; m = 1; M: ®½²®¬³ ¤«¿ ­ ¡®° ·¨±¥« (13)¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢®MMXX;L(m)2 pm = 1:m=1m=1‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 1, ½²® ®§­ · ¥² ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¯°¥´¨ª±­®£® ª®¤ , ¤«¨­» ±«®¢ ª®²®°®£®®¯°¥¤¥«¥­» (13).

‚ ±¨«³ ¯° ¢®© · ±²¨ (14), ¤«¿ ±°¥¤­¥© ¤«¨­» ² ª®£® ¯°¥´¨ª±­®£® ª®¤ ¨¬¥¥¬MMXXL = pm L(m) pm (; log pm + 1) = H (p) + 1:m=1m=1“²¢¥°¦¤¥­¨¥ 2), ².¥. ­¥° ¢¥­±²¢® (10) ¤®ª § ­®. ’¥®°¥¬ 2 ¤®ª § ­ . ±±¬®²°¨¬ ¢ ¦­»© · ±²­»© ±«³· © ¯°¥´¨ª±­»µ ª®¤®¢, ®¡« ¤ ¾¹¨µ ±¢®©±²¢®¬ «¥ª±¨ª®£° ´¨·¥±ª®© ³¯®°¿¤®·¥­­®±²¨. ²® ±¢®©±²¢® ®§­ · ¥² ±«¥¤³¾¹¥¥. Š®¤®¢®¬³ ±«®¢³x(am) = (x1(am); x2(am); : : :; xL(m)(am )); m = 1; M;¯°¥´¨ª±­®£® ª®¤ ±®¯®±² ¢¨¬ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®¥ ·¨±«®q(m) =LX(m)n=1xn(am)2;n ; 0 q(m) < 1;¤¢®¨·­®¥ ° §«®¦¥­¨¥ ª®²®°®£® § ¤ ¥²±¿ ª®¤®¢»¬ ±«®¢®¬ x(am ):Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. °¥´¨ª±­»© ª®¤ X ­ §»¢ ¥²±¿ «´ ¢¨²­»¬, ¥±«¨ ¯°¨ m0 < m ·¨±«®q (m0) < q (m):Ž·¥¢¨¤­® ±«¥¤³¾¹¥¥ ¢ ¦­®¥‘¢®©±²¢® «´ ¢¨²­®£® ª®¤ .

‚ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¬ ¯« ­¥ ¯®¨±ª ®¤­®£® ¤¥´¥ª²­®£®½«¥¬¥­² , ª®²®°»© ¯°®¢®¤¨²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± «´ ¢¨²­»¬ ª®¤®¬, ¬­®¦¥±²¢® Tn ; n =1; N , ½«¥¬¥­²®¢, ²¥±²¨°³¥¬»µ ¢ n-®© £°³¯¯®¢®© ¯°®¢¥°ª¥, ®¡¿§ ²¥«¼­® ±®±²®¨² ¨§ ±®±¥¤­¨µ½«¥¬¥­²®¢ ¬­®¦¥±²¢ A.°¨¬¥°. €«´ ¢¨²­»© ª®¤ ¯°¨ M = 6 ¤«¨­» 4.8a1 a2 a3 a4 a5 a60 0 1 1 1 1X= 0 1 0 0 0 1 :; ; 0 1 1 ;; 0 1 ;Ž²¬¥²¨¬, ·²® ª®¤ (4) ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ «´ ¢¨²­»¬, ª®¤ (2) ±² ­®¢¨²±¿ «´ ¢¨²­»¬ ¯³²¥¬§ ¬¥­» ¥£® ­³«¥¢»µ ½«¥¬¥­²®¢ ­ ¥¤¨­¨·­»¥ ¨ ­ ®¡®°®².ˆ¬¥¥² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ «´ ¢¨²­»µ ª®¤®¢.’¥®°¥¬ 3 „«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®£® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢¥°®¿²­®±²¥© p ±³¹¥±²¢³¥² «´ ¢¨²­»© ª®¤ ±® ±°¥¤­¥© ¤«¨­®©£¤¥L H (p) + 2;H (p) | ½­²°®¯¨¿ (8).(15)„«¿ § ¤ ­­®£® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢¥°®¿²­®±²¥©±²°®¨¬ ¬®­®²®­­® ¢®§° ±² ¾¹³¾ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ·¨±¥«8< p1 =2; ¥±«¨ m = 1;q (m) = : mP;1 p + 1 p ; ¥±«¨ m = 2; M:i 2 m„®ª § ²¥«¼±²¢®.‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¯°¨ m0 < m ° §­®±²¼p= (p1; p2; : : :; pM ) ¯®-i=1q(m) ; q (m0) = 21 pm +X0 ¯®²®¬³ ¤«¿ «¾¡®£® m0 6= m §­ ·¥­¨¥m <i<m0pi + 12 pm;nojq(m) ; q(m0)j > max p2m ; p2m :‚¢¥¤¥¬ ·¨±« L(m) = d; log pm e + 1; ¤«¿ ª®²®°»µ ±¯° ¢¥¤«¨¢» ­¥° ¢¥­±²¢ 1 ; log pm L(m) ; log pm + 2:0(16)(17)ˆ§ «¥¢®£® ­¥° ¢¥­±²¢ (17) ±«¥¤³¥², ·²®2;L(m) 2log pm ;1 = 21 pm ; m = 1; M:(18)®±²°®¨¬ ²¥¯¥°¼ ª®¤ X = (x(a1); x(a2); : : :; x(aM )); ¢»¡¨° ¿ ¢ ª ·¥±²¢¥ ª®¤®¢®£® ±«®¢ am ); m = 1; M; ¯¥°¢»¥ L(m) = d; log pm e + 1 §­ ª®¢ ¢ ¤¢®¨·­®¬ ° §«®¦¥­¨¨ ·¨±« q (m).’ ª®© ª®¤, ¢ ±¨«³ ¬®­®²®­­®±²¨ q (m); m = 1; M; ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢®¬ «¥ª±¨ª®£° ´¨·¥±ª®©x(³¯®°¿¤®·¥­­®±²¨.„®ª ¦¥¬ (®² ¯°®²¨¢­®£®), ·²® X ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢®¬ ¯°¥´¨ª±­®±²¨.

³±²¼ x(am) ¨x(am ) ² ª¨¥, ·²® L(m0) L(m) ¨ x(am ) ¿¢«¿¥²±¿ ­ · «®¬ x(am ). ® ¯®±²°®¥­¨¾ ª®¤®¢»µ±«®¢ x(am ); m = 1; M; ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ®·¥¢¨¤­®, ·²®jq(m) ; q(m0)j < 2;L(m ) 12 pm ;00009£¤¥ ¢²®°®¥ ­¥° ¢¥­±²¢® ¢»²¥ª ¥² ¨§ (18). ®±«¥¤­¥¥ ­¥° ¢¥­±²¢® ¯°®²¨¢®°¥·¨² (16).„«¿ ±°¥¤­¥© ¤«¨­» ¯®±²°®¥­­®£® «´ ¢¨²­®£® ª®¤ X , ¢ ±¨«³ ¯° ¢®© · ±²¨ (17), ¨¬¥¥¬L=MXm=1L(m)pm MXm=1pm (; log pm + 2) = H (p) + 2;².¥. ­¥° ¢¥­±²¢® (15).’¥®°¥¬ 3 ¤®ª § ­ .7.4®±«¥¤®¢ ²¥«¼­»© ¯®¨±ª ­¥±ª®«¼ª¨µ ¤¥´¥ª²®¢. ) ƒ¨¯¥°£¥®¬¥²°¨·¥±ª ¿ ¬®¤¥«¼. ±±¬®²°¨¬ ¤¢¥ ±¨²³ ¶¨¨ ² ª®£® ¯®¨±ª . 1) ˆ§¢¥±²¥­ ®¡º¥¬ ¤¥´¥ª²­®£® ¬­®¦¥±²¢ S =fai1 ; ai2 ; : : :; aim g A; ².¥. ¨§¢¥±²­® ·¨±«® m; 1 < m < M: 2) „«¿ § ¤ ­­®£® ·¨±« m; 1 <m < M ¨§¢¥±²­®, ·²® ·¨±«® ¤¥´¥ª²­»µ ½«¥¬¥­²®¢ jS j m:‡ ¤ · 7.5.¯°®¢¥°®ª )„®ª ¦¨²¥, ·²® ¤«¿ ¬®¤¥«¨ 1) ­¥®¡µ®¤¨¬®¥ ·¨±«® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­»µN log CMm ; ¤«¿ ¬®¤¥«¨ 2) ­¥®¡µ®¤¨¬®¥ ·¨±«® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­»µ ¯°®¢¥°®ªmXN log CMi :i=0„«¿ ¬®¤¥«¥© 1) ¨ 2) ¯®±²°®©²¥ ±²° ²¥£¨¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®£® ¯®¨±ª , ª®²®°»¥ ­ µ®¤¿²¤¥´¥ª²­®¥ ¬­®¦¥±²¢® S § N m log M = jS j log M ¯°®¢¥°®ª.¡)¡) ¨­®¬¨ «¼­ ¿ ¬®¤¥«¼.³±²¼ ·¨±«® ½«¥¬¥­²®¢ ¤¥´¥ª²­®£® ¬­®¦¥±²¢ jS j ¨¬¥¥² ¡¨­®¬¨ «¼­®¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥,².¥.m pm q M ;m ; 0 m M;PrfjS j = mg = CM£¤¥ 0 < p < q < 1; p + q = 1; | ´¨ª±¨°®¢ ­­»¥ ·¨±« .

²® ®§­ · ¥², ·²® ª ¦¤»© ½«¥¬¥­²¬­®¦¥±²¢ A = fa1 ; a2; : : :; aM g ¿¢«¿¥²±¿ ­¥§ ¢¨±¨¬® ®² ¤°³£¨µ ¤¥´¥ª²­»¬ ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾p ¨ | ­¥¤¥´¥ª²­»¬ ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ q = 1 ; p. ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ ­¥ª®²®°®¥ ·¨±«® k = 1; 2; : : : ¨° ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹¨©®±«¥¤®¢ ²¥«¼­»© ¯« ­ ¯®¨±ª .

 §¡¨¢ ¥¬ ¢±¥ ¬­®¦¥±²¢® A = fa1 ; a2; : : :; aM g ­ M=k £°³¯¯, £¤¥ ¢ ª ¦¤®© £°³¯¯¥ ¯® k ½«¥¬¥­²®¢. „¥« ¥¬ £°³¯¯®¢»¥ ²¥±²¨°®¢ ­¨¿ ¢±¥µ£°³¯¯ ¯®®·¥°¥¤­®, ².¥. T1 = fa1; : : : ; ak g; T2 = fak+1 ; : : : ; a2k g; : : :. …±«¨ °¥§³«¼² ² ²¥±²¨°®¢ ­¨¿ £°³¯¯» Tn ; n = 1; M=k; ¯®«®¦¨²¥«¥­, ².¥. yn = 1; ²® ¯°®¢¥°¿¥¬ ¢±¥ ½«¥¬¥­²» £°³¯¯»¨­¤¨¢¨¤³ «¼­®.³±²¼ (k) | ·¨±«® ²¥±²®¢ (±«³· ©­ ¿ ¢¥«¨·¨­ ), ª®²®°»¥ ­ ¤® ¨§° ±µ®¤®¢ ²¼ ­ ®¤­³£°³¯¯³. Ž·¥¢¨¤­®,1k+1(k ) = (1 ; p)k 1 ; (1 ; p)k :10³±²¼ M | ·¨±«® ²¥±²®¢ (±«³· ©­ ¿ ¢¥«¨·¨­ ), ª®²®°»¥ § ²° ·¥­» ­ ¯®¨±ª ¤¥´¥ª²­®£®¬­®¦¥±²¢ S .

Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ±°¥¤­¥¥ §­ ·¥­¨¥M = Mk (k) = Mk f(1 ; p)k + (k + 1)[1 ; (1 ; p)k]g =k+11kk= M k ; (1 ; p) = M k + 1 ; (1 ; p) 1 M k + pk ;£¤¥ ¢®±¯®«¼§®¢ «¨±¼ ­¥° ¢¥­±²¢®¬ ¥°­³««¨ (1 + x)k 1 + xk; x ;1:®«®¦¨¬ ²¥¯¥°¼ k = 1=pp; ².¥. ¢»¡¥°¥¬ §­ ·¥­¨¥ k, ª®²®°®¥ ¬¨­¨¬¨§¨°³¥² ¯° ¢³¾ · ±²¼®¶¥­ª¨ ¤«¿ M : ˆ¬¥¥¬ 2M pp:M² ®¶¥­ª ¯®ª §»¢ ¥², ·²® £°³¯¯®¢®¥ ²¥±²¨°®¢ ­¨¥ § ¢¥¤®¬® ¢»£®¤­¥¥ ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­®£®, ª®£¤ 2pp < 1; ².¥. ¯°¨ p < 1=4:°¨¬¥°. …±«¨ p = 1=100, ²® ®¯²¨¬ «¼­»© ®¡`¥¬ ²¥±²¨°³¥¬®© £°³¯¯» k = 10. °¨ ½²®¬±°¥¤­¥¥ ·¨±«® ²¥±²®¢ M , § ²° ·¨¢ ¥¬»µ ¯°¨ ®¯¨± ­­®¬ £°³¯¯®¢®¬ ²¥±²¨°®¢ ­¨¨¨ ­ ¯®¨±ª¤¥´¥ª²­®£® ¬­®¦¥±²¢ S A = fa1 ; a2; : : :; aM g, ­¥ ¯°¥¢»¸ ¥² M=5. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¯°¨¢¥°®¿²­®±²¨ ¤¥´¥ª²­®£® ½«¥¬¥­² p 1=100 £°³¯¯®¢®¥ ²¥±²¨°®¢ ­¨¥ ¯°¨ ¯®¨±ª¥ ¤¥´¥ª²®¢¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ¢ 5 ° § ¢»£®¤­¥¥ ¯°®¢¥¤¥­¨¿ ¯®½«¥¬¥­²­»µ ¯°®¢¥°®ª.11.

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