Перельман Я.И. - Знаете ли вы физику (1107596), страница 8
Текст из файла (страница 8)
д. Короче говоря, при отсу гсгвии зрения о плоскость стола н сопротивления воздуха, шар, положенный на край идеально плоского стола„ .,2 пришел бы в нескончаемое движение. Рис. 48. Олин из проектов Один американег[ предлаявечного лви 'ния» (в 42)- га устроить на этом ринципе вечное движение. Проект его, изображенный на рис. 48, по идее совершенно правилен и осуществил бы вечное движение, если бы возможно было избавиться от трения. Впрочем, то же самое можно осуп(ествить и проще - с помощью груза, качаюп(егося на нити; при отсутствии трения в точке подвеса (и сопротивления воздуха) какой груз должен качазься вечно*'. Производить работу подобные приспособления, однако, не способны.
43 в Не слелует думаззч что в положении А брусок, 3» оказывая на опорную плоскость большее удельное давление, испытывает и большее трение. Величина трения не зависит от размеров трущихся поверхностей. Поэтому, если брусок скользил, преодолевая трение„ в положении 8, то он будет скользить и в положении А (рис. 49).
,в При решении этой задачи нередко делают сущест- 4А Ф» венную ошибку: не принимиот во анимание, что отвесно падающий шар движется только поступательно, между тем как шар, скатывающийся *' В Парижской обсерватории бмл произведен (Бориа) опьи с маятником, качанннимсв в безвозлушиом пространстве при минимально умсньшеннол1 трении в точке полвеса маятник качался 3() часов. Интересно, как за.гухают постепенно колебания 98-метровозо маятника, подвешенного в здании Исаакиевского собора. Первоначально 12-метровые размахи спустя 3 часа уменьшаются в 1О раз. Через 6 часов от начала наблюлений размахи сокрапзаются до 6 см.
через 9 часов- до 6 мм. Спуств 12 часов от начала наблюлений, размахи делаются незаметными лля невооруженного глаза. Рис. 49 К огас~у на вопрос 43. Рис 5Ц К огвсгу иа вопрос 44. по плоскости, совершает кроме поступательного движения также и вращаэельное (рис. 50). Какое влияние оказывает отмеченное обстоятельство на скоросп, скатывающегося тела, видно из следукицего вычисления. Потенциальная энергия шара, обусловленная его положением вверху наклонной плоскости, превращается при отвесном падении целиком в энергию поступательного движения, и из уравнения ,гог нгКЬ =- —- 2 легко получаешься скорость и тако~о шара в конце пути: и = Гак где Ь - — высота наклонной плоскости.
Иначе обстоит дело с шаром, ска~ывающимся ' по наклонной плоскости. В этом случае га же потенциальная энергия ягой преобразуется в сумму двух кинетических энергий- в энергию поступательного движения со скоростью р, и вращательного движения с угловой скоростью го. Величина первой Энергии равна гис, 2 Вторая равна полупронэведепню момента инерции У шара на квадрат его угловой скорости ок 1 сог 2 Имеем, следовательно, уравнение ,г г 1 нф~=-- - +- —. 2 2 Из курса механики известно, что момент инерции, Х однородного н.ара массы ггг и радиуса Л отно- 47 сительно оси, проходящей через центр, равен '7згиЛ'. Далее, легко сообразить, что угловая скорость со этого тиара, катящегося с поступательной скоростью в„ равна а„~Л.
Поэтому энергия вращательного движения „аи 2 25 Р' 5 А сумма двух энергий будет равна та, тг, 7 д х т80=-- — +. — =- — ша,. 2 5 10 Отсюда скорость посзупательного движения а,= /286. /5/7 0,84 /2~А. Сопоставляя зту скорость со скоростью в конце отвесного падения (г= /280), видим, ч.го они заметно различаются: скатившиися шар в конце пути движется вперед со скоростью, на 1б;4 меньшею, чем шар, свободно упавший с той же высоты. Кто знакбм с историей физики, тому известно, что Галилей установил законы падения тел, производя опыты с шарами, ко~орые он пускал по наклонному желобу 1длина - -12 локтей, возвышение одного конца-- 1 — 2 локтя). После сказанно~о выше может возникнуть сомнение в правильности пути, избранного Галилеем.
Сомнение, однако, отпадает, если вспомним, что скатывающийся шар, в своем поступательном перемещении, движется равноускоренно. так как в каждой точке наклонного желоба скорость его составляет одну и ту же долю (0,84) скорости падающего шара на том же уровне. Форма зависимости между пройденным путем и временем остается та же, что и для тела, свободно падающего. Поэтому Галилей и мог правильно установить законы падения тел в результате своих опытов с наклонным желобом.
«Пустив шарк- писал он,--по длине, равной четверти длины желоба, я нашел, что время пробега в точности равнялось п о по в и не времени, какое употреблялось для прохождения цело~о желоба... Из опытов, сто раз повторенных, я всегда находил, что проходимые пути относятся между собою, как квадраты времен». 48 ' 45 Способ решения э> ой задачи подсказывается "~» разбором предыдущей.
Нетрудно догадаться, что ':,,:: для различения цилиндров всего проще воспользоваться ,':,,: Пеолинаковосгью их моментов инерции; однородный .': алюминиевый цилиндр имеет иной момент инерции, :-:,: чем составной, у ко го рого болыпая час гь массы ::;сосредоючена на периферии. Соответственно этому -''должны быть различны и скорости их поступательного .-:.
движения при скатывании с наклонной плоское>и. ' Момен> инерции / однородного цилиндра относн:.':тально его продольной оси равен, как учит механика, »>й > 2 Для второго, неоднородного цилиндра, расчет слож' ' нее. Прежде всего определим радиус и массу его ::г>робковой цилиндрической час>и. Обозначив искомый ,рвдиус через х, радиус всего цилиндря по-прежнему "через Я, высоту цилиндров через 7> н имея в виду, .': что плотносзи (в г1смз) их материалов равны„соответственно, пробки — -0,2; свинца -- 11,3; алюминии '.',2,7; можем записа.гь следующее равенство: 02ях~7>+11,3(я71 >1>--ятз7>)=2,7я71'1>. Равенсгво означае ц что сумма масс пробковой -части цилиндра и его свинцовой оболочки равна массе ,:.; алюминиевого цилиндра. Сделав упрощения, приводим наше уравнение к виду 11,1х > = 8,6Я >, ' откуда х ~ = 0,77Р > В дальнейшем нам понадобизся значение именно х~, йоэтому корня не извлекаем Масса пробковой части составного пилиндря равна 0,2ях Ч = 0,2я .
0,77 К ~й = 0.154яЛ Ь. Масса свинцовой оболочки равна 2,7лЯ ~1> — О,! 54кЯ хй = 2,55яР х7> В процент ах к общей массе это составляет-. для пробковой части — 6%, для свинцовой части-- 94%. Вычислим теперь момент инерции 7> состав- його цилиндра; он равен сумме момен гов его составных частей -пробкового цилиндра и свинцовой оболочки. Момент инерции пробкового цилиндра при радиусе .т и массе 0,06т 1где т — масса алюминиевого цилиндра) равен г -Мх г= — 0,0бт 0,778 г =0,0231пЖг. 2 2 Момент инерции свинцовой цилиндрической оболочки с радиусами х и Я и массой 0,94т равен хг+К 0 77Юг+лг 2 2 Момент инерции lг составного цилиндра равен поэтому У 0 0231тА г+О 832гнй г 0 8бпгЯ г Скорости поступательного движения скатывающихся цилиндров найдем так же, как нашли мы их в предыдущей задаче для игаров.
В случае однородного цилиндра имеем уравнение гиа г пгг* ~ туг = — — + — ~-, 2 4 илн юг = — а г . 4 откуда г, = 0,8,,/2дЬ. Для неоднородного цилиндра имеем тагг 0,8бглй ге гг т8/г= — + ' 2 2й' или 87г=05вг+043аг=О 93сгг, откуда ьг =0,73 2дЬ. Сравнивая обе скорости, с, =0,8 гг2уЬ, а =0,73.„/287г, видим, что скорость поступательного движения сосз авного цилиндра на 9".4 меньше. чем однородного. По этому признаку и можно распознать алюминиевый цнлигцгр: он докатится до конца плоскости раньше составного.
аа Предоставим читателю самостоятельно рассмоз ре~ ь видоизменение этой задачи. а илгенно тот слу чай, когда в составном цилиндре свинец сосрело'гочен у оси, а пробка облегает свинцовый стержень снаружи. Какой -цилиндр дока.гится тогда раньше ло конца плоскости? 46 Песчинки, не касаясь во время падения лна %Э» сосуда. нс оказывают на него давления. Можно :-;, 'думать поэтому, что в течение тех пяти минут, пока , длится пересыпание песка.
чашка с часами должна стать легче и подняться вверх Опьгг покажет, однако„ другое. Чашка с часами качне.гся вверх только в первое мгновение, но за~ем в течение пяти минут весы будут сохраня.гь равновесие ло последнего момента, когда -чашка с часами качнется вниз и весы придут снова ,в ' равновесие. Почелгу же весы останутся пять минут в равновесии несмотря на го, что часть песка, падая, не оказывае| на дно сосуда никакого давления? Прежде всего отметим, что в течение каждой секунды сколько же песчинок покидает шейку часов, сколько их лосгигаез дна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
