Задачи (1106945)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализуI семестр, 2011-2012 г.Тема 1. Числовые множества и последовательности1. Определения.Сформулируйте определение:1.1. ограниченного множества вещественных чисел;1.2. ограниченного сверху множества вещественных чисел;1.3. ограниченного снизу множества вещественных чисел;1.4. неограниченного множества вещественных чисел;1.5. неограниченного сверху множества вещественных чисел;1.6. неограниченного снизу множества вещественных чисел;1.7. окрестности данной точки;1.8. ε - окрестности данной точки;1.9.

проколотой окрестности данной точки;1.10. предельной точки числового множества;1.11. верхней грани числового множества;1.12. нижней грани числового множества;1.13. точной верхней грани числового множества;1.14. точной нижней грани числового множества;1.15. числовой последовательности1.16. ограниченной последовательности;1.17. неограниченной последовательности;1.18.

монотонной последовательности;1.19. предела последовательности;1.20. бесконечно малой последовательности;1.21. бесконечно большой последовательности;1.22. фундаментальной последовательности;1.23. подпоследовательности данной последовательности;1.24. предельной точки последовательности (два определения);1.25. верхнего предела последовательности;1.26. нижнего предела последовательности.2. Основные теоремы (без доказательства)Сформулируйте2.1.

теорему о пределе суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей;2.2. теорему о «двух милиционерах»;2.3. теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности;2.4. теорему о вложенных отрезках;2.5. теорему Больцано-Вейерштрасса;2.6. критерий Коши сходимости последовательности.3. Теоремы с доказательством.3.1.

Докажите, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.3.2. Докажите, что сходящаяся последовательность ограничена.3.3. Сформулируйте и докажите теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного двухпоследовательностей.3.4. Докажите теорему о «двух милиционерах».3.5. Пусть lim an = a . Докажите, что любая подпоследовательность {ank } сходится к a.n →∞3.6. Докажите, что неубывающая ограниченная сверху последовательность имеет предел.3.7. Докажите, что невозрастающая ограниченная снизу последовательность имеет предел.3.8.

Докажите теорему о вложенных отрезках.3.9. Докажите теорему Больцано-Вейерштрасса.3.10. Докажите, что фундаментальная последовательность является ограниченной.3.11. Докажите, что сходящаяся последовательность является фундаментальной.13.12. Докажите, что фундаментальная последовательность является сходящейся.4. Вопросы и задачи.4.1.

Приведите примеры ограниченного и неограниченного множеств вещественных чисел.n4.2. Докажите неравенство Бернулли: (1 + x ) ≥ 1 + nx при x ≥ −1 и n ∈ .4.3. Сформулируйте отрицание к определению ограниченной последовательности.4.4.

Сформулируйте отрицание к определению "Число b называется пределом последовательности".4.5. Сформулируйте отрицание к определению бесконечно малой последовательности.4.6. Сформулируйте отрицание к определению бесконечно большой последовательности.4.7. Сформулируйте отрицание к определению фундаментальной последовательности.n4.8. Докажите, что последовательность x n = (1 + 1/ n ) – возрастающая.n +14.9. Докажите, что последовательность x n = (1 + 1/ n )– убывающая.n4.10.

Докажите, что последовательность x n = (1 + 1/ n ) сходится.4.11. Пусть {an }-бесконечномалаяпоследовательность,a n ≠ 0 ∀n ∈.Докажите,что{ }последовательность 1 an - бесконечно большая.{ }4.12. Пусть {an } - бесконечно большая последовательность.

Докажите, что последовательность 1 anопределена, начиная с некоторого номера n , и является бесконечно малой.114.13. Пусть lim an = a, a ≠ 0 . Докажите, что lim= .n →∞ an →∞an4.14. Пусть последовательность {x n } сходится, а последовательность {yn } расходится. Что можносказать о сходимости последовательности {x n + yn } ? Ответ обоснуйте.4.15.

Пусть последовательность {x n } расходится и последовательность {yn } расходится. Что можносказать о сходимости последовательности {x n + yn } ? Ответ обоснуйте.4.16. Пусть последовательность {x n } сходится, а последовательность {yn } - расходится. Что можносказать о сходимости последовательности {x n ⋅ yn } ? Ответ обоснуйте.4.17. Пусть последовательность {x n } расходится и последовательность {yn } расходится. Что можносказать о сходимости последовательности {x n ⋅ yn } ? Ответ обоснуйте.4.18. Пусть последовательность {x n } сходится, а последовательность {yn } расходится. Что можно{}сказать о сходимости последовательности x n yn ? Ответ обоснуйте.4.19. Пусть последовательность {x n } расходится и последовательность {yn } расходится.

Что можно{}сказать о сходимости последовательности x n yn ? Ответ обоснуйте.4.20. Докажите, что если lim x n = a , то lim x n = a .n →∞n →∞4.21. Известно, что lim x n = a . Докажите, что lim (x n +1 − x n ) = 0 .n →∞n →∞n4.22. Известно, что lim x n = a . Докажите, что lim (x n +1 − x n ) = 0 .n →∞n →∞4.23. Известно, что lim x n = a . Докажите, что lim x n2 = a 2 .n →∞n →∞4.24. Пусть, начиная с некоторого номера, x n ≥ yn и lim yn = +∞ . Докажите, что lim x n = +∞ .n →∞n →∞4.25.

Пользуясь определением предела последовательности, докажите что:n3(−1)n 2 sin n 2n= 0.= 0 ; б) lim (0.8) = 0 ; в) limn →∞n→∞n →∞nn +1а) lim4.26. Исследуйте вопрос о сходимости последовательности x n =nα − 12n 2 + n + 1параметра α.n2 + n − n2 − n4.27. Найдите: а) lim;n →∞nn(−2) + 3nб) lim;n +1n →∞ (−2)+ 3n +123n⎛2⎞в) lim ⎜⎜1 + ⎟⎟ .n →∞ ⎝n⎠в зависимости от4.28. Докажите, что последовательности являются бесконечно большими:nа) an = n ; б) an = (−1) ⋅ n4.29. Докажите, что последовательность{(1 + (−1)n ) n }неограниченная, однако не являетсябесконечно большой.4.30.

Сформулируйте отрицание к определению "Число b называется предельной точкойпоследовательности", используя понятие подпоследовательности.4.31. Сформулируйте отрицание к определению "Число b называется предельной точкойпоследовательности", используя понятие окрестности.4.32. Приведите пример последовательности, у которой есть одна предельная точка, нопоследовательность не является сходящейся.4.33. Приведите пример последовательности, у которой ровно две предельные точки.4.34. Докажите, что монотонная неограниченная последовательность не имеет предельной точки.4.35.

Найдите все предельные точки данной последовательности {x n } , а также lim x n , lim x n :n →∞n →∞2πnг) x n = cosn;3д) x n = sin (πn / 2 + 1/ n ) .nа) x n = (−1) ;nn(−1)1 + (−1)б) x n =+;n2n −12πnв) x n =;cosn +135. Задачи повышенной трудности.5.1. Докажите, что из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечнобольшую подпоследовательность.5.2. Докажите сходимость последовательности {x n } и вычислите ее предел, если1⎛a⎞а) x 1 - произвольное положительное число, x n +1 = ⎜⎜x n + ⎟⎟⎟ ∀n ≥ 1, a > 0 .2 ⎜⎝x n ⎠⎟3, x n +1 = 3x n − 2 .25.3. Найдите все предельные точки последовательности 1;1/ 2;1;1/ 2;1/ 3;1;1/ 2;1/ 3;1/ 4... (обоснуйтеответ).ln n5.4.

Не пользуясь правилом Лопиталя, докажите, что последовательность x n = α при α > 1nявляется бесконечно малой.na5.5. Не пользуясь правилом Лопиталя, докажите, что последовательность x n = n при любом a иbb > 1 является бесконечно малой.б) x 1 =bn5.6.

Докажите, что ∀b lim= 0.n →∞ n !n!5.7. Докажите, что lim n = 0 .n →∞ n5.8. Докажите, что последовательность x n =bnпри любом α и при b > 1 является бесконечноnaбольшой.ln n= 0.n →∞ n5.10. Докажите, что последовательность x n = n n − 1 является бесконечно малой.a + a2 + ... + an5.11. Пусть lim an = a , bn = 1. Докажите, что lim bn = a .n →∞n →∞n5.12.

Пусть lim an = a , bn = n a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ an . Докажите, что lim bn = a .n →∞n →∞n5.13. Вычислите lim n.n →∞n!5.9. Докажите, что lim31= 0.n!5.15. Приведите пример последовательности с бесконечным числом предельных точек.5.14. Докажите, что limn →∞ nТема 2. Предел и непрерывность функции.1. Определения.Сформулируйте определение:1.1. ограниченной на множестве X функции;1.2. ограниченной сверху на множестве X функции;1.3. ограниченной снизу на множестве X функции;1.4.неограниченной на множестве X функции;1.5. неограниченной сверху на множестве X функции;1.6.

неограниченной снизу на множестве X функции;1.7. верхней грани функции на множестве X;1.8. нижней грани функции на множестве X;1.9. точной верхней грани функции на множестве X;1.10. точной нижней грани функции на множестве X;1.11. монотонной на промежутке функции;1.12. предела функции f (x ) в точке x = a “по Коши”;1.13. предела функции f (x ) при x → a + 0 “по Коши”;1.14. предела функции f (x ) при x → a − 0 “по Коши”;1.15.

предела функции f (x ) при x → +∞ “по Коши”;1.16. предела функции f (x ) при x → −∞ “по Коши”;1.17. предела функции f (x ) в точке x = a “по Гейне”;1.18. предела функции f (x ) при x → +∞ “по Гейне”;1.19. предела функции f (x ) при x → −∞ “по Гейне”;1.20.f (x ) → +∞ при x → a "по Коши";1.21. f (x ) → +∞ при x → a − 0 "по Коши";1.22. f (x ) → +∞ при x → +∞ "по Коши";1.23. f (x ) → +∞ при x → −∞ ;"по Коши";1.24.

f (x ) → −∞ при x → −∞ "по Коши";1.25. f (x ) → −∞ при x → a "по Коши";1.26. f (x ) → −∞ при x → a + 0 "по Коши";1.27. f (x ) → −∞ при x → +∞ "по Коши";1.28. "Функция f (x ) называется бесконечно малой при x → a "по Коши";1.29. "Функция f (x ) называется бесконечно малой при x → +∞ "по Коши";1.30. f (x ) → +∞ при x → a "по Гейне";1.31. f (x ) → +∞ при x → +∞ "по Гейне";1.32.1.33.1.34.1.35.1.36.1.37.1.38.1.39.f (x ) → +∞ при x → −∞ "по Гейне";функции, непрерывной в точке;непрерывной на промежутке функции;точки разрыва функции f (x ) ;точки устранимого разрыва функции f (x ) ;точки разрыва первого рода функции f (x ) ;точки разрыва второго рода функции f (x ) ;обратной функции.2. Основные теоремы (без доказательства).2.1.

Сформулируйте критерий Коши существования предела функции при x → a .2.2. Сформулируйте критерий Коши существования предела функции при x → +∞ .4Сформулируйте теорему:2.3. о пределах суммы, разности, произведения и частного двух функций;2.4. о связи предела функции в данной точке с односторонними пределами в этой точке;2.5. о первом замечательном пределе;2.6. о втором замечательном пределе;2.7. о непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух непрерывных функций;2.8.

Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции;2.9. Сформулируйте теорему о существовании, монотонности и непрерывности обратной функции.3. Теоремы с доказательством.3.1. Докажите, что сумма двух бесконечно малых функций в точке a является бесконечно малойфункцией в точке a .3.2. Докажите, что произведение бесконечно малой в точке a функции на ограниченную функциюявляется бесконечно малой функцией в точке a .Докажите теорему3.3.

о пределах суммы, разности, произведения и частного двух функций;3.4. о связи предела функции в данной точке с односторонними пределами в этой точке;3.5. о пределе монотонной ограниченной функции.3.6. Докажите эквивалентность определений по Гейне и по Коши предела функции f ( x ) при x → a .3.7. Сформулируйте критерий Коши существования lim f (x ) .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов вопросов/заданий