Задачи (1106945), страница 3
Текст из файла (страница 3)
правой производной функции f (x ) в данной точке;1.3. левой производной функции f (x ) в данной точке;1.4. производной вектор-функции в данной точке;1.5. дифференцируемой в данной точке функции;1.6. функции f (x ) , дифференцируемой на множестве;1.7.
касательной к графику функции y = f (x ) в точке (x 0 , f (x 0 )) и запишите уравнение касательной;1.8. дифференциала функции в данной точке;1.9. n -ной производной функции f (x ) в данной точке;1.10. n раз дифференцируемой функции f (x ) в данной точке;1.11. бесконечно дифференцируемой функции f (x ) в данной точке;1.12. n -ной производной вектор-функции в данной точке;1.13. n -ного дифференциала функции в данной точке.2. Основные теоремы и формулы (без доказательства)Сформулируйте:2.1. достаточное условие существования касательной к графику функции y = f (x ) в точке (x 0 , f (x 0 )) ;2.2.
теорему о производных суммы, разности, произведения и частного двух функций;2.3. теорему о производной сложной функции;2.4. теорему о производной обратной функции.Запишите:2.5. формулы дифференциалов суммы, разности, произведения и частного двух функций;2.6. формулу для производной функции, заданной параметрически;2.7. формулу n -ной производной произведения двух функций.3. Теоремы с доказательством.Докажите теорему3.1. о производных суммы, разности, произведения и частного двух функций;3.2. о производной сложной функции;3.3. о производной обратной функции.3.4. Выведите формулу производной функции, заданной параметрически.4.
Вопросы и задачи.4.1. Докажите, что если ∃f ′ ( x 0 ) , то f ( x 0 + Δx ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) Δx + o ( Δx ) при Δx → 0 .4.2. Докажите, что если существует число A такое, что f ( x 0 + Δx ) = f ( x 0 ) + A ⋅ Δx + o ( Δx ) приΔx → 0 , то ∃f ′ ( x 0 ) и f ′ ( x 0 ) = A .4.3. Пользуясь определением производной, выведите формулы производных функций:а) x n , n ∈ ; б) sin x ; в) cos x ; г) loga x ; д) a x .4.4. Пользуясь теоремой о производных суммы, разности, произведения и частного двух функцийвыведите формулы для производных функций:а) tg x ; б) ctg x ; в) sh x ; г) ch x ; д) th x ; е) cth x .4.5.
Пользуясь теоремой о производной сложной функции, выведите формулу для производнойфункции x α , α ∈ .4.6. Пользуясь определением производной, найдите производную функции в данной точке:а) y = x в точке x = 4 ; б) y = x x в точке x = 0 .4.7. Найдите односторонние производные f ′ (x 0 + 0) и f ′ (x 0 − 0) функции:а) f (x ) = x , x 0 = 0; x 0 = 1 ;б) f (x ) = x sgn x , x 0 = 0 ;в) f (x ) = x 2 sgn x , x 0 = 0 ;г) f (x ) = x − 1 e x , x 0 = 1 .4.8.
Найдите первые производные и первые дифференциалы функций:б) y = sin2 (cos x ) + cos2 (sin x )а) y = x + x + x ;92в) y = e x cos 2x ;г) y = x sin x ;xxд) y = ee + x e ;е) y = ln 3 (ln2 (ln x )) ;(з) y =1 1−x;+ ln2 1+x1−xarcsin x2()и) y = ln e x + 1 + e 2x ;к) y = sin x cos x .)ж) y = arctg x + 1 + x 2 ;⎧ f (x ), x ≤ x 0⎪4.9. Пусть F, где функция f (x ) дифференцируема слева в точке x = x 0 . При=⎪⎨⎪axb,xx+>0⎪⎩каком выборе коэффициентов a и b функция F (x ) будет дифференцируемой в точке x 0 ?⎧ 1 , x > 2,⎪4.10. При каких значениях a и b функция f ( x ) = ⎨ xявляется дифференцируемой на⎪a + bx 2 , x < 2⎩всей числовой прямой?(x )4.11.
Докажите, что если существует дифференциал функции f (x ) в точке x 0 , тоf (x 0 + Δx ) − f (x 0 )= f ′ (x 0 ) + α (Δx ) при Δx ≠ 0 , где α (Δx ) - бесконечно малая функция приΔxΔx → 0 .4.12. Докажите, что если существует дифференциал функции f (x ) в точке x = x 0 , то существуетf (x 0 + Δx ) − f (x 0 )число А такое, что= A + α (Δx ) при Δx ≠ 0 , где α (Δx ) - бесконечно малаяΔxфункция при Δx → 0 .4.13. Найдите дифференциалы n-го порядка функции f (x ) :в) f (x ) = xe 5x , n = 11 ;а) f (x ) = ln(x 2 + x ) ;x −1б) f (x ) = x 2 sin 2x , n = 20 ;г) f (x ) =, n = 8.x +14.14.
Используя теорему о производной обратной функции, выведите формулу для производнойфункции f (x ) :а) f (x ) = arcsin x ;б) f (x ) = arctg x ;в) f (x ) = ln x .4.15. Найдите производную n-го порядка функции f (x ) :а) f (x ) = x ln x , n = 20 ;е) f (x ) = x 2e x , n = 100 ;б) f (x ) = x , n = 30 ;ж) f (x ) = x 2 sin x , n = 200 ;в) f (x ) = xe x , n = 30 ;з) f (x ) = x cos x , n = 60 ;г) f (x ) = 1/ x , n = 40 ;и) f (x ) = x 2 cos x , n = 71 .д) f (x ) = x sin x , n = 12 ;5. Задачи повышенной трудности.5.1.
Используя теорему о производной сложной функции и тождество f ( f −1(x )) = x , выведитеформулу производной обратной функции.1⎧⎪⎪⎪x ⋅ (1 + x )x , x ≠ 0,5.2. Докажите, что функция f (x ) = ⎨имеет производную в точке x = 0 и⎪⎪0,x =0⎪⎩найдите её значение.⎪⎧⎪x x +1, x > 0,5.3. Докажите, что функция f (x ) = ⎨имеет правую производную в точке x = 0 и⎪⎪0,x =0⎪⎩найдите её значение.105.4. Докажите, что функция2⎧⎪2 ctg x,⎪⎪x ⋅ (1 − x )f (x ) = ⎨⎪⎪0,⎪⎩x ≠ 0,x =0имеет производную в точке x = 0 инайдите её значение.5.5.
Докажите, что функция⎧x 1−2x ,⎪f (x ) = ⎪⎨⎪0,⎪⎪⎩найдите её значение.5.6. Докажите, что функцияf(x )1+⎧⎪⎪x=⎨⎪0,⎪⎪⎩2xx > 0,x =0,x > 0,x =0имеет правую производную в точке x = 0 иимеет правую производную в точке x = 0 инайдите её значение.⎧1⎪⎪x 2 sin , x ≠ 0,⎪x5.7. Пусть f (x ) = ⎨. Докажите, что ∃ f ′ (x ) при x ≠ 0 , ∃ f ′ (0) , но ∃ lim f ′ (x ) .x →0⎪⎪0,x0.=⎪⎩1⎧⎪ 2⎪⎪x cos , x ≠ 0,x5.8. Пусть f (x ) = ⎨. Докажите, что ∃ f ′ (x ) при x ≠ 0 , ∃ f ′ (0) , но ∃ lim f ′ (x ) .x →0⎪⎪0,=x0.⎪⎩⎧⎪ 31⎪⎪x cos 2 , x ≠ 0,x5.9. Пусть f (x ) = ⎨. Докажите, что ∃ f ′ (x ) при x ≠ 0 , ∃ f ′ (0) , но ∃ lim f ′ (x ) .x →0⎪⎪0,=x0.⎪⎩1⎧⎪ 3⎪⎪x sin 2 , x ≠ 0,x5.10. Пусть f (x ) = ⎨.
Докажите, что ∃ f ′ (x ) при x ≠ 0 , ∃ f ′ (0) , но ∃ lim f ′ (x ) .x →0⎪⎪0,=x0.⎪⎩⎛ − 1 ⎞⎟⎪⎧⎪ 2xsin⎪⎜⎜⎜e x ⎟⎟⎟, x ≠ 0,⎪⎝ ⎠5.11. Пусть f (x ) = ⎨. Докажите, что ∀x ∃ f ′ (x ) , ∃ lim f ′ (x ) . Найдите f ′ (0) .x →0⎪⎪x =00,⎪⎪⎩⎧⎪ − 12⎪e x , x ≠ 0,5.12. Пусть f (x ) = ⎪.
Найдите f ′ (0) .⎨⎪⎪0,x = 0.⎪⎩⎧⎪ − 13⎪e x , x ≠ 0,5.13. Пусть f (x ) = ⎪. Найдите f ′ (0) .⎨⎪⎪0,x =0⎪⎩Тема 4. Неопределенный и определенный интегралы.1. Определения.Сформулируйте определение:1.1. первообразной данной функции;1.2. неопределенного интеграла данной функции;1.3. интегральной суммы для данной функции f (x ) на сегменте [a, b ] ;1.4.
предела интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю;1.5. определенного интеграла от функции f (x ) по сегменту [a, b ] ;1.6. нижней суммы (Дарбу);1.7. верхней суммы (Дарбу);1.8. предела верхних (нижних) сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю;1.9. верхнего (нижнего) интеграла Дарбу.2.
Основные теоремы и формулы (без доказательства)2.1. Сформулируйте теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла.2.2. Сформулируйте теорему об интегрировании методом замены переменной для неопределенного11интеграла.2.3. Перечислите свойства сумм Дарбу.2.4. Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f (x )на сегменте [a,b] в терминах нижнего и верхнего интегралов Дарбу.2.5. Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f (x )на сегменте [a,b] в терминах нижних и верхних сумм.2.6. Перечислите известные Вам классы интегрируемых функций.2.7.
Перечислите свойства определенного интеграла.2.8. Запишите формулу среднего значения для определенного интеграла и сформулируйтедостаточные условия ее применимости.2.9. Запишите формулу Ньютона – Лейбница и сформулируйте достаточные условия ееприменимости.2.10.
Запишите формулу замены переменной для определенного интеграла и сформулируйтедостаточные условия ее применимости.2.11. Запишите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла и сформулируйтедостаточные условия ее применимости.3. Теоремы с доказательством.3.1. Докажите теорему об интегрировании методом замены переменной для неопределенногоинтеграла.3.2. Докажите теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла.3.3.
Докажите, что для данного разбиения отрезка нижняя (верхняя) сумма является точной нижней(верхней) гранью множества интегральных сумм.3.4. Пусть разбиение T ′ отрезка [a;b ] получено из разбиения T путем добавления к нему новыхточек. Докажите, что нижняя сумма функции f (x ) для разбиения T ′ не меньше, чем нижняя сумма дляразбиения T. Получите оценку разности нижних сумм этих разбиений.3.5. Пусть разбиение T ′ отрезка [a;b ] получено из разбиения T путем добавления к нему новых точек.Докажите, что верхняя сумма функции f (x ) для разбиения T ′ не больше, чем верхняя сумма дляразбиения T .
Получите оценку разности верхних сумм этих разбиений.3.6. Докажите, что нижняя сумма функции f (x ) для любого разбиения отрезка [a;b ] не превосходитверхней суммы той же функции f(x) для любого другого разбиения T’ отрезка [a;b ] .3.7. Докажите, что множество нижних сумм функции f (x ) для всевозможных разбиений отрезка [a;b ]ограничено сверху.3.8.
Докажите, что множество верхних сумм функции f (x ) для всевозможных разбиений отрезка [a;b ]ограничено снизу.3.9. Докажите, что нижний интеграл Дарбу не превосходит верхнего интеграла.3.10.Докажите лемму Дарбу.3.11.Докажите теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f (x ) насегменте [a;b ] в терминах нижнего и верхнего интегралов Дарбу.3.12.Докажите теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f (x ) насегменте [a;b ] в терминах нижних и верхних сумм.3.13.Докажите теорему об интегрируемости непрерывной на сегменте функции.3.14.Докажите теорему об интегрируемости некоторых разрывных на сегменте функций.3.15.Докажите теорему об интегрируемости монотонной на сегменте функции.3.16.Докажите теорему об интегрируемости суммы и разности двух интегрируемых функций.3.17.Пусть функция f (x ) интегрируема на сегменте [a;b ] .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
