Задачи (1106945), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Докажите, что cf (x ) , где c = const. , тожеbинтегрируема на [a;b ] , причемb∫ cf (x )dx = c ∫ f (x )dx .aa3.18.Пусть функция f (x ) интегрируема на сегменте [a;b ] . Докажите, что эта функция интегрируемана любом сегменте [c, d ] , содержащемся в сегменте [a;b ] .12Пусть функция f (x ) интегрируема на сегментах [a; c ] и [c;b ] , a < c < b . Докажите, что эта3.19.bфункция интегрируема на сегменте [a, b ] , причем∫fc(x )dx=ab∫f(x ) dxa+ ∫ f (x )dx .cПусть f (x ) интегрируема на [a, b ] . Докажите, что f (x ) тоже интегрируема на [a, b ] .3.20.bПусть f (x ) интегрируема на [a, b ] , a < b . Докажите, что3.21.b∫ f (x )dxa≤ ∫ f (x ) dx .a3.22.Докажите теорему о формуле среднего значения для определенного интеграла.3.23.Докажите теорему о существовании первообразной непрерывной функции.3.24.Докажите теорему о формуле Ньютона – Лейбница.3.25.
Докажите теорему об интегрировании методом замены переменной для определенногоинтеграла.3.26. Докажите теорему об интегрировании по частям для определенного интеграла.4. Вопросы и задачи.4.1. Вычислите интегралы:32∫ (x + 1)x dx ;∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ sin xdx ;∫ (x + 1)cos 2xdx ;∫ xe dx ;∫ x e dx ;∫ arctg xdx ;∫ e cos xdx ;∫ x ln xdx ;∫ x ln xdx ;∫ sin (ln x )dx ;∫ ln ( x − 1 − x )dx ;∫ ln (x + x − 1)dx ;3dx;2 − 5xx 2dx;1 + x2dx−x5 x3;3 + 8x 2exdx ;1 + exxdx;(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x − 1)dx;x2 + x − 2x 2dx;x2 + x − 2x2 + 1dx ;(x + 1)2 (x − 1)a +xdx ;a −xdx∫ (a23/2+ x2)x22dx∫ (2 + cos x ) sin x ;dx∫ 2 sin x − cos x + 5 .;4.2.
Вычислите интегралы:1dx∫ 3 + x2 ;012∫ (x011∫ x (1 − x )10dx ;2dx;+ x + 1) (x − 1)dx;−8∫x3∫dx;xe −1∫1 − x 2 dx ;∫xdx;2x +x +1∫dx02110−11013x2 − x + 1;12π /2dx∫ (1 − x )0∫;2 3/20π6e∫e∫ ln xdx ;dx−x 2 − x2xcos 3xdx ;0π21∫sin5 xdx ;;∫ cos3x ⋅ sin2 xdx ;02∫ ln (x +0e2)1 + x dx ;sin(ln x )dx ;x∫1πdx∫2x + 4x + 3−1∫x−2∫ cos02π4dxx2 + 1xdx ;π8∫dx∫ 2 − sin x ;0;;dx;sin x + cos4 x404.3. Следует ли из интегрируемости суммы двух функций f (x ) + g(x ) (разности двух функцийf (x ) − g(x ) ) интегрируемость f (x ) и g (x ) ? Ответ обоснуйте.4.4. Следует ли из интегрируемости произведения двух функций f (x ) ⋅ g(x ) интегрируемость f (x ) иОтвет обоснуйте.g (x ) ?4.5. Пусть f (x ) интегрируема, а g (x ) неинтегрируема. Что можно сказать об интегрируемостиf (x ) + g(x ) , f (x ) − g(x ) , f (x ) ⋅ g(x ) ? Ответы обоснуйте.4.6. Пусть f (x ) неинтегрируема и g (x ) неинтегрируема.
Что можно сказать об интегрируемостиf (x ) + g(x ) , f (x ) − g(x ) , f (x ) ⋅ g(x ) ? Ответы обоснуйте.4.7. Вычислите производные:xddxsin (t )dt ;∫20bddxsin (x 2 )dx ;∫addxddx1∫arcsin tdt ;xxddxddxddxx2∫0⎛⎞⎟2t 2⎜ln ⎜⎟dt ;⎜⎝1 + arctg2 t + sin 4 t ⎠⎟x3∫x2dt1 + t2;cos x∫2e −t dt .arctg x2∫1 + t 2 dt ;05.Задачи повышенной трудности.2πcos (ln x )dxdxdx5.1. Вычислите интегралы: ∫;;;244∫∫243xsinx+cosx(x + 1) (x − 1)05.2.
Докажите, что если функция f (x ) интегрируема на сегменте [a, b ] , тоинтегрируема на этом сегменте.142πdx∫ 1 + 0, 5 cos x .0функцияf (x ) такжеb5.3. Приведите пример функции f (x ) , такой, что∫bf (x ) dx существует, аa∫ f (x )dxне существует.a5.4. Докажите интегрируемость произведения интегрируемых функций.5.5. Известно, что функция f (x ) интегрируема на [a, b ] , a < b и f (x ) ≥ 0 .Докажите, чтоb∫ f (x )dx ≥ 0 .a5.6. Пусть f (x ) и g (x ) интегрируемы на [a, b ] , a < b и f (x ) ≥ g(x ) ∀x ∈ [a, b ] . Докажите, чтоb∫abf (x )dx >∫ g(x )dx .ab5.7.
Известно, что∫ f (x )dx ≥ 0 и a < b . Следует ли отсюда, что f (x ) ≥ 0 ?Ответ обоснуйте.ab5.8. Известно, что∫abf (x )dx > ∫ g(x )dx и a < b . Следует ли отсюда, что f (x ) ≥ g(x ) ∀x ∈ [a, b ] ? Ответaобоснуйте.5.9. Докажите, что если функция f (x ) интегрируема на сегменте [a, b ] и inf f (x ) > 0 , то функция[a ,b ]1/ f (x ) также интегрируема на этом сегменте.Тема 5. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях.1. Определения.Сформулируйте определение:1.1. ограниченной на заданном множестве функции;1.2. точной верхней (точной нижней) грани функции на заданном множестве;1.3.
равномерно непрерывной на промежутке X функции;1.4. функции, возрастающей (убывающей) в данной точке.2. Основные теоремы (без доказательства)Сформулируйте:2.1. теорему о локальной ограниченности функции, непрерывной в данной точке;2.2. теорему об устойчивости знака функции, непрерывной в данной точке;2.3. первую теорему Вейерштрасса;2.4. вторую теорему Вейерштрасса;2.5. теорему Кантора;2.6. достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции в точке;2.7. теорему Ролля;2.8.
теорему о формуле конечных приращений Лагранжа;2.9. необходимое и достаточное условие невозрастания (неубывания) дифференцируемой функции наинтервале (a, b ) ;2.10. достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале (a, b ) ;2.11. теорему о формуле Коши;2.12.
теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.2.13. Запишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.2.14. Запишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.153.Теоремы с доказательством.Докажите теорему:3.1. о локальной ограниченности функции, имеющей предел в точке;3.2. об устойчивости знака непрерывной функции;3.3. о непрерывной функции, принимающей значения разных знаков на концах отрезка;3.4. первую теорему Вейерштрасса;3.5.
вторую теорему Вейерштрасса;3.6. Кантора;3.7. о достаточном условии возрастания (убывания) в точке x 0 функции f (x ) , дифференцируемой вточке x 0 ;3.8. Ролля;3.9. о формуле конечных приращений Лагранжа;3.10. о необходимом и достаточном условии невозрастания (неубывания) дифференцируемой функциина интервале (a, b ) ;3.11. о достаточном условии возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале (a, b ) ;3.12.
о формуле Коши;3.13. о формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.3.14. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.3.15. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.f (x )3.16. Докажите теорему о правиле Лопиталя вычисления lim.x →a g (x )4. Вопросы и задачи.4.1. Найдите точку c в формуле конечных приращений Лагранжа для функции⎧⎪ 1⎪⎪ (3 − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 1,2на сегменте [0;2] .f (x ) = ⎪⎨⎪⎪ 11≤x ≤2⎪⎪ ,⎩x4.2.
Используя правило Лопиталя, вычислите пределы:ax − xaπ⎞⎛г) lim ⎜⎜x − ⎟⎟ ctg 2x ;а) lim;x →π 2 ⎝x →a x − a2⎠xax −aln (sin αx )б) lim;д) lim, α > 0, β > 0 .x →a x − ax →+0 ln (sin β x )ch x − cos xв) lim;x →0x24.3. Запишите разложение функции f ( x ) по формуле Маклорена с остаточным членом o(x n ) :1а) f (x ) = cos x ;д) f (x ) =;x1−xб) f (x ) = e ;е) f (x ) = − ln (1 − x ) ;в) f (x ) = e −x ;ж) f (x ) = ln (1 + x ) ;1г) f (x ) =;з) f (x ) = sin x .1+x4.4.
Разложите функцию f ( x ) по формуле Маклорена до члена порядка x n :sin xа) f (x ) = sin (sin x ), n = 3 ;г) f (x ) = ln, n = 4;x()б) f x = ln cos x , n = 4 ;д) n a n + x , n = 2 .2в) f (x ) = e 2x −x , n = 3 ;4.5. Вычислите пределы:cos x − eа) limx →0x4−x 2 2б) lim;x →016sin 2x − 2 tg x;ln (1 + x 3 )в) lim xx →+∞32(x + 1 + x − 1 − 2 x );e x + e −x − 2;x →02x 2⎛11 ⎞⎟.д) lim ⎜⎜ −x →0 ⎝ xsin x ⎠⎟г) lim5. Задачи повышенной трудности.5.1. Докажите, что многочлен Тейлора Pn (x ) дифференцируемой п раз в точке x 0 функции f (x ) и всеего производные Pn(k ) (x ) до п -го порядка включительно в точке x 0 равны соответственно f (x 0 ) иf (k ) (x 0 ) , k = 1,2,...n .1f ′′ (0) ⋅ x 2 + o (x 2 ) при x → 0 .2115.3. Докажите, что если ∃f ′′′ (0) , то f (x ) = f (0) + f ′ (0) ⋅ x + f ′′ (0) ⋅ x 2 + f ′′′ (0) ⋅ x 3 + o (x 3 ) при26x → 0.5.4.
Пусть Pn (x ) - многочлен Тейлора дифференцируемой п раз в точке x 0 функции f (x ) . Докажите,5.2. Докажите, что если ∃f ′′ (0) , то f (x ) = f (0) + f ′ (0) ⋅ x +что f (x 0 + Δx ) = Pn (x 0 ) + o ((Δx ) ) .nи g (x ) дифференцируемы в точкеf (x ) f ′ (x 0 )=f (x 0 ) = 0, g (x 0 ) = 0, g ′ (x 0 ) ≠ 0 , то ∃ lim.x →x 0 g (x )g ′ (x 0 )5.6. Докажите, что если функции f (x ) и g (x ) дважды дифференцируемы в точкеf (x ) f ′′ (x 0 )f (x 0 ) = 0, g (x 0 ) = 0, f ′ (x 0 ) = 0, g ′ (x 0 ) = 0, g ′′ (x 0 ) ≠ 0 , то ∃ lim=.x →x 0 g (x )g ′′ (x 0 )5.5. Докажите,чтоеслифункцииf (x )x0 ,x0 ,5.7.
Объясните, в каком месте нарушится ход доказательства первой теоремы Вейерштрасса, если вусловии теоремы заменить "сегмент" на "интервал".5.8. Приведите пример функции f (x ) , непрерывной и ограниченной на промежутке [a; +∞) , котораяне достигает своей точной верхней грани на этом промежутке.5.9. Докажите, что функция f (x ) = x равномерно непрерывна на полупрямой (0;+∞) .5.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
