4 (1106071), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

.

Аналогично находим , .

Окончательно .

17. Задача для самостоятельного решения: Найти напряжённость поля , если потенциал поля , где - отрицательная константа.

1 8. Доказать теорему Гаусса. Предположим сначала, что поле возбуждается точечным зарядом через бесконечно малую площадку . Если - радиус-вектор, проведённый из заряда к площадке (рис. 30), то по определению поток вектора через площадку равен

, ,

где - численно равна проекции площадки на поверхность, перпендикулярную к , причём , если из точки 0 видна внутренняя сторона площадки [угол острый] и , если видна её внешняя сторона. - абсолютная величина перпендикулярной к проекции площадки .

Перпендикулярная к радиус-вектору площадка совпадает с элементом шаровой поверхности радиуса с центром в точке 0. Если обозначить через тот телесный угол, под которым площадка видна из точки 0, (места расположения заряда), то, как известно, , и таким образом .

При этом площадка видна под тем же самым углом. Если приписывать углу положительный знак, когда и отрицательный, когда , то .

Переходя от бесконечно малой площадки к конечной, получим, что поток вектора через конечную поверхность : , где - положительный или отрицательный телесный угол, под которым видна из заряда вся поверхность . Если поверхность замкнутая, угол может иметь только одно из двух значений: 0 или . Дело в том, что точечный заряд может находиться либо внутри замкнутой поверхности, либо вне её. Точечный заряд не может находиться на поверхности, поскольку физическая "точечность" предусматривает, что реальные размеры заряда малы по сравнению с расстоянием его до рассматриваемых точек поля.

Е сли заряд находится внутри замкнутой поверхности, то эта поверхность окружает его со всех сторон и видна под углом . В этом случае . Если заряд расположен в точке 0, лежащей вне замкнутой поверхности, то из точки 0 можно провести к поверхности касательные линии (рис. 31). Совокупность этих касательных образует конус, соприкасающийся с заданной замкнутой поверхностью вдоль некоторой замкнутой линии , которая разделит поверхность на две части: и . Обе части поверхности ( и ) будут видны из точки 0 под одним и тем же углом , причём одна будет с внутренней стороны ( ) , а другая - с внешней ( ). Таким образом, и будут соответствовать углы и равные по величине и противоположные по направлению и таким образом, потоки через поверхность дадут в сумме 0.

Итак, поток вектора через всякую замкнутую поверхность, не содержащую заряда равен 0: . Если под зарядом условиться считать заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности, то оба случая можно обобщить в одну формулу .

Эта теорема остаётся справедливой и для поля произвольной системы электрических зарядов: любая система зарядов может быть разложена на совокупность элементарных (точечных) зарядов. Если - напряжённость элементарного заряда, а - напряжённость поля всей системы зарядов, то , а . Тогда , причём последняя сумма распространяется только на те заряды, которые расположены внутри поверхности .

19. В центре куба находится точечный заряд

а) чему равен поток вектора через поверхность куба?

Согласно теореме Гаусса, полный поток вектора через замкнутую поверхность .

б) Чему равен поток через одну из граней куба?

В силу принципа симметрии, поток через каждую грань будет равен

в) Изменятся ли ответы, если заряд смещён из центра, но остаётся внутри куба?

1) Полный поток не изменится.

2) Потоки через грани куба будут неодинаковы, так как нарушилась симметрия системы.

г) Чему равен поток, если заряд смещён в один из углов куба?

Построим замкнутую поверхность, такую, чтобы имела место симметрия, т.е. достроим вокруг такие же кубы, чтобы заряд оказался в центре. При этом поток заряда через заданный куб не изменится. Тогда задача ставится так: в центре соприкасающихся восьми кубов находится заряд. Исходя из принципа симметрии, можно утверждать, что поток через заданный куб .

20. Может ли электростатическое поле описываться вектором , где ?

Для электростатического поля, которое потенциально, выполняются условия и . Рассмотрим, выполняется ли условие

;

,

так как , то поле, описываемое данной функцией вектора не потенциально.

21. Задача для самостоятельного решения: может ли электростатическое поле описываться вектором , где ?

78

Характеристики

Список файлов лекций