Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Пусть система перешла из положения 1 в положение 2 по пути 12. Тогда А₁₂ = А₁₀₂ = А₁₀ + А₀₂ = U₁ - U₂, где U₁ = А₁₀ + С и
U₂ = А₂₀ + С и С - постоянная.

Таким образом, А₁₂ = U₁ - U₂, т.е. работа внутренних консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы

А₁₂ = -U.

Введем полученное для работы внутренних консервативных сил выражения в общую формулу

E = - U + + +

или

(Е + U) = + + +

Величина E + U = W называется полной механической энергией системы материальных точек

W = + + +

Если в системе отсутствуют неконсервативные (диссипативные) силы, то такая система называется консервативной. Для нее W = Если работа внешних сил, действующих на консервативную систему равна нулю, то W = 0 или W = const, т.е. полная механическая энергия системы сохраняется.

Значение потенциальной энергии зависит от того, какая конфигурация условно принята за нулевую. Если за нулевую принять конфигурацию № 3, то при конфигурации № 1 система будет обладать потенциальной энергией U = А₁₃ , равной работе консервативных сил при переходе системы из конфигурации 1 в конфигурацию 3. Если же за нулевую принять конфигурацию № 2, то потенциальная энергия будет равна U’ = А₁₂

Р ис.24а,б

Вследствие консервативности сил, действующих в системе, работа вдоль пути 12 равна работе вдоль пути 132: А₁₂ = А₁₃ + А₃₂ или U’ = U + А₃₂ . Работа A₃₂ постоянна, т.е. не зависит от координат системы в рассматриваемом положении 1. Оно полностью определяется выбором нулевых положений 3 и 2, т.е. при замене одного нулевого положения на другое потенциальная энергия изменяется на постоянную величину. Таким образом, потенциальная энергия определена не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной.

Эта неоднозначность не влияет на физические процессы, так как они зависят не от абсолютного значения самой потенциальной энергии, а лишь от ее разностей в различных состояниях.

Пусть система перешла из положения 1 в положение 2 по пути 12. Тогда А₁₂ = А₁₀₂ = А₁₀ + А₀₂ = U₁ - U₂, где U₁ = А₁₀ + С и
U₂ = А₂₀ + С и С - постоянная.

Таким образом, А₁₂ = U₁ - U₂, т.е. работа внутренних консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы

А₁₂ = -U.

Введем полученное для работы внутренних консервативных сил выражения в общую формулу

E = - U + + +

или

(Е + U) = + + +

Величина E + U = W называется полной механической энергией системы материальных точек

W = + + +

Если в системе отсутствуют неконсервативные (диссипативные) силы, то такая система называется консервативной. Для нее W = Если работа внешних сил, действующих на консервативную систему равна нулю, то W = 0 или W = const, т.е. полная механическая энергия системы сохраняется.

П римеры. 1) Потенциальная энергия точки массы m, поднятой на высоту h над Землей (Рис.25а). Если материальная точка упадет с высоты h на нулевой уровень (т.е. уровень, для которого h = 0), то сила тяжести совершит работу A = mgh.

1 – состояние системы, когда материальная точка находится на высоте

0 - состояние системы, принятое за нулевое.

Поэтому на высоте h материальная точка обладает потенциальной энергией U = mgh + C. Постоянная С равна потенциальной энергии на нулевом уровне. Полагая ее равной 0, получим U = mgh

2 ) Потенциальная энергия растянутой пружины (Рис.25б)

U= где - жесткость пружины.

Если считать С=0, то U = 1/2 .

Рис.25б

3) Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух материальных точек.

По закону всемирного тяготения сила взаимодействия (притяжения) двух материальных точек с массами m₁ и m₂ находящихся на расстоянии r, равна

F = G

Пусть масса М остается неподвижной, а масса m приближается к ней из бесконечности в какую-нибудь точку r. Тогда гравитационные силы совершают работу

A_r =

По определению, потенциальная энергия это работа при переходе системы из заданной конфигурации в нулевую. Если считать за нулевую конфигурацию состояние системы, при котором материальная точка m находится на бесконечности, то получим

Потенциальную энергию на бесконечности обычно считают нулевой и тогда

U(R )

Если в качестве одного тела взять материальную точку, находящуюся на высоте h над поверхностью Земли, а в качестве другого тела ‑ Землю, то получим (в соответствии с выше приведенной формулой), что потенциальная энергия тела, поднятого на высоту h от поверхности Земли, равна

U = -G ,где R – радиус Земли

при условии, что U() = 0. С другой стороны, ранее мы вывели, что U= mgh при U(R) = 0 . Выражения разные, так как берутся разные нулевые уровни энергии. В первом случае нулевая потенциальная энергия берется на бесконечности, во втором случае нулевая потенциальная энергия берется на поверхности Земли (кроме того, во втором случае имеется ограничение на высоту h << R).

Ранее мы показали, что при выборе разных нулевых уровней (О и О’) потенциальной энергии между потенциальными энергиями и _’ существует связь Эта связь имеет место и в данном случае. Действительно, для тела массы m, находящегося на высоте h над поверхностью в соответствии с этой формулой:

Итак, если тело массы m движется со скоростью V, то его полная механическая энергия может быть выражена как U = , при условии что нулевой уровень потенциальной энергии берется на бесконечности.

1.5.4. Модель «Абсолютно твердое тело»

Так как абсолютно твердое тело может рассматриваться как частный случай системы материальных точек, то все законы, выведенные для системы материальных точек, справедливы и для абсолютно твердого тела.

Рассмотрим поведение абсолютно твердого тела, когда оно находится в движении и покое относительно какой-либо системы отсчета.

1.5.4.1. Движение тела

Частными случаями являются поступательное движение тела и вращательное движение тела вокруг оси. Поступательным движением тела называется движение, при котором отрезок прямой, проведенный между двумя любыми точками тела при движении тела перемещается, оставаясь параллельным самому себе.

Вращательным движением тела относительно оси называется такое движение, при котором траектории движения всех точек тела являются концентрическими окружностями с центром на одной прямой ‑ оси вращения.

В случае произвольного, так называемого плоского движения тела (движения, при котором все точки тела движутся в параллельных друг другу плоскостях), движение можно рассматривать как совокупность поступательного движения и вращения относительно неподвижной оси, перпендикулярной этим плоскостям. Часто удобно в качестве оси выбрать ось, проходящую через центр масс тела.

При поступательном движении все точки тела имеют одинаковые скорости и ускорения и движение тела можно описать уравнением

M =

где М - масса тела, - ускорение центра масс тела, F - внешние силы.

При вращательном движении тела вокруг оси радиусы-векторы (относительно оси) всех его точек за малый промежуток времени t поворачиваются на один и тот же угол , поэтому угловые величины (угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение) имеют одинаковые значения для всех точек тела и могут служить характеристиками вращения тела как целого.

Для вращательного движения точки ранее было получено уравнение

.

Чтобы получить уравнение вращательного движения тела вокруг оси, надо разбить тело на отдельные материальные точки m_i, записать уравнение движения для каждой точки и просуммировать по всем точкам. Получим

,

где - носит название момента инерции тела;

- суммарный момент внешних сил, действующих на тело; - угловое ускорение, одинаковое для всех точек тела.

Итак, .

Момент инерции тела находится с использованием математических операций

,

если учесть, что dm = (x, y, z) dV, где  - плотность, а dV – элемент объема, то формула для вычисления момента инерции тела имеет вид

.

Итак, чтобы описать плоское движение абсолютно твердого тела, надо составить уравнение движения его центра масс и уравнение вращательного движения тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Если тело движется в плоскости XOY, то эти векторные уравнения надо расписать в проекциях, использовав две системы отсчета: систему XYZ,, в координатной плоскости XOY которой движется центр масс тела, и систему X’Y’Z’, связанную с телом, у которой начало совпадает с центром масс тела, а оси параллельны координатным осям системы XYZ.

Итак:

1.5.4.2. Равновесие тела.

Если твердое тело находится в состоянии покоя, т.е. не движется в выбранной системе отсчета, то все его точки имеют постоянные радиус-векторы = const и скорость , равную нулю. Это приводит к условиям равновесия твердого тела

Характеристики

Список файлов лекций