Диссертация (1105317), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

3.1: Процедура генерации нового состояния: а — случайный выбор точки, в которойбудет изменено направление вектора намагниченности; б — поворот выбранного вектора на~ i осуществляется путем прибавления к нему вектора R~ i и последующеймагниченности Mkk~ i направлен случайным образом, а его модуль косвенно зависит отнормировки. Вектор Rkтекущего значения температуры Ti .висящую от номера шага. Достижение глобального минимума методом имитации отжига гарантировано для медленного логарифмического закона убываниятемпературы T i = T 0 / log(i). Однако на практике, с целью ускорения счета, широко используется другой закон, обеспечивающий более быстрое убывание температуры. Уменьшение температуры осуществляется путем умножения текущего значения на коэффициент, незначительно меньший единицы: T i+1 = ηT i .Мы воспользуемся вторым законом.Тестирование алгоритмаНачальная температура T 0 , коэффициент ее убывания η, общее число шагов N , начальное значение случайного добавочного вектора R0 , его коэффициент обратной связи τ и желаемое значение коэффициента принятия шага ξ [составляют полный набор параметров, управляющих работой алгоритма.

Подбор их значений осуществляется эмпирическим путем, до тех пор пока алгоритмминимизации энергии не будет решать тестовые задачи, для которых известныаналитические решения, с требуемой точностью.Кроме того, важным параметром являются начальные условия. Для моделирования доменных границ в качестве начальных условий использовалось88Рис. 3.2: Результаты тестирования метода для набора параметров (T 0 , η, N, R0 , τ, ξ [ ) =(15, 0.9995, 50000, 0.05, 0.005, 0.9): а — зависимость минимизируемой функции от номераитерации; б — зависимость z-компоненты безразмерного вектора намагниченности от координаты, нормированной на ширину доменной границы ∆. Сплошная линия — аналитическоерешение, квадраты — результаты численного моделирования.следующее распределение вектора намагниченности:m~ = (0, 0, −1) x < x0m~ = (0, 0, 1), x > x .(3.3)0Оно содержит в себе минимум необходимой информации: в точке x = x0 находится доменная граница.

Отметим, что сведений о киральности границы начальные условия не содержат.В качестве тестовой задачи использовалась задача о структуре доменнойграницы, обусловленной конкуренцией обменного взаимодействия и однооснойанизотропии, ось которой направлена перпендикулярно поверхности пленки.Зависимость z-компоненты вектора намагниченности от координаты известнаи задается формулой (1.3).На рисунке 3.2 а приведен график зависимости значения минимизируемойфункции (энергии микромагнитной структуры) от номера шага. Из графикаследует, что в начале работы алгоритма происходит рост энергии, связанный стем, что поворот любого вектора намагниченности, кроме двух центральных,направление которых противоположно, приведет к росту обменной энергии.

На89увеличенном фрагменте видно, что локальные возрастания энергии происходяти на меньших масштабах.Результат минимизации энергии — зависимость z-компоненты единичного вектора, задающего направление намагниченности — изображен на рисунке 3.2 б. Хорошо видно, что результат моделирования (квадраты) совпадает сфункцией, соответствующей аналитическому решению (сплошная кривая). Эта0функция имеет вид f (x) = cos(2 arctg(exp x−x∆ )). По результатам аппроксима-ции методом наименьших квадратов относительная погрешность параметра ∆,определяющего ширину доменной границы, составляет 0.004%, а относительнаяпогрешность параметра x0 равна 0.0002%.Энергия микромагнитной конфигурацииМинимизируемая функция представляла собой поверхностную плотностьсвободной энергии (в расчете на единицу площади доменной границы), полученную в результате интегрирования объемной плотности энергии по координате x.

При вычислении плотности свободной энергии учитывались следующиевклады [104]:• Обменная энергия [105]:wex = A (∇mx )2 + (∇my )2 + (∇mz )2 = −A(m~ · ∇2 m),~(3.4)где A — обменная константа, m~ — безразмерный единичный вектор, задающий направление вектора намагниченности.~• Зеемановская энергия взаимодействия с внешним магнитным полем H:~wZ = −Ms (m~ · H)(3.5)• Энергия наведенной магнитной анизотропии согласно модели [97]:wind = −Ku (m~ · ~nu )2 + Kr (m~ · ~nr )2 ,(3.6)где Ku , ~nu — константа и орт одноосной анизотропии, Kr , ~nr — константа90и орт ромбической анизотропии. При положительных значениях константKu , Kr > 0 орт ~nu задает направление оси легкого намагничивания, а орт~nr является нормалью к плоскости легкого намагничивания. Направленияортов ~ni будем задавать с помощью углов (θi , ϕi ), где i = u, r.• Энергия кубической магнитной анизотропии:wcub = −Kc [(m~ · ~a)2 (m~ · ~b)2 + (m~ · ~b)2 (m~ · ~c)2 + (m~ · ~c)2 (m~ · ~a)2 ],(3.7)где Kc — константа кубической анизотропии, ~a, ~b, ~c — орты вдоль кристаллических осей.• Энергия взаимодействия электрической поляризации, присущей микромагнитной структуре, с эффективным электрическим полем:~ 0 = −γχe Ms2 (m(∇~ 0,wme = −P~ E~· m)~ − (m~ · ∇)m)~ ·E(3.8)где P~ — вектор электрической поляризации, γ — коэффициент магнитоэлектрического взаимодействия, χe — диэлектрическая восприимчивость.~ 0 вводится как полярный вектор, хаЭффективное электрическое поле Eрактеризующий нарушение центральной симметрии кристалла.

Отсутствиецентральной симметрии может быть обусловлено неоднородностью процесса роста или деформациями пленки, вызванными подложкой.Отметим, что энергия полей размагничивания не входит в рассматриваемый функционал, поскольку экспериментальные образцы характеризуютсябольшими значениями констант ромбической анизотропии в плоскости пленки [96]. Величины полей размагничивания, как правило, пренебрежимо малыпо сравнению с эффективными полями этой анизотропии.913.3Поверхностный электрический заряд доменных границ3.3.1Плотность свободной энергииВведем безразмерную координату x = x/∆, где ∆ — параметр шириныдоменной границы, определяемый константами обменного взаимодействия иpодноосной анизотропии: ∆ = A/Ku . Будем считать, что эффективное элек~ 0 направлено по нормали к пленке: E~ 0 = (0, 0, E0 ).

Тогда длятрическое поле Eодномерной задачи плотность свободной энергии запишется в виде:∂ 2m~∂mx∂mzw(x) = −Ku m~ ·− wind − wcub − wZ − Ku mz− mx,∂x2∂x∂x(3.9)где введено обозначение = γχe Ms2 E0 /(Ku ∆) для безразмерного параметра,определяющего величину эффективного электрического поля. МинимизируеRмая функция представляет собой интеграл f = w(x)dx, то есть по сути является поверхностной плотностью свободной энергии в расчете на единицу площади доменной границы.

Предполагается, что распределение вектора намагниченности является однородным по оси y и по оси z в пределах [−h/2; h/2], гдеh — толщина пленки. Значения диэлектрической восприимчивости и константы неоднородного магнитоэлектрического эффекта составляют, согласно [100],χe = 4 и γ = 4 · 10−8 см3/2 с г−1/2 , соответственно.Электростатические свойства доменной границы будем характеризоватьRлинейной плотностью электрического заряда q = Pz dx на верхней поверхности образца в расчете на единицу длины границы. Соответствующий заряд нанижней поверхности образца равен −q, и доменная граница обладает дипольным моментом d~ = (0, 0, qh).

Сила, действующая на диполь со стороны неод~ =нородного электрического поля, созданного электродом, равна F~e = d~ ∇Eqh∂z Ez ∼ q. Величина смещения доменных границ из положения равновесия∆x, вызванного электрическим полем, известна из эксперимента. Смещение ∆xдолжно монотонно зависеть от силы F~e , поскольку определяется балансом этойсилы и неубывающей возвращающей силы магнитостатической природы. Следовательно, качественные особенности зависимостей заряда q и смещения ∆x92от параметров модели должны совпадать.~ 0 в поляризацию не учитываВклад эффективного электрического поля Eется, поскольку соответствующее распределение поверхностных зарядов является однородным, и не дает вклада в силу, действующую на доменную границув неоднородном электрическом поле.

Кроме того, не учитывается воздействиевнешнего электрического поля на доменную границу. Справедливость этого допущения обусловлена тем, что графики зависимости смещения границы ∆x отнапряженности магнитного поля Hx , снятые при различных полярностях напряжения на электроде U = ±U0 , совпадают с точностью до знака смещения∆x.Задачей моделирования является установление вида зависимости плотности электрического заряда на верхней поверхности образца в расчете на единицу длины границы от напряженности внешнего магнитного поля q(Hx ), направленного перпендикулярно границе и лежащего в плоскости пленки. Значения линейной плотности электрического заряда q нормированы на величинуq0 = e/мкм, равную заряду электрона на микрометр длины границы.3.3.2Влияние ромбической анизотропииРассмотрим вначале простейшую модель доменной границы, включающуюскос орта ромбической анизотропии — фактор, который не учитывался в геометрической модели, описанной в разделе 2.2.

Будем считать, что кубическаяанизотропия и эффективное электрическое поле отсутствуют (Kc = 0, = 0),а орт одноосной анизотропии направлен по нормали к пленке (θu = 0). Длявеличины константы ромбической анизотропии введем параметр κ = Kr /Ku .Направление орта ромбической анизотропии ~nr зададим углом ϕr , отсчитываемым в плоскости пленки от оси x (θr = π/2).На рисунке 3.3 представлены зависимости плотности поверхностного электрического заряда доменной границы от напряженности внешнего магнитногополя q(Hx ) для нескольких значений угла ϕr . При ϕr = 0◦ ромбическая анизотропия обуславливает блоховский характер разворота вектора намагниченности, поэтому в отсутствие магнитного поля электрический заряд границы равеннулю. При небольших значениях магнитного поля происходит рост абсолютной93Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации