Диссертация (1104792), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Действительно, из (2.56)γα~ α~ 3 α~ 4 (L−1 )(2.56)= ∆α~ + ∆α~ 3 − ∆α~ 4 =(~α3 + α~ 4 )2 + α~ 32 − α~ 42=α~ 3 (~α3 + α~ 4 ) = −~αα~32(2.117)43где дважды использовался закон сохранения α~ +α~3 +α~ 4 = ~0. Аналогично, для (2.78) (2.56)(2.116)22γα~ α~ 3 α~ 4 (W−1 ) = 3 − (α − β )α3 + 2αββ3=(2.118)= wα~ + wα~ 3 + wα~ 4 + 3 (α32 − β32 )α − 2α3 β3 β ,Последнее равенство является тождеством, если учесть, что α~ +α~3 +α~ 4 = 0.

Последняя скобка в правой части является прямым аналогом (2.115) для другого расположения оператора W−1 . Этот случай также возможно рассмотреть с помощью теориисвободных полей:DE (2.110)~~~~φ~ 3 φ(1)~ 4 φ(∞)◦ α◦◦ α◦◦ α◦e(0)Wee=◦◦−1 ◦◦◦◦ED~~~~ 4 φ(∞)α~ 3 φ(1)2~φ2◦◦ ◦ α◦ α◦ ◦== ◦ e (0) ◦ ◦ 3(α3 − β3 )∂φ1 − 6α3 β3 ∂φ2 e◦◦ ◦ eDE~~~= 3(α32 − β32 )α − 6α3 β3 β ◦◦ eα~ φ (0) ◦◦ ◦◦ eα~ 3 φ(1) ◦◦ ◦◦ eα~ 4 φ(∞) ◦◦ .(2.119)По аналогии с (2.115) дают вклад в ответ только спаривания полей в точках z = 0и z3 = 1. Производная в этом случае берется по z3 , поэтому знак минус отсутствует.Наконец, совместив (2.113) и (2.116), можно получить6αβα1 +3(α2 −β 2 )β1−1Cαα,1Lα−1γα~ α~ 3 α~ 4 (L−1 ) + Cαα,1W+~α~ 3α~ 4 (W−1 ) = −(αα3 + ββ3 )α2 γα23β(3α2 −β 2 )αβ−αβ11+3 − (α2 − β 2 )α3 + 2αββ3 3β(3αα1 α~ 3,2 −β 2 ) = −α1 α3 − β1 β3 = −~(2.120)что согласуется с (2.83).Модели с c 6= 2Важное отличие в данном случае состоит в деформации операторов:(∂φ1 )2 +(∂φ2 )22+ Q∂ 2 φ2 , W = ∂φ1 (∂φ1 )2 − 3(∂φ2 )2 −T =3Q222∂φ1 ∂ φ2 + 3∂φ2 ∂ φ1 −3Q2 3∂ φ2 ,2(2.121)где центральный заряд, соответственно, равен c = 2(1 − 6Q2 ), и операторное разложение (2.107) остается неизменным.

Оператор тензора энергии-импульса действуетна примарные поля следующим образомT (x)◦◦~eα~ φ(0)◦◦=~~eα~ φ(0) ◦◦ + x1 ◦◦ ∂eα~ φ (0) ◦◦ + kP~~∂ k+2 φeα~ φ (z2 ) ◦◦ .+ k≥0 xk ◦◦ ∂k!T + α~(k+1)!α2 +β 2 −2Qβ ◦◦2x244(2.122)Таким образом~ ◦for n > 0,◦ = 0,22222~~ ◦~~~φ◦ αL0 ◦ e ◦ = ∆α,β ◦◦ eα~ φ ◦◦ = α +β 2−2Qβ ◦◦ eα~ φ ◦◦ = α +β̃2 −Q ◦◦ eα~ φ ◦◦,~L−1 ◦◦ eα~ φ ◦◦ = ◦◦ (α∂φ1 + β∂φ2 )e(αφ1 +βφ2 ) ◦◦, (αφ +βφ ) ◦~212L−2 ◦◦ eα~ φ ◦◦ = ◦◦ 21 (∂φ1 )2 + 12 (∂φ2 )2 + α∂ 2 φ1 + (β + Q)∂φ2 e◦,~L2−1 ◦◦ eα~ φ ◦◦ = ◦◦ (α(∂φ1 ) + β(∂φ2 ))2 + α∂ 2 φ1 + β∂ 2 φ2 e(αφ1 +βφ2 ) ◦◦,Ln◦◦eα~ φ◦◦L−3~ ◦◦eα~ φ=◦◦(2.123)∂φ1 ∂ 2 φ1 + ∂φ2 ∂ 2 φ2 + α2 ∂ 3 φ1 + ( β2 + Q)∂ 3 φ2 e(αφ1 +βφ2 ) ◦◦ .Аналогично,~ ◦◦~ ◦~φ◦ αW0 ◦ e ◦Wn◦◦eα~ φ= 0,for n > 0,= wα,β◦◦~ ◦◦W−1◦◦eα~ φW−2◦◦eα~ φ~ ◦◦~ ◦◦~ ◦◦2= α(α2 − 3β 2 + 6Qβ − 3Q2 ) ◦◦ eα~ φeα~ φ=~= α(α − 3β̃ 2 ) ◦◦ eα~ φ ◦◦,= ◦◦ 3 (α2 − β 2 + 21 Qβ)∂φ1 − 21 α(4β − 3Q)∂φ2 e(αφ1 +βφ2 ) ◦◦,◦= ◦ 3 α(∂φ1 )2 − 2β∂φ1 ∂φ2 − α(∂φ2 )2 + (α2 − β 2 − Qβ)∂ 2 φ1 −−α(2β − Q)∂ 2 φ2 e(αφ1 +βφ2 ) ◦◦ .(2.124)Часто удобно использовать сдвинутые переменные β̃ = β − Q, так как размерностиполей в этом случае имеют более простую формулу:α2 + β̃ 2 − Q2∆=,2w = α(α2 − 3β̃ 2 ).(2.125)Законы сохранения для n-точечного коррелятора при этом устроены какnXαi = 0,i=1nXβ̃i = (2 − n)Q.(2.126)i=1С помощью двукратного применения оператора W можно получить, что2~~W1 W−1 ◦◦ eα~ φ ◦◦ = 9(α2 + β 2 − 2Qβ) α2 + β 2 − 2Qβ + 3Q4 ◦◦ eα~ φ ◦◦ ==9D∆ ◦2~ ◦α~φ◦◦ e=9D2(2.127)L0 ◦◦~eα~ φ ◦◦,где3Q2D = 4 α + β − 2Qβ +4223Q2= 8 ∆α,β +8(2.128)это особая величина в теории с алгеброй W (3) .

Также~ ◦◦~φ◦ αW0 W−1 ◦ e== 3α α2 − 3β 2 + 6Qβ − 3Q2 (α2 − β 2 + 21 Qβ)∂φ1 − 2α β − 3Q∂φ2 +4 ◦ α~ φ~ ◦3Q222+18 α + β − 2Qβ + 4 (α∂φ1 + β∂φ2 ) = wW−1 + 9DL−1◦ e◦,245(2.129)где D, определяемое (2.128), входит также и в (2.127). Эти соотношения, (2.127) и(2.129), верны и для произвольной теории с W (3) симметрией (а не только для теориисвободных полей):W0 W−1 −→ wW−1 +9DL−1 ,2W1 W−1 −→9DL0 ,2(2.130)где стрелка обозначает, что соотношение выполняется, если операторы действуютна примарные поля. Наконец,~L−1 W−1 ◦◦ eα~ φ ◦◦ = 3 α(α2 − β 2 + 21 Qβ)(∂φ1 )2 − (α2 + β 2 )β−12− Q2 (3α2 + β 2 ) ∂φ 1 ∂φ2 − 2 αβ(4β − 3Q)(∂φ2 ) +~+(α2 − β 2 + 12 Qβ)∂ 2 φ1 − 21 α(4β − 3Q)∂ 2 φ2 e(αφ1 +βφ2 ) ◦◦ = ∂ W−1 ◦◦ eα~ φ ◦◦и1W2 ◦9 −1 ◦~ ◦◦α2 − β 2 + 21 Qβα2 − β 2 + 1 + 12 Qβ (∂φ1 )2 −− 4αβ(α2 − β 2 − 1) + Qα(−3α2 + 5β 2 + 3) − 23 Q2 αβ ∂φ1 ∂φ2 ++ 4α2 β 2 − α2 + β 2 − Qβ(6α2 + 12 ) + 94 Q2 α2 (∂φ2 )2 +3 222+ 2α(α + β ) − Qαβ − 4 Q α ∂ 2 φ1 ++ 2β(α2 + β 2 ) − 21 Q(α2 + 7β 2 ) + 45 Q2 β ∂ 2 φ2 .eα~ φ=(2.131)(2.132)Корреляторы могут быть напрямую вычислены с применением полученных формул.Таким образом можно проверить, что соотношения из раздела 2.9.1 действительновыполняются в модели свободных полей.Вершины Γ̄ на первом уровне в случае одного поляРассмотрим процедуру построения тройных вершин Γ̄ в свободной теории.

Даннаяпроверка несколько сложнее, чем предыдущие, так как в теории свободных полейчетко определены только структурные константы C. Они связаны с вершинами Γ̄посредством матрицы Шаповалова. К счастью матрица Шаповалова — хорошо изученный объект, и потому не требует такой подробной проверки, как другие величины. Она зависит только от параметра α промежуточного состояния.В случае, когда в модели есть только одно свободное поле, первый уровень устроен довольно просто. Размер матрицы Шаповалова равен 1 × 1, и ее единственныйэлемент представляется(2.8)hL−1 Vα |L−1 Vα i = hVα |L1 L−1 Vα i =D EVα | L−1 L1 + 2L0 Vα(2.104)== 2∆α hVα |Vα i = 2∆α = 2∆α46(2.133)Из этого соотношения и структурных констант (2.87) из модели свободных полейполучаются следующие ответы для γ̄:−1γ̄α1 α2 ;α (L−1 ) = Cαα,LhL−1 Vα |L−1 Vα i1 α2(2.87)и(2.133)=α1αδα,α1 +α2 ·2α(α − 2Q)=2= α1 (α1 + α2 − 2Q),(2.134)что согласуется с (2.51), которая предполагает следующий ответγ̄α1 α2 ;α (L−1 )(2.51)=2=α=α1 +α2∆α + ∆1 − ∆2(α1 + α2 ) − 2Q(α1 + α2 ) +α12=− 2Qα1 − (α22 − 2Qα2 )2(2.135)== α1 (α1 + α2 − 2Q).Также с помощью теории свободных полей можно проверить еще одно важноесоотношение (2.50):hVα̂ | (L−1 V1 )(1) V2 (0)i = ∆α̂ − ∆1 − ∆2 hVα̂ | V1 (1)V2 (0)i .Рассмотрим случай, когда V1 =◦◦e α1 φ◦◦и V2 =◦◦eα2 φ◦◦.

Тогда L−1 V1 =(2.136)◦◦α1 ∂φeα1 φ◦◦= ∂V1 и операторное разложение (2.28) устроено как◦◦α1 ∂φeα1 φ (z) ◦◦= z α1 α2 −1 α1 α2 ◦◦ e(α1 +α2 )φ (0) ◦◦ +z ◦◦ α1 (1 + α1 α2 )∂φeeα2 φ (0) ◦◦ =(0) ◦◦ + . . . .◦◦(α1 +α2 )φ(2.137)Отметим, что изначально первое слагаемое в правой части было равно α1 α2 ◦◦ e(α1 φ(z)+α2 φ(0)) ◦◦,и его разложение по степеням z содержит все члены любого порядка в разложении идает, в том числе, поправку ко второму порядку разложения по z.

Обозначив такжеVα = ◦◦ eαφ◦◦, где α = α1 + α2 , можно получитьα1 (1 + α1 α2 )α1 α2 −1(L−1 V1 )(z) V2 (0) = zα1 α2 Vα (0) + zL−1 Vα (0) + . . .α1 + α2(2.138)иhVα̂ |(L−1 V1 )(1)V2 (0)i = α1 α2 hVα̂ |Vα (0)i +α1 (1 + α1 α2 )hVα̂ |L−1 Vα (0)i + . . .α1 + α2(2.139)Из-за того, что координаты полей в правой части — это точка 0, необходимые матричные элементы входят в матрицу Шаповалова, которые указаны для первого уровня выше. Подставив Vα и L−1 Vα for Vα̂ , можно получитьhVα | (L−1 V1 )(1) V2 (0)i = α1 α2 δα,α1 +α2 ,hL−1 Vα | (L−1 V1 )(1) V2 (0)i =α1 (1+α1 α2 )α1 +α2hL−1 Vα | L−1 Vα1 +α2 i=47α1 (1+α1 α2 )α1 +α2(2.133)=· 2∆α δα,α1 +α2 .(2.140)Коэффициенты в правой части этих формул равныα1 α2 = ∆α − ∆1 − ∆2 =(α1 + α2 )2 − 2Q(α1 + α2 ) + α12 − 2Qα1 + α22 − 2Qα2(2.141)2иα1 (1+α1 α2 )α1 +α2· (α1 + α2 )2 − 2Q(α1 + α2 ) = (1 + α1 α2 )α1 (α1 + α2 − 2Q) =(2.141)и(2.135)=(∆α + 1 − ∆1 − ∆2 )(∆α + ∆1 − ∆2 ) =(2.142)= (∆α,L−1 − ∆1 − ∆2 )(∆α + ∆1 − ∆2 ),соответственно, что согласуется с (2.136).

Наличие двух слагаемых в правой части(2.142) связано с тем, что (2.136) — это рекурсивное соотношение:(2.136)hL−1 Vα |(L−1 V1 )(1)V2 (0)i =∆α,L−1 − ∆1 − ∆2 hL−1 Vα |V1 (1)V2 (0)i =(2.51)=∆α,L−1 − ∆1 − ∆2 ∆α + ∆1 − ∆2 hVα | V1 (1)V2 (0)i .(2.143)Вершины Γ̄ на втором уровне в случае одного поляНа втором уровне размер матрицы Шаповалова равен 2 × 2, а ее элементы:E (2.8)E D DL2−1 Vα L2−1 Vα = Vα L21 L2−1 Vα =D E= Vα L1 L−1 L1 L−1 + 2L1 L0 L−1 Vα =D E (2.104)= Vα 2L1 L−1 ∆α + 2L1 L−1 + 2L1 L−1 ∆α Vα=D E= 8∆2α + 4∆α Vα Vα = 8∆2α + 4∆α ,(2.8)hL−2 Vα |L−2 Vα i = hVα |L2 L−2 Vα i =D E (2.104)== Vα L−2 L2 + 21 − 6Q2 + 4L0 Vα 2 L−1 Vα |L−2 Vα = L−2 Vα |L2−1 Vα =12(2.144)− 6Q2 + 4∆α ,(2.8)= hVα |L1 L1 L−2 Vα i = 3 hVα |L1 L−1 Vα i = 6∆α .Используя эти выражения, а также структурные константы, обобщающие (2.99) приc 6= 1, возможно построить тройные вершины Γ̄:α,L2−1 α,L−22γ̄α1α2 ;α (L−2 ) =ChLV|LVi+CLV|LV=αα−2α−2α−2αα12αα−1 1 2 α1 (2α1 (α+Q)−1) α(α−2Q) α1 α2126 2== 2α(α+Q)−1 2 + 4α(α − 2Q) − 6Q + 2α(2α(α+Q)−1)=α1(3α12(2.145)+ 2α2 − 6Q)и 2α,L2−1 2α,L−22γ̄α1α2 ;α (L2−1 ) =CLV+CLV= α1 α2α |L−2 Vαα |L−1 Vααα−1−112 α1 α21 (2α1 (α+Q)−1)= 2α(α+Q)−16 α(α−2Q)+ α2α(2α(α+Q)−1)4 α(α−2Q)(2 α(α−2Q)+ 1) =222= α1 (α12 + α1 α2 − 2α1 Q + 1)(α1 + α2 − 2Q),48(2.146)что согласуется с (2.51), которая предполагает в данном случае следующие выражения:(2.51)γ̄α1 α2 ;α (L−2 )==α=α1 +α2∆α + 2∆1 − ∆2=(α1 +α2 )2 −2Q(α1 +α2 )+2α21 −4Qα1 −(α22 −2Qα2 )2=α1(3α12+ 2α2 − 6Q)(2.147)иγ̄α1 α2 ;α (L2−1 )(2.51)=(∆α + ∆1 − ∆2 )(∆α + ∆1 − ∆2 + 1)α=α1 +α2=(α1 +α2 )2 −2Q(α1 +α2 )+α21 −2Qα1 −(α22 −2Qα2 )=2×222(α1 +α2 ) −2Q(α1 +α2 )+α1 −2Qα1 −(α2 −2Qα2 )×+1 =2= α1 (α12 + α1 α2 − 2α1 Q + 1)(α1 + α2 − 2Q).(2.148)Вершины Γ̄ в случае двух полейВ этом случае размер матрицы Шаповалова также равен 2 × 2, и ее значения даютсякоммутационными соотношениями алгебры W (3) :Q=2∆3w3w9D∆/2!.(2.149)Выражения для Γ̄ могут, таким образом, быть построены с помощью матрицы Шаповалова и (2.113), обобщенной на случай c 6= 2:−1−1γ̄α1 α2 ;α (L−1 ) = Cαα,LhL−1 Vα |L−1 Vα i + Cαα,WhL−1Vα |W−1 Vα i =1 α2 1 α2−4α1 αβ+3α1 αQ−2β1 α2 +2β1 β 2 −β1 Qβ2 α(α−2Q)+−6α2 β+3α2 Q+2β 3 −Qβ 222(αβ1 −α1 β)+ 3(−6α2 β+3α(3α(α2 − 3β 2 + 6Qβ − 3Q2 )) =2 Q+2β 3 −Qβ 2 )α2 +β 2 +α21 +β12 −α22 −β22 −2Qβ−2Qβ1 +2Qβ2=,2=(2.150)что согласуется с (2.51)γ̄α1 α2 ;α (L−1 )(2.51)=∆α + ∆1 − ∆2α=α1 +α2=α2 +β 2 +α21 +β12 −α22 −β22 −2Qβ−2Qβ1 +2Qβ2.2(2.151)Также возможно рассмотреть и hVα̂ |(W−1 V1 )(1) V2 (0)i.

Характеристики

Список файлов диссертации