Диссертация (1104792), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В разделе5.1 описан известный алгоритм вычисления полиномов узлов в фундаментальномпредставлении, использующий свойства R-матриц. В разделе 5.2 приведен известный ответ для полиномов ХОМФЛИ для торических узлов — единственной серии,для которой известен наиболее общий ответ в произвольном представлении.В разделе 5.3 рассмотрена связь между теорией Черна-Саймонса, в частностиполиномами ХОМФЛИ, и τ -функциями КП, возникающими в наиболее изученныхинтегрируемых системах (τ -функции такого типа являются решениями уравненийиерархии КП — обобщенных уравнений Кадомцева-Петвиашвили).
Описаны свойства τ -функций КП. Для определения интегрируемых свойств полиномов ХОМФЛИиспользуются так называемые обобщенные полиномы ХОМФЛИ, которые получаются с помощью обобщения разложения по характерам для стандартных полиномовХОМФЛИ (1.18),HTK =XSQ {t}hTQ (q).(1.21)Q`n|T |Доказано, что производящая функция обобщенных полиномов ХОМФЛИXXHTK {t}ST {t̄} =hTQ SQ {t̄}ST {t}HK {t|t̄} =(1.22)T,QTдля торических узлов является тау-функцией τ {t}. Показано, что данное свойство13не выполняется при рассмотрении простейших неторических узлов.В разделе 5.4 построен полином ХОМФЛИ в произвольном симметрическомпредставлении для узла-восьмерки. Приведены аргументы в пользу предложенногоответа.
Построены соответствующие полиномы Оогури-Вафы. Построен полиномХОМФЛИ для узла-восьмерки в произвольном антисимметрическом представлении.Построены соответствующие цветные суперполиномы.В заключении описаны основные результаты диссертации.1.2Результаты, выносимые на защиту диссертации• Найдены рекурсивные соотношения для корреляторов трех полей конформнойтеории поля с операторами алгебры W (3) .• Проверена гипотеза АГТ для четырех-, пяти- и шеститочечных конформныхблоков типа гребенки на двумерной сфере в первых трех порядках разложенияпо двойным отношениям координат полей конформной теории. Доказано, чтодля конформных блоков типа гребенки с большим числом полей гипотеза АГТв первых трех порядках сводится к рассмотренным случаям четырех-, пяти- ишести полей.• Проверена гипотеза АГТ для одноточечного конформного блока на двумерномторе в первом порядке разложения по двойным отношениям координат полейконформной теории.
Построено выражение для одноточечного конформногоблока на двумерном торе в любом порядке разложения в пределе большойразмерности внешнего поля. Проверено, что в таком пределе выражения совпадают с аналогичным пределом для четырехточечного конформного блока надвумерной сфере.• Проверено, что в первых порядках разложения по двойным отношениям координат полей конформной теории структурные константы свободной теории совставками экранирующих полей Доценко-Фатеева совпадают со структурнымиконстантами конформной теории поля.• Показано, что обобщенные полиномы ХОМФЛИ торических узлов удовлетворяют уравнениям Плюккера и, тем самым, что производящая функция обобщенных полиномов ХОМФЛИ торических узлов является тау-функцией уравнения КП.• Построен полином ХОМФЛИ в произвольном симметрическом и антисимметрическом представлении для узла-восьмерки.14БлагодарностиЯ хотел бы выразить особую благодарность своему научному руководителю Владимиру Викторовичу Белокурову за неоценимую поддержку и критические замечанияв процессе подготовки данной работы.Я выражаю благодарность своим соавторам В.А.Альбе, Х.Итояме, А.Д.Миронову,С.А.Миронову и А.Ю.Морозову.
Также я выражаю признательность за полезные обсуждения и замечания А.С.Анохиной, Г.А.Аминову, С.М.Апенко, С.Б.Артамонову,Э.Т.Ахмедову, Ф.А.Бурде, Д.В.Васильеву, Д.М.Галахову, А.Л.Городенцеву, А.С.Горскому,И.А.Даниленко, В.В.Долотину, И.А.Дынникову, П.И.Дунину-Барковскому, Е.А.Зенкевичу,А.В.Зотову, М.Э.Казаряну, И.М.Кричеверу, С.К.Ландо, А.В.Маршакову, Н.А.Немкову,Т.Е.Панову, И.В.Полюбину, Ф.К.Попову, А.В.Пополитову, А.А.Рослому, В.А.Рубакову,А.В.Смирнову, А.В.Слепцову, В.Г.Тураеву, Е.А.Фоминых, C.М.Харчеву, С.М.Хорошкинуи Ш.Р.Шакирову. Кроме того я благодарен всему коллективу кафедры физики частиц и космологии МГУ имени М.В.Ломоносова за доброжелательность и созданиеуникальной творческой атмосферы.Я признателен Е.С.Сусловой за помощь и поддержку, оказанную в процессе подготовки этой работы.15Глава 2Конформная теория поляВ данной главе описаны основные принципы и даны определения основных элементов конформной теории поля.
Также рассмотрена свободная теория бозонных полей и вычисления с помощью этой теории.Также описаны свойства алгебры W (3) , тройных вершин и конформных блоков,построенных с ее помощью. Получены рекурсивные формулы для тройных вершинс алгеброй W (3) . Выполнена проверка полученных результатов с помощью методовсвободной теории поля.Конформными называются теории, инвариантные относительно конформных преобразований. В случае двумерной теории на двумерной сфере эти преобразованиямогут быть записаны, какāz̄ + b̄az + b, z̄ 0 =,cz + dc̄z̄ + d¯где z и z̄ — координаты на комплексной плоскости.z0 =(2.1)Основным объектом изучения в конформной теории поля являются взаимно локальные поля Ai (zi , z̄i ) и их корреляторыhA1 (z1 , z̄1 )A2 (z2 , z̄2 )A3 (z3 , z̄3 )...iCF T .Корреляторы зависят от координат zi и z̄i и размерностей полей и являются линейными функциями по всем полям, в них входящим.Поля образуют алгебру с операторным разложениемXAi (zi , z¯i )Aj (zj , z̄j ) =C̃ijk (zi , z̄i ; zj , z̄j )Ak (zj , z̄j ).(2.2)kЭти соотношения следует понимать следующим образом: в любом корреляторе произведение любых двух полей можно заменить на соответствующую ему сумму.
Конформная инвариантность теории при этом накладывает определенные условия на16коэффициенты C̃ijk (zi , z̄i ; zj , z̄j ). Из трансляционной симметрии следует, что эти коэффициенты не зависят от конкретных координат, а зависят только от zij = zi − zjи z̄ij = z̄i − z̄j . Конформная инвариантность дает конкретный вид этой зависимости:C̃ijk (zi , z̄i ; zj , z̄j ) =Cijk¯¯(2.3)¯zij∆1 +∆2 −∆k z̄ij∆1 +∆2 −∆kгде Cijk — комплексные числа, называемые структурными константами, они зависятот выбора конкретной конформной теории.Пространство полей содержит симметричный бесследовый оператор тензора энергииимпульса T µν (z, z̄), удовлетворяющий уравнению непрерывности ∂µ hT µν (z, z̄)Xi = 0.Этот оператор возможно свести к двум независимым операторам: T (z) = T zz и сопряженному к нему T̄ (z̄) = T z̄z̄ .
Благодаря данному свойству оператора тензораэнергии импульса, а также свойствам корреляторов теории, оказывается возможным рассматривать по отдельности голоморфную (то есть зависящую от z) и антиголоморфную (зависящую от z̄) части теории. Так, четырехточечный коррелятор(коррелятор четырех полей) при добавлении промежуточного поля распадается вкомбинацию структурных констант теории, а также голоморфной и антиголоморфной части, которые называются голоморфным и антиголоморфным конформнымиблоками соответственно [72]:P ∆,∆¯ ∆,∆¯V∆1 ,∆¯ 1 (z1 , z̄1 )V∆2 ,∆¯ 2 (z2 , z̄2 )V∆3 ,∆¯ 3 (z3 , z̄3 )V∆4 ,∆¯ 4 (z4 , z̄4 ) CF T =C12 C34 ׯ∆,∆(2.4)¯ 1, ∆¯ 2, ∆¯ 3, ∆¯ 4 , c, z̄1 , z̄2 , z̄3 , z̄4 ),×B∆ (∆1 , ∆2 , ∆3 , ∆4 , c, z1 , z2 , z3 , z4 )B̄∆¯ (∆¯ — размерностигде ∆ — размерности полей, определенные ниже в (2.128), а ∆ и ∆промежуточного поля, которое добавляется при построении конформного блока (см.раздел 2.4).
Структурные константы, входящие в данное выражение, определяют зависимость от конкретной теории, а конформные блоки B и B̄ могут быть построены,исходя только из конформных свойств теории. Голоморфный конформный блок Bзависит только от голоморфных размерностей ∆ и координат z, а также от центрального заряда теории c. Корреляторы большего числа полей также допускаютаналогичное построение, включающее в себя разложение на произведение голоморфного и антиголоморфного конформных блоков, а также части зависящей от теории(в данном случае она описывается произведением двух структурных констант, нопри большем числе полей она содержит большее число элементов).
Конформныйблок, соответствующий коррелятору n полей, называют n-точечным конформнымблоком.В данной работе будет рассматриваться только голоморфный конформный блок,но все рассуждения и вычисления для антиголоморфного конформного блока могут17 mn n n mh nnmmm=+ =mh n=12mh n nhm Рис. 2.1: Вычисление коммутатора с помощью процедуры изменения контуров интегрирования.быть проделаны аналогичным образом. Операторное разложение для голоморфнойчасти оператора тензора энергии-импульса T (z) устроено какT (z1 )T (z2 ) =несингулярная21c+T(z)+∂T(z)+.22422z12z12z12часть(2.5)Комплексное число c называется центральным зарядом теории.
Оператор тензораэнергии-импульса задает алгебру Вирасоро. Операторы Вирасоро Ln определеныкак коэффициенты ряда Лорана в разложении действия оператора тензора энергииимпульса:∞XLn (z)T (z1 )A(z2 ) =A(z2 ).z n+2n=−∞ 12(2.6)Исходя из этого определения можно получить также интегральную формулу длядействия оператора Вирасоро:Ih(L−n A1 (z1 ))A2 (z2 )...i =dxhT (x)A1 (z1 )A2 (z2 )...i .xn−1(2.7)z1Будем называть операторы Вирасоро с положительными n положительными, а сотрицательными — отрицательными.Как следствие (2.5), операторы Вирасоро образуют алгебру Вирасоро с коммутационным соотношением[Lm , Ln ] =m(m2 − 1)δn+m,0 + (m − n)Ln+m .12(2.8)Это соотношение можно получить следующим образом: если операторы Вирасородействуют на поле в некоторой точке z3 , тогда из формулы (2.7)IIIIm+1n+1n+1m+1[Lm , Ln ] =z13 T (z1 )dz1 z23 T (z2 )dz2 −z13 T (z1 )dz1 z23T (z2 )dz2 , (2.9)z2 +z3z3z2 +z318z3где контур интегрирования для оператора, который действует вторым, охватываетконтур для другого оператора.
Если поменять контуры местами в первом слагаемом,то получается следующее выражение (см рис.2.1):H n+1Hm+1[Lm , Ln ] = z23T (z2 )dz2 dz1 z13T (z1 )dz1 +z3z2!H+m+1z13T (z1 )dz1z3Hn+1z23T (z2 )dz2 −z1 +z3Hn+1z13T (z1 )dz1z2 +z3Hm+1z23T (z2 )dz2=z3. (2.10)==1212Hdz2Hz3z2HHdz2z3dz1m+1 n+1z13z23dz1m+1 n+1z13z23−n+1 m+1z13z23−n+1 m+1z13z23z2T (z1 )T (z2 ) =142z12+2T (z2 )2z12+∂T (z2 )z12Самая первая скобка (после первого равенства) в данном выражении обращается вноль (для этого достаточно поменять обозначения для переменных интегрированияz1 ↔ z2 в одном из слагаемых), в оставшееся слагаемое дают вклад только расходящиеся по z12 компоненты из (2.5).
Таким образом, правую часть (2.8) можнополучить с помощью ассиметризации и интегрирования по z1 .Любое векторное поле является собственным вектором нулевого оператора Вирасоро L0 , при этом соответстввующее собственное значение называется размерностьюполя. Таким образом, размерность поля при действии оператора L−n увеличиваетсяна n. Поля, действие любыми положительными операторами Вирасоро на которыедает ноль, называют примарными:L0 V∆ = ∆V∆ ,для любых полей,Ln V∆ = 0, ∀n > 0,для примарных полей.(2.11)Поля полученные с помощью действия отрицательных операторов Вирасоро называются потомками данного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
