Диссертация (1104792), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Гипотеза АГТ-предполагает существование определенныхсоотношений между конформными блоками и функциями Некрасова. Для линейnNной теории сU (2) калибровочными группами функция Некрасова (см. рис.3.1)i=1вычисляется по следующей формуле:QP~i ||Yn~i ) Zfund (~a1 , Y~1 , µ1 )×qZ(~a,YZinst = Y~1 ,Y~2 ,...,Y~nvectorii=1 iQn−1~~Z(~a,Y;~a,Y;m)××Zfund (~a1 , Y~1 , µ2 )bifund ii i+1i+1ii=1×Zfund (~an , Y~n , µ3 )Zfund (~an , Y~n , µ4 ),(3.3)где ~ai = (ai,1 , ai,2 ) — элементы, стоящие на диагонали скалярного поля в присоединенном представлении, Y~i = (Yi1 , Yi2 ) — пара диаграмм Юнга, фиксирующихконкретный инстантон, qi связаны с константами теории:qi = e2πiτi , τi =4πiθi+.2gi2π(3.4)gi и θi — константа связи и топологический заряд, соответствующие i-й группе U (2).mi — это масса бифундаментального мультиплета, заряженного по отношению кгруппам U (2)i и U (2)i+1 .
µ1,2,3,4 — массы фундаментальных полей, заряженных поотношению к одной группе, U (2)1 или U (2)n .Из-за того, что инстантонная статистическая сумма факторизуется, оказываетсяудобным представлять ее с помощью диаграммы. Если внешняя линия соединяется с одной внешней и одной внутренней линиями, то ей сопоставляется фундаментальный мультиплет и Zf und (~a, Y~ , µ), а если с двумя внутренними, то бифундаментальный мультиплет и Zbif und (~ai , Y~i , ~ai+1 , Y~i+1 , mi ). Внутренней линии соответствует56β6akβT = 6i?s = (α, β) = (3, 7)kα = 9α-?Рис.
3.2: Диаграмма Юнга [14, 12, 9, 8, 8, 7, 6, 2, 2, 1]. s = (α, β) — мультииндекс (координатаклетки в диаграмме Юнга), kβT (Y ), kα (Y ) — высота и длина соответствующих столбца иряда в диаграмме Юнга (так, α = 3, β = 7 в примере на рисунке)Zvector (~a, Y~ ). Каждая внутренняя линия содержит два вектора, описывающих вакуумной среднее ~ai и диаграммы Юнга Y~i , соответствующие группе U (2)i . Так простейшему случаю для полей на двумерной сфере соответствует диаграмма на рис.3.1.Для различных составляющих функции Некрасова известны точные ответы:2~ ; m) = Q Q (E(ai − bj , Yi , Wj , s) − m)×Zbifund (~a, Y~ ; ~b, Wi,j=1 s∈YiQ×( − E(bj − ai , Wj , Yi , t) − m),(3.5)t∈WjE(a, Y1 , Y2 , s) = a + 1 kjT (Y1 ) − i + 1 − 2 (ki (Y2 ) − j),(3.6)где kjT (Y ), ki (Y ) — это высота столбца и длина строки в диаграмме Юнга Y (см.рис.3.2), = 1 + 2 .
Из этого выражения можно получить ответы для Zadj и Zvector :Zadj (~a, Y~ , m) = Zbifund (~a, Y~ , ~a, Y~ , m),Zvector (~a, Y~ ) =1~ ,0) ,Zadj (~a,Y(3.7)Q QZfund (~a, Y~ , m) = 2i=1 s∈Yi (φ(ai , s) + m),φ(a, s) = a + 1 (i − 1) + 2 (j − 1).Ответ для инстантонной статистической суммы строится по диаграмме согласноследующим правилам: каждой внешней линии сопоставляется Zf und , каждому внутреннему каналу сопоставляется Zvec , а каждой внешней линии, разделяющей двавнутренних канала, сопоставляется Zbif und .573.2АГТ-соотношение для конформных блоков насфере3.2.1U (1)-факторВыражения для функции Некрасова, описанные в разделе 3.1, задают инстантонmNную статистическую сумму с калибровочной группойSU (2), где m связано с конi=1кретной конфигурацией массивных мультиплетов суперсимметричной теории. В тоже время гипотеза АГТ подразумевает связь с теорией с калибровочной группойmNU (2).
Таким образом, возникает необходимость в добавлении к функциям Некраi=1сова множителя, соответствующего U (1)-фактору. В работе [11] приведен вид такогомножителя, соответствующего функции Некрасова, связанной с четырехточечнымконформным блоком (то есть с голоморфной частью коррелятора четырех полей).В случае произвольного числа полей этот фактор устроен как!−νj+i(i−1)/2m Yi−3i−3YYU (1)Zm=1−xk.i=1 j=1(3.8)k=i−j+1При этом при рассмотрении АГТ-соотношения для n-точечного конформногоблока необходим U (1)-фактор с m = n − 3.3.2.2Четырехточечный конформный блокα0 , xβ0 , 0α1 , 1β2 , ∞β1 , 0Благодаря конформной симметрии возможно зафиксировать три точки.
Еслизафиксировать точки z1 = 0, z2 = 1, z3 = ∞, то конформный блок будет зависетьтолько от одного проективного инварианта x. Таким образом, с помощью (2.2) получается следующее выражение:hVα0 (x)Vβ0 (0)Vα1 (1)Vβ2 (∞)i == x−(∆α1 +∆β0 )Px∆β̂01Γ̄β̂α10 β0 (H −1 )β̂1 β̂ Γβ̂ 0 α1 β2 .(3.9)β̂1 ,β̂ 0Здесь и далее используется следующая параметризация конформной теории:∆α =α(−α),1 2c=1+5862.1 2(3.10)С помощью (2.59), (2.2) можно привести (3.9) к видуhVα0 (x)Vβ0 (0)Vα1 (1)Vβ2(∞)i =P= x−(∆α0 +∆β0 ) x∆β1 Cαβ01β0 Cαβ12β1 ×∞Pβ1γαβ10 β0 (∅, Y10 , ∅)Dβ1 (Y10 , Y1 )γαβ21 β1 (∅, Y1 , ∅) =l1 =0|Y1 |=l1 Y 01 Pβ2β1∆β1−(∆α0 +∆β0 )Cα0 β0 Cα1 β1 Bα0 β0 α1 β2 Y1 x ,x=x×xl 1P(3.11)β1где Bα0 β0 α1 β2 Y1 x — член разложения конформного блока в ряд по диаграммамЮнга, соответствующий диаграмме Y1 .Функция Некрасова для случая четырех внешних полей дается формулойP ~Zinst = q |Y | Zvector (~a, Y~ )×(3.12)~Y×Zf und (~a, Y~ , µ1 )Zf und (~a, Y~ , µ2 )Zf und (~a, Y~ , µ3 )Zf und (~a, Y~ , µ4 ).В этом случае U (1)−фактор имеет вид (1 − x)−ν .
Выражения для конформногоблока и функции Некрасова даются следующими формулами:Уровень [1]• Функция НекрасоваZ (1) = Z ([1]∅) + Z (∅[1]) + ν == − 112 ·Q4r=1 (a+µr )2a(2a+)−11 2·Q4r=1 (a−µr )2a(2a−)+ν(3.13)• Конформный блокB (1) = γαβ10 β0 (∅, ∅, [1])Dβ1 ([1], [1])γαβ21 β1 (∅, [1], ∅) ==(∆β1 +∆α0 −∆β0 )(∆β1 +∆α1 −∆β2 )2∆β1 2= 2 2 22 −a +α0 (−α0 )−β0 (−β0 ) −a +α1 (−α1 )−β2 (−β2 )4=(3.14)41 2 (2 −4a2 )Уровень [2]• Функция НекрасоваZ (2) = Z ([2], ∅) + Z (∅, [2]) + Z ([1, 1], ∅) + Z (∅, [1, 1]) ++Z ([1], [1]) + ν (Z ([1], ∅) + Z (∅, [1])) +ν(ν+1)2(3.15)• Конформный блокB (2) = γαβ10 β0 (∅, ∅, [2])Dβ1 ([2], [2])γαβ21 β1 (∅, [2], ∅)++γαβ10 β0 (∅, ∅, [2])Dβ1 ([2], [12 ])γαβ21 β1 (∅, [12 ], ∅)++γαβ10 β0 (∅, ∅, [12 ])Dβ1 ([12 ], [2])γαβ21 β1 (∅, [2], ∅)++γαβ10 β0 (∅, ∅, [12 ])Dβ1 ([12 ], [12 ])γαβ21 β1 (∅, [12 ], ∅)59(3.16)Уровень [3]• Функция НекрасоваZ (3) = Z ([3], ∅) + Z (∅, [3]) + Z ([2, 1], ∅) + Z ([1, 1, 1], ∅) ++Z (∅, [2, 1]) + Z (∅, [1, 1, 1]) + Z([2], [1]) + Z ([1], [2]) ++Z ([1, 1], [1]) + Z ([1], [1, 1]) + +ν Z ([2], ∅) + Z (∅, [2]) ++Z ([1, 1], ∅) + Z (∅, [1, 1]) + Z ([1], [1]) ++ ν(ν+1)(Z ([1], ∅) + Z (∅, [1])) +2(3.17)ν(ν+1)(ν+2)6• Конформный блокββββB(3) = γα1 β (∅, ∅, [3])Dβ1 ([3], [3])γα2 β (∅, [3], ∅) + γα1 β (∅, ∅, [3])Dβ1 ([3], [2, 1])γα2 β (∅, [2, 1], ∅)+0 0ββ1 1β0 01 1β+γα1 β (∅, ∅, [3])Dβ1 ([3], [13 ])γα2 β (∅, [13 ], ∅) + γα1 β (∅, ∅, [2, 1])Dβ1 ([2, 1], [3])γα2 β (∅, [3], ∅)+0 01 10 01 1ββββ+γα1 β (∅, ∅, [2, 1])Dβ1 ([2, 1], [2, 1])γα2 β (∅, [2, 1], ∅) + γα1 β (∅, ∅, [2, 1])Dβ1 ([2, 1], [13 ])γα2 β (∅, [13 ], ∅)+0 01 10 01 1β1β2β1β23333+γα β (∅, ∅, [1 ])Dβ1 ([1 ], [3])γα β (∅, [3], ∅) + γα β (∅, ∅, [1 ])Dβ1 ([1 ], [2, 1])γα β (∅, [2, 1], ∅)+0 01 10 01 1ββ+γα1 β (∅, ∅, [13 ])Dβ1 ([13 ], [13 ])γα2 β (∅, [13 ], ∅)0 01 1(3.18)Для определения связи между параметрами суперсимметричной и конформнойтеории нужно решить следующую систему уравнений:(B (1) = Z (2)(3.19)B (2) = Z (2)Ее решения устроены как:µ1 = − 2 + α0 + β0µ3 =32− α 1 − β2µ2 =µ4 =22+ α 0 − β0− α 1 + β2, ν=2α0 ( − α1 ).1 2(3.20)Это не единственное возможное соотношение между параметрами.
Выражениядля конформного блока и функции Некрасова обладают определенными симметриями. Так, в данном случае существует семь возможных соотношений между параметрами, которые можно получить из (3.20) с помощью симметрий, описанных ниже вразделе 3.2.6.3.2.3Пятиточечный конформный блокДля пятиточечного конформного блока существует несколько вариантов построениядиаграммы, соответствующие различному выбору точек. Здесь приведены толькодва из них, для пояснения того, какая диаграмма связана с функцией Некрасовасогласно гипотезе АГТ.
Первый из них соответствует конформному блоку, рассмотренному в [11]. Выберем точки следующим образом: z1 = 0, z2 = xy, z3 = y, z4 = 1,z5 = ∞ (как и в предыдущем разделе, конформная симметрия позволяет зафиксировать три из пяти точек). В этом случае разложение конформного блока в ряд по60α0 , xyβ0 , 0α1 , yβ1 , 0α2 , 1β2 , 0β3 , ∞x и y устроено следующим образом:hVα1 (y)Vα0 (xy)Vβ0 (0)Vα2 (1)Vβ3 (∞)i =PP ∆β ∆β β1x 1 y 2 Cα0 β0 Cαβ12β1 Cαβ23β2 l1 ,l2 xl1 y l2 ×= (xy)−(α0 +β0 ) y −α1β ,βP1 2×γαβ10 β0 (∅, ∅, Y10 )Dβ1 (Y10 , Y1 )×(3.21)|Y1 |=l1 ,|Y2 |=l2 ,Y10 ,Y20×γαβ21 β1 (∅, Y1 , Y20 )Dβ2 (Y20 , Y2 )γαβ32 β2 (∅, Y2 , ∅).Другой вариант построения конформного блока соответствует выбору точек z1 =0, z2 = x, z3 = ∞, z4 = y, z5 = 1:α0 , xβ0 , 0α1 , ∞ α2 , yβ1 , 0β2 , 1β3 , 1hVα0 (x)Vβ0 (0)Vβ3 (1)Vα2 (y)Vα1 (∞)i == x−(∆α0 +∆β0 ) (y − 1)−(∆α3 +∆β3 ) ×P ∆β×x 1 (y − 1)∆β2 Cαβ02β1 Cαβ23β2 Cβα11β2 ×β ,β2P 1 P×xl1 (y − 1)l2 γαβ10 β0 (∅, ∅, Y10 )×(3.22)l1 ,l2 |Y1 |=l1 ,|Y2 |=l2 0 0Y ,Y12e β2 (Y20 , Y2 )γ β2 (∅, Y2 , ∅),×Dβ1 (Y10 , Y1 )γβα11β2 (Y1 , Y20 , ∅)Dα2 β3e β (Y, Y 0 ) — обратная деформигде Dβ (Y 0 , Y ) — это обратная форма Шаповалова, а Dрованная форма Шаповалова, то есть форма соответствующая произведению полейне в точках 0 и ∞, а в 1 и ∞.e∆ ([Y ], [Y 0 ]) =QX 1Q∆ Y, 1k , [Y 0 ] .k!k(3.23)Эта диаграмма описывает разложение конформного блока в ряд по x и y −1.
Так какфункция Некрасова — это ряд по малым, близким к нулю параметрам, то логичнорассматривать ее связь с первой диаграммой. Гипотеза АГТ предполагает связьименно с такой диаграммой.U (1)−фактор имеет вид (1 − x)−ν1 (1 − y)−ν2 (1 − xy)−ν3 . Выражения для функцииНекрасова и конформного блока устроены следующим образом:Уровень [1,0]61• Функция НекрасоваZ (1,0) = Z([[1], ∅], [∅, ∅]) + Z([∅, [1]], [∅, ∅]) + ν1 =)(a1 −a2 +−m1 )(a1 +a2 +−m1 )= − (a1 +µ1 )(a1 +µ2(2−1 2 a1 (2a1 +))1 +a2 )+−m1 )(−a1 +a2 +−m1 )− (−a1 +µ1 )(−a1 +µ2 )(−(a(21 2 a1 (2a1 −))(3.24)+ ν1• Конформный блокB (1,0) = γαβ10 β0 (∅, ∅, [1])Dβ1 ([1], [1])γαβ21 β1 (∅, [1], ∅) ==(∆β1 +∆α0 −∆β0 )(∆β1 +∆α1 −∆β2 )2∆β1= 22 −a2 +α0 (−α0 )−β0 (−β0 )(−a2 +α1 (−α1 )+a2 )=411(3.25)21 2 (2 −4a21 )Уровень [0,1]• Функция НекрасоваZ([∅, ∅], [[1], ∅]) + Z([∅, ∅], [∅, [1]]) + ν2 =4 )(−a1 +a2 +m1 )(a1 +a2 +m1 )= − (a2 +µ3 )(a2 +µ2−1 2 a2 (2a2 +)4 )(a1 +a2 −m1 )(−a1 +a2 −m1 )− (−a2 +µ3 )(−a2 +µ21 2 a2 (2a2 −)(3.26)+ ν2• Конформный блокB (0,1) = γαβ21 β1 (∅, ∅, [1])Dβ2 ([1], [1])γαβ32 β2 (∅, [1], ∅) =(∆β2 +∆α1 −∆β1 )(∆β2 +∆α2 −∆β3 )=2∆ 2β2 2222(−a2 +α1 (−α1 )+a1 )−a2 +α2 (−α2 )−β3 (−β3 )==(3.27)41 2 (2 −4a22 )Уровень [2,0]• Функция НекрасоваZ ([[2], ∅] , [∅, ∅]) + Z ([[1], [1]] , [∅, ∅]) + Z ([∅, [2]] , [∅, ∅]) ++Z ([[1, 1], ∅] , [∅, ∅]) + Z ([∅, [1, 1]] , [∅, ∅]) +(3.28)+ν1 (Z ([[1], ∅] , [∅, ∅]) + Z ([∅, [1]] , [∅, ∅])) + 12 ν1 (ν1 + 1)• Конформный блокB (2,0) = γαβ10 β0 (∅, ∅, [2])Dβ1 ([2], [2])γαβ21 β1 (∅, [2], ∅)++γαβ10 β0 (∅, ∅, [2])Dβ1 ([2], [12 ])γαβ21 β1 (∅, [12 ], ∅)++γαβ10 β0 (∅, ∅, [12 ])Dβ1 ([12 ], [2])γαβ21 β1 (∅, [2], ∅)++γαβ10 β0 (∅, ∅, [12 ])Dβ1 ([12 ], [12 ])γαβ21 β1 (∅, [12 ], ∅)62(3.29)Уровень [0,2]• Функция НекрасоваZ ([∅, ∅] , [[2], ∅]) + Z ([∅, ∅] , [∅, [2]]) + Z ([∅, ∅] , [[1], [1]]) ++Z ([∅, ∅] , [[1, 1], ∅]) + Z ([∅, ∅] , [∅, [1, 1]]) +(3.30)+ν2 (Z ([∅, ∅] , [[1], ∅]) + Z ([∅, ∅] , [∅, [1]])) + 21 ν2 (ν2 + 1)• Конформный блокB (0,2) = γαβ21 β1 (∅, ∅, [2])Dβ2 ([2], [2])γαβ32 β2 (∅, [2], ∅)++γαβ21 β1 (∅, ∅, [2])Dβ2 ([2], [12 ])γαβ32 β2 (∅, [12 ], ∅)++γαβ21 β1 (∅, ∅, [12 ])Dβ2 ([12 ], [2])γαβ32 β2 (∅, [2], ∅)+(3.31)+γαβ21 β1 (∅, ∅, [12 ])Dβ2 ([12 ], [12 ])γαβ32 β2 (∅, [12 ], ∅)Уровень [1,1]• Функция Некрасова [1], ∅ , [1], ∅ + Z ∅, [1] , [1], ∅ + Z ∅, [1] , ∅, [1] + +Z [1], ∅ , ∅, [1] + ν1 Z [∅, ∅], [1], ∅ + Z [∅, ∅], ∅, [1]++ν2 Z [1], ∅ , [∅, ∅] + Z ∅, [1] , [∅, ∅] + ν1 ν2 + ν3Z(3.32)Конформный блокB (1,1) = γαβ10 β0 (∅, ∅, [1])Dβ1 ([1], [1])γαβ21 β1 (∅, [1], [1])Dβ2 ([1], [1])γαβ32 β2 (∅, [1], ∅)(3.33)Для определения связи между параметрами нужно решить следующую системуB (1,0) = Z (1,0)(0,1)= Z (0,1) B(3.34)B (1,1) = Z (1,1)B (2,0) = Z (2,0) (0,2)B= Z (0,2)Ее решение устроено следующим образом:µ1= − 2 + α0 + β0 ,µ3=ν1=3− α2 −22α0 (−α1 ),1 2β3 ,µ2=µ4=ν2=+ α 0 − β02− α 2 + β322α1 (−α2 ),1 2m1ν3= α1 ,=(3.35)2α0 (−α2 ).1 2Используя симметрии, рассмотренные в разделе 3.2.6, возможно получить такжеи другие решения.63α0 , xyz α1 , yzβ0 , 0β1 , 0α2 , zβ2 , 0α3 , 1β3 , 0β4 , ∞Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
