Диссертация (1104792), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Аналитическое продолжение ответадля S̃ несколько сложнее, также коэффициенты S специфичны для данной теориии, вообще говоря, не всегда разлагаются в произведение голоморфной и антиголоморфной части. По этой причине выражения, с которыми имеет смысл сравниватьполученные ответы для, S̃ не ясны.4.22 +bN на втором уровнеC̃αα11α+α2На уровне два не достаточно классических интегралов Сельберга (4.32) и (4.33), также нужны и обобщенные интегралы (4.35), описанные в разделе 4.5. Два интеграла,входящие в (4.4), равныPN2− zj )2b α2 q 2 + b i=1 zi2 =QN R 12= q (N +1)(1+b N )+1 · q 2(α1 +N b)(α2 +N b) i=1 0 dzi zi2bα1 (1 − zi )2bα2 × (4.32)и(4.35)PNQN2=× i<j (zi − zj )2b α2 + b i=1 zi2 222QN −1 Γ 1+2bα1 +jb Γ 1+2bα2 +jb Γ 1+(j+1)b h2 = q (N +1)(1+b N )+1 · q 2(α1 +N b)(α2 +N b) j=0α2 + N b ×q 2α1 α2QN R qi=1 0dzi zi2bα1 (q − zi )2bα2QNi<j (ziΓ 2+2bα1 +2bα2 +(N −1+j)b2 Γ 1+b2(4α2 b2 +4α1 α2 b2 +6α1 b3 N −8α1 b3 +4b3 α2 N −4b3 α2 +8α1 b+4α2 b+4+3b4 N 2 −7b4 N +4b4 +7b2 N −9b2 )(2α1 b+b2 N −b2 +1)× 12(2α1 b+2α2 b+2b2 N −3b2 +2)(2α1 b+2α2 b+2b2 N −2b2 +3)(α1 b+α2 b+b2 N −b2 +1)79iи2QNPN2dzi zi−2bα1 (q − zi )−2bα2 i<j (zi − zj )−2b α2 q + b i=1 zi =QN R 12= q (N +1)(1+b N )+1 · q 2(α1 +N b)(α2 +N b) i=1 0 dzi zi2bα1 (1 − zi )2bα22QNPN2b2(z−z)α+bzij2i i<j i=1222QN −1 Γ 1+2bα1 +jb Γ 1+2bα2 +jb Γ 1+(j+1)b2 ×= q (N +1)(1+b N )+1 · q 2(α1 +N b)(α2 +N b) j=0q 2α1 α2QN R qi=1 0(4.32)и(4.35)=Γ 2+2bα1 +2bα2 +(N −1+j)b2 Γ 1+b2222221+2bα1 +(N −1)b(2α1 b+b N −b +1)(2α1 b+b N −2b +1)22× α22 + 2N α2 b 2+2bα2 + N (N − 1)b 2(α b+α b+b2 N −b2 +1)(2α b+2α b+2b2 N −3b2 +2) + N b ×1 +2bα2 +2(N −1)b12122 22333342442222(4α b +4α1 α2 b +6α1 b N −8α1 b +4b α2 N −4b α2 +8α1 b+4α2 b+4+3b N −7b N +4b +7b N −9b )(2α1 b+b N −b +1).× 12(2α1 b+2α2 b+2b2 N −3b2 +2)(2α1 b+2α2 b+2b2 N −2b2 +3)(α1 b+α2 b+b2 N −b2 +1)4.3Обобщение на высшие уровниКонкретные формулы на уровнях выше второго слишком громоздки для того, чтобыприводить их здесь.
Однако, в любом частном случае уравнения (4.2) могут бытьлегко проверены с помощью относительно простых компьютерных вычислений приусловии, что известен следующий набор объектов:Матрица LY Y 0 описывает действие операторов Вирасоро на примарные поля свободной теории:|YYn10XL−Y eαφ =LY Y 0 (α) : J Y eαφ ◦◦,0 |=|Y(4.20)|n2где J = ∂ φ ∂ φ . . .Вектор EY описывает разложениеeα1 φ(0)+α2 φ(q)+bPiφ(zi )=XEY (q, ~z)J Y (0)e(α1 +α2 +bN )φ(0) .(4.21)YДо уровня три включительно элементы этого вектора приведены в явной форме вформулах (4.3)-(4.5).Если Y1 и Y2 в (4.2)— это нетривиальные диаграммы, то вместо EY необходимболее сложный объект EYY1 Y2 , описывающий разложениеXP◦ Y1 α1 φ(0) ◦ ◦ Y2 α2 φ(q) ◦ ◦ b i φ(zi ) ◦JeJee=EYY1 Y2 (q, ~z) ◦◦ J Y (0)e(α1 +α2 +bN )φ(0) ◦◦ .
(4.22)◦◦ ◦◦ ◦◦YВектора EY на самом деле являются функциями от переменных {zi }, то естьописываются следующим образом:EY =XY0ÊY Y 0 z Y .(4.23)0При этом в данном случае размеры диаграмм могут быть и разными, должно тольковыполняться условие |Y 0 | ≤ |Y |.80В результате интегрирования по переменным z формула (4.23) переходит вX< EY > =ÊY Y 0 I Y ,(4.24)Y0где I Y = < z Y > — это обобщенные интегралы Сельберга, описанные в разделе 4.5.Явная проверка соотношенияC̃YY1 Y2 = CYY1 Y2(4.25)на первых двух уровнях была проделана выше, в разделах 4.1 и 4.2. Так как в даннойработе приведены все формулы и для уровня 3, то возможно также проверить, чтоэто соотношение выполняется и на уровне 3.4.4Переход от операторного разложения к конформному блокуВыражение (4.2) можно использовать для вычисления не только модифицированных структурных констант, но и конформных блоков в целом.
Если обозначить операторное разложение в левой части (4.2) за V1 (0) ∗N V2 (q), то конформный блоксоответствуют комбинации таких произведений. Например,DEV1 (x1 ) ∗N12 V2 (x2 ) ∗N(12)3 V3 (x3 ) ∗N((12)3)4 V4 (x4 ) ∗ . . .(4.26)в случае пятиточечного блока, изображенного на рисунке 4.1 илиDEV1 (x1 ) ∗N12 V2 (x2 ) ∗N(12)(34) V3 (x3 ) ∗N34 V4 (x4 ) ∗N((12)(34))5 V5 (x5 ) ∗ . . .(4.27)в шеститочечном случае, изображенном на рисунке 4.2. Для получения полного выражения, соответствующего произвольным размерностям выражения, полученныеиз (4.26) и (4.27), нужно аналитически продолжить на произвольные значения всехN.Среднее значение в формулах (4.26) и (4.27) определено согласно свойствам теории свободных полейL−Y eαφ(x)∼ δY,∅ δα,Q .(4.28)Отметим, что произведение ∗N определено в (4.2) асимметричным образом: в результате получается оператор в точке 0, то есть в той точке, где находилось первое изумножаемых полей.
По этой причине произведение ∗N не является ассоциативным:xN xMZ2Z3V1 (x1 )∗N V2 (x2 ) ∗M V3 (x3 ) ≡ V1 (x1 )V2 (x2 )V3 (x3 ) : ebφ : : ebφ : , (4.29)x181x1x2 , α2x1 , α1x3 , α3x4 , α4α12 = α1 + α2 + bN12 α(12)3 = α12 + α3 + bN(12)3...α((12)3)4 = α(12)3 + α4 ++bN((12)3)4Рис.
4.1: Конформный блок типа гребенки, рассмотренный в частности в разделе 3.2 и [11].Переменные x в данном случае удовлетворяют условию 0 = x1 x2 x3 x4 . . ..На рисунке указаны параметры α, конформные размерности соответствующих полей приэтом равны ∆ = α(α − b + 1/b). Промежуточные размерности определяются в том числе ипеременным N и только после аналитического продолжения на произвольные значения Nони могут принимать произвольные значения@x3 , α@3x2 , α2x4 , α4@@x5 , α5@α(34) = α3 + α4 + bN(34)x1 , α1α(12)(34) = α12 + α34 + bN(12)(34)α12 = α1 + α2 + bN12...Рис. 4.2: Конформный блок типа звезды, для которого на данный момент не определено АГТ-соотношения (неизвестен соответствующий ей набор функций Некрасова).
Темне менее возможно написать соответствующее такому конформному блоку представлениеДоценко-Фатеева, см.(4.27).тогда какV1 (x1 )∗NxN xMZ2Z3V2 (x2 )∗M V3 (x3 ) ≡ V1 (x1 )V2 (x2 )V3 (x3 ) : ebφ : : ebφ : . (4.30)x1x2Отличие состоит в контурах интегрирования в последнем множителе.
Таким образом, существенна расстановка скобок в выражениях (4.26) и (4.27). На практике,вычисления в конформной теории определяются, как было описано в разделе 3.2.6,упорядочением по порядку малости переменных x: 0 = x1 x2 x3 x4 . .
. в(4.26) и 0 = x1 x2 x3 x5 , x4 − x3 x3 в (4.27) и, таким образом, диаграммы таких двух типов соответствуют различным областям значений переменных, вкоторых вычисляется конформный блок.824.5Интегралы Сельберга и их обобщениеИнтегралы Сельберга, определенные как)(qNN ZNYYYzia (q − zi )c ,IY =(zi − zj )2βdzi z Yi=1 0(4.31)i=1i<jгде z Y = z1n1 z2n2 . . . for Y = {n1 ≥ n2 ≥ . . .} — это прямое обобщение бета-функцииЭйлера, представимой также произведением гамма-функций. Интегралы Сельбергаестественным образом нумеруются диаграммами Юнга Y , но хорошо изучены только в случае диаграмм, состоящих из одного столбца [1n ]. В случае более сложныхдиаграмм интегралы содержат дополнительные полиномиальные множители, которые не разлагаются в произведение линейных элементов.
Однако, для проверок, сделанных в данной работе в разделах 4.2 и 4.3, необходимы ответы и для интеграловтакого типа.В [76]-[79] было получено, чтоNN −1YΓ(βj + 1) Y Γ(a + βj + 1)Γ(c + βj + 1),I[0] =Γ(β+1)j=1j=0 Γ a + c + (N − 1 + j)β + 2(4.32)a + (N − 1)β + 1I[0]a + c + (2N − 2)β + 2I[1] =(4.33)и, в более общем случае,nI[1 ] = I[0]nYa + (N − j)β + 1.a + c + (2N − j − 1)β + 2j=1(4.34)Если диаграмма Юнга Y состоит из k > 1 столбцов, то результатов [76]-[79]недостаточно, и I[Y ] содержит дополнительные множители, полиномы степени 2k −2.
В частности, с помощью обобщения результатов для конкретных значений N ,можно получить:I[2] =2a2 +ac+(3N −4)aβ+2(N−1)βc+4a+2c+4+(N−1)(3N −4)β +(7N −9)βa+c+(2N −3)β+2a+(N −1)β+1=(4.35)a2 +ac+(3N −4)aβ+2(N −1)βc+(N −1)(3N −4)β 2 +4a+2c+(7N −9)β+4a+c+(2N −3)β+2a+c+(2N −2)β+2a+c+(2N −4)β+2I[0],a+c+(2N −2)β+3a+(N −2)β+1I[21] = I[1] =a+c+(2N −2)β+3a+(N −1)β+1a+c+(2N −3)β+2I[0]a+c+(2N −2)β+2×a+c+(2N −2)β+3(4.36)× a2 + ac + (3N − 5)aβ + (2N − 3)βc+2+3(N − 1)(N − 2)β + 4a + 2c + (7N − 12)β + 483и, в общем случае, 2a +ac+(3N −4)(N −1)β 2 +(3N −4)aβ+2(N −1)cβ+4a+2c+(7N −9)β+4nI[21 ] = I[0]− nβ ×a+c+(2N −2)β+3Qn+1×Qn+2j=1(4.37)a+(N −j)β+1j=1.a+c+(2N −j−1)β+2В случае трех столбцовI[3] = a+c+(2N −4)β+2a+(N −1)β+1a+c+(2N −3)β+2I[0] P [3]a+c+(2N −2)β+2a+c+(2N −2)β+3a+c+(2N −2)β+4,(4.38)гдеP [3] = (a +3)(a + 2)(a + c − β + 2)(a + c − 2β + 2)++(N − 1)β (a + c + 2)(6a2 + 5ac + 32a + 11c + 40 + 4β 2 ) + 2β(a + 2c + 2)(2a + c + 5) ++(N − 1)(N − 2)β 2 (16a2 + 21ac + 5c2 + 80a + 52c + 98) + 2β(20a + 16c + 51) + 36β 2 +(4.39)+2(N − 1)(N − 2)(N − 3)β 3 (10a + 24β + 7c + 26) + 10(N − 1)(N − 2)(N − 3)(N − 4)β 4 .Возможно получить выражения и без неприводимых полиномов для I[Y ] с помощью рассмотрения линейных комбинаций таких интегралов.
Так,I[2] +(N −1)βI[11]1+β=1+N β1+βa+(N −1)β+1a+(N −1)β+2 I[0].a+c+(2N −2)β+2(4.40)a+c+(2N −2)β+3Отметим, что таким образомможно получить только разложения на линейные множители. Множитель a + c + (2N − 3)β + 2 , которые входил в знаменатели как I[2],так и I[11], сокращается при рассмотрении такой комбинации.Интегралы Сельберга I[Y ] удовлетворяют ряду соотношений. Из-за того, чтоPNPNQNz+(1−z)=1−iii<j zi zj − .
. . , выполняется следующее условиеi=1iP(−)n N !n(4.41)Ic+1 [0] = Ic [0] − N Ic [1] + N (N2−1) Ic [11] − . . . = Nn=0 n!(N −n)! Ic [1 ]что верно для интегралов из (4.34). Такое соотношение включает в себя только диаграммы Юнга из одного столбца.Аналогичным образом, из разложенияPN2 i<j zi zj − . . . следует, чтоQNi(1 − zi )2 = 1 − 2PNi=1 zi+PN2i=1 ziIc+2 [0] = Ic [0] − 2N Ic [1] + N Ic [2] + N (N − 1)Ic [11] − .
. .+(4.42)Это соотношение включает в себя только диаграммы Юнга из двух столбцов (диаграммы из одной строки — это частный случай при k2 = 0).По аналогии с приведенными примерами, из рассмотрения разложения дляQNi(1−mzi ) можно построить разложение интеграла Ic+m [0] в сумму интегралов с диаграммами Юнга с m0 -столбцами, где m0 ≤ m. Более того, аналогичные соотношенияможно написать и для Ic+m [Y ] с произвольной диаграммой Юнга Y .84Глава 5Теория Черна-СаймонсаВ данной главе описаны основные свойства теории Черна-Саймонса и ее связьс теорией узлов.
Также приведен метод для вычисления вильсоновских средних.Приведен известный ответ для полиномов торических узлов.Теория Черна-Саймонса — это трехмерная топологическая калибровочная теорияполя c векторным полем A. Она описывается топологически инвариантным, то естьне зависящим от метрики, лагранжианом:LCSk=4π2k ijk2a b cabA ∧ dA + A ∧ A ∧ A =εδab Ai ∂j Ak + λabc Ai Aj Ak .34π3(5.1)Данная теория в настоящий момент представляет большой интерес, так как этопростейшая теория, обладающая нетривиальными топологическими свойствами.Из того, что теория Черна-Саймонса калибровочно инвариантна, следует возможность выбора конкретной калибровки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
