Методы оптимального синтеза измерительно-вычислительных преобразователей на основе датчиков первого и второго порядков (1103511), страница 4
Текст из файла (страница 4)
рис. 1), что в случае модели (6) погрешности измерений для протяженного и точечного датчиков практически одинаковы.Поэтому в данном случае, если известна модель усреднения, нет смысла стремиться13hehexxáàРис. 1.к максимальному уменьшению размеров датчика.Во второй главе рассматриваются задачи оптимального синтеза ИВП на основедатчиков первого и второго порядка для интервальных моделей [Пытьев, 2004]. Длястохастической модели измерений такие задачи решены в [Волков, 2000], [Пытьев,2004].Рассмотрим задачи “покоординатного” оценивания входного сигнала f и оценивания его “в целом” для интервальной модели.Задаче “покоординатного” оценивания соответствует мера погрешности q(l) = lj ,поэтому (4) запишется какlj∗ =maxlj , j = 1, .
. . , m,(8)(c,l)∈D(A,If ,Iν |ξ)где множество D(A, If , Iν |ξ) определено неравенствами (3). Решения c∗j (ξ), lj∗ (ξ) этойзадачи определят интервалы Ij∗ (ξ) ∼ {c∗j (ξ), lj∗ (ξ)}, j = 1, . . . , m, являющиеся интервальными оценками координат fj ∈ Ij∗ (ξ), j = 1, . .
. , m, вектора f . При этом оптимальной оценкой координаты fj является центр c∗j (ξ) интервала Ij∗ (ξ), а его полудлина lj∗ (ξ)оценивает максимальную погрешность, |fj − c∗j (ξ)| ≤ lj∗ (ξ), и тем самым определяетгарантированную точность интерпретации c∗j (ξ) как значения fj , j = 1, . . . , m.Задача “покоординатного” оценивания (8), (3) является, как уже отмечалось, задачей линейного программирования. Существует ряд численных методов для решениятаких задач.
В рассмотренных публикациях не удалось обнаружить каких-либо методов аналитического решения задач вида (4), (3) в частном случае обратимой матрицыоператора прибора A и отсутствия ограничений на f (модель [A, Iν ]).В диссертации для этого случая получен следующий результат, позволяющий решать задачи “покоординатного” оценивания аналитически:Т е о р е м а 2. Пусть в модели [A, Iν ] A– невырожденная m × m-матрица. ТогдаmXa−ck (ξ) =ki (ξi − (ν i + ν i )/2), k = 1, . . . , m,i=1и погрешность q(l∗ ) = lk∗ редукции для модели [A, Iν ] естьνi − νi1min,lk∗ =i=1,...,m2|aik |−1где aik , a−соответственно.ik , i, k = 1, .
. . , m, – элементы матрицы A и A(9)14Задача оценивания f “в целом” для случая, когда в качестве меры погрешностивыбирается величина q(l) = min lj , имеет следующий вид:jmin lj∗ =jmax(c,l)∈D(A,If ,Iν |ξ)(10)min lj .jЕсли найдено ее решение Ij∗ ∼ {c∗j , lj∗ }, j = 1, . . . , m, то вектор c оценит f с гарантированной точностью, определенной неравенством min |fj − c∗j (ξ)| ≤ min lj∗ .jjВ диссертации получен следующий результат, дающий метод аналитического решения задачи (10), (3):Т е о р е м а 3. Пусть в модели [A, Iν ] A– невырожденная m × m-матрица. Тогдарешение задачи (4) для q(l) = min lj естьjc∗k (ξ) =mXi=1a−ki (ξi − (ν i + ν i )/2), k = 1, . . .
, m,∗∗q = l1∗ = . . . = lm=νi − νi1min P,2 i=1,...,m m|aik |k=1−1где aik , a−соответственно.ik , i, k = 1, . . . , m, – элементы матрицы A и AНа основе этих результатов в диссертации получены выражения для погрешностейинтервальной редукции в случае ИВП на основе датчиков первого и второго порядков.Например, для датчика первого порядка погрешность интервальной редукции (8) есть−2β∆β 2∆−α,αβ > 01/|ak−1 k | = |α| 1 − eν−ν(11)lk∗ =−12 1/|a | = ∆β 2 e αβ (1−k∆) e− αβ ∆ + e αβ ∆ − 2 , αβ < 0.mk|α|Здесь ν i = ν, ν i = ν, i = 1, .
. . , m; ∆ – величина шага сетки, используемой при вычислении матрицы оператора A. Для задачи (10) при тех же предположениях полученаследующая оценка:ν − ν αq∗ ≈(1 − e−β/α ).2β|α|àbáabaРис. 2.Графики этих зависимостей приведены на рис. 2, а (для задачи (8)) и б (для зада-15чи (10)). Зависимости погрешностей измерений для ИВП на основе датчика второгоmPli , представлены в диссертации.порядка, а также для модели погрешности q(l) =i=1Для каждой комбинации параметров эти зависимости показывают, какой точностьюбудет обладать ИВП на основе датчика с такими значениями параметров.
Поэтому эти результаты могут быть использованы при проектировании датчиков, которыепредполагается использовать в составе ИВП, для оптимизации точности измеренийна соответствующем ИВП.Результаты расчетов показали, что зависимости погрешностей измерений, выполненных на ИВП и на ИП как таковом, от параметров существенно отличаются. Значит,требования к параметрам ИП, обеспечивающие максимальную точность измерения наИВП, отличны от тех, которые обеспечивают максимальную точность измерения наИП как таковом, без использования ВП.
Это утверждение совпадает с выводом, следующим из аналогичных расчетов для стохастической редукции.В третьей главе рассмотрены задачи оптимального синтеза ИВП на основе датчика температуры с распределенными параметрами.Пусть имеется бесконечно тонкий теплоизолированный теплопроводящий стержень длины l. Будем считать, что на каждом из его концов граничные условия одинаковы для всех точек, тогда в пределах любого поперечного сечения стержня температура одинакова и в каждый момент времени зависит лишь от координаты x. Пустьна стержне расположены источники тепла с плотностью f (x, t), 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T ,и на его концах поддерживается заданный температурный режим, согласно которому температура u = u(x, t) как функция координаты x ∈ [0, L] и времени t ∈ [0, T ]удовлетворяет при x = 0 и x = l условиям:a1 u0t (0, t) − b1 u(0, t) = 0, |a1 | + |b1 | 6= 0; a2 u0t (l, t) + b2 u(l, t) = 0, |a2 | + |b2 | 6= 0,где a1 , a2 , b1 , b2 – некоторые коэффициенты.Пусть в начальный момент времени t = 0 температура стержня равна нулю, тогда температура u = u(x, t) стержня может быть получена как решение следующейкраевой задачи дляуравнения теплопроводности на отрезке 0 ≤ x ≤ l:ut = a2 uxx + f (x, t), 0 < x < l, 0 < t < T,a1 u0t (0, t) − b1 u(0, t) = 0, |a1 | + |b1 | 6= 0,(12)a2 u0t (l, t) + b2 u(l, t) = 0, |a2 | + |b2 | 6= 0,u(x, 0) = 0.Здесь u — температура в точке x в момент времени t, a — коэффициент теплопроводности.Пусть измеряется температура u стержня в точке x в момент времени t.
Тогдаu = Af + ν, где A – некоторый интегральный оператор, а ν – ошибка измерения.Если справедливо представление f (x, t) = g(x)h(t), x ∈ [0, L], t ∈ [0, T ], то можнорассмотреть задачи восстановления пространственной части g(·) при известной функции h(·), либо временно́й части h(·) при известной g(·).Рассмотрим первую из них. Пусть известна функция h(·) : [0, T ] → R1 . Тогда,Rtобозначив Ii (t) = exp(−a2 λi (t − τ ))h(τ )dτ , t ∈ [0, T ], получим, что в фиксированный016момент времени t пространственное распределение температуры естьZl X∞√√u(x, t) =Ii (t)(2/l) sin( λi x) sin( λi y)g(y)dy, x ∈ [0, L], t ∈ [0, T ].0i=1Рассмотрим ситуацию, когда в момент времени τ0 происходит мгновенный нагревстержня, т.е.
пустьZl X∞√√u(x, t) =(2/l) sin( λi x) sin( λi y) exp(−a2 λi (t − τ0 ))g(y)dy ≡ Ãs g(·),0i=10 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t ≤ T, (13)и требуется определить средние значения gi , i = 1, . . . , n, функции g(x) на n отрезках[0; l/n], [l/n; 2l/n], . . ., [(n − 1)l/n; l] стержня.Пусть измерения температуры проводятся в нескольких местах стержня одновременно в момент времени t = t0 > τ0 . В момент времени t0 снимаются показаниярасположенных на стержне измерительных элементов – средние значения ξ1 , ξ2 , .
. . , ξnтемпературы на отрезках стержня [0; l/n], [l/n; 2l/n], . . ., [(n−1)l/n; l], соответственно.Модель формирования измерений запишем как ξi = ui (t0 ) + νi , i = 1, . . . , n, гдеui (t0 ) — истинные средние значения температуры, ν ≡ {ν1 , . . . , νn } — шум измерения.В свою очередь, u(t0 ) = As g; здесь u(t0 ) ≡ {u1 (t0 ), .
. . , un (t0 )}, g ≡ {g1 , . . . , gn }, As —матрица интегрального оператора Ãs (13) в ортонормированной системе функций изL2 [0, l]:11, x ∈ [(i − 1)∆x , i∆x ], i = 0, . . . , n, ∆x = l/n.ei = √0,x∈/ [(i − 1)∆x , i∆x ]∆xПусть теперь наоборот g(·) известна, а h(·) – нет.
ОбозначимZl√√Ii (x) = sin( λi x) sin( λi y)g(y)dy, x ∈ [0, L],0тогда зависимость температуры стержня в точке x0 от времениZT X∞u(x, t) =Ii (x)(2/l) exp(−a2 λi (t − τ ))h(τ )dτ, x ∈ [0, L], t ∈ [0, T ].0i=1Если в системе присутствует√√ единственный источник тепла, расположенный в точкеy0 , то Ii (x) = sin( λi x) sin( λi y0 ) иu(x, t) =ZT X∞0i=1√√(2/l) sin( λi x) sin( λi y0 ) exp(−a2 λi (t − τ ))h(τ )dτ ≡ Ãt h(·),0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t ≤ T.
(14)Пусть требуется определить средние значения hj , j = 1, . . . , m, функции h(t) запромежутки времени [0; T /m], [T /m; 2T /m], . . ., [(m−1)T /m; T ]. Для получения такойоценки будем измерять в точке x0 среднюю температуру стержня на этих временныхинтервалах. В данном случае в системе присутствует единственный измерительный17элемент, показания которого – средние значения ξ1 , ξ2 , . . . , ξm температуры стержняна интервалах времени [0; T /m], [T /m; 2T /m], .
. ., [(m − 1)T /m; T ], соответственно.Модель измерений есть ξj = uj (x0 )+νj , j = 1, . . . , m, где uj (x0 ) – истинные средниезначения температуры стержня в точке x0 , ν ≡ {ν1 , . . . , νm } — шум измерения. Всвою очередь, u(x0 ) = At h; здесь u(x0 ) ≡ {u1 (x0 ), . . . , um (x0 )}, h ≡ {h1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
