Методы оптимального синтеза измерительно-вычислительных преобразователей на основе датчиков первого и второго порядков (1103511), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Рассмотрим следующую схему измерения:ξ = Af + ν,(1)где ξ ∈ R̃ – искаженный шумом ν ∈ R̃ выходной сигнал ИП, рассматриваемый какотклик на входной сигнал f ∈ R, полученный в процессе взаимодействия ИП с измеряемым объектом и средой, A : R → R̃ – линейный оператор, моделирующий ИП, Rи R̃ – евклидовы пространства. Задача интерпретации измерения (1) заключается визвлечении из результата измерения ξ наиболее полной информации о параметрах исследуемого объекта, невозмущенного измерением.
Эти параметры определяются каквыходной сигнал U f (·) прибора U , причем в данном случае U : R → U – линейныйограниченный оператор, моделирующий “идеальный” измерительный прибор, который взаимодействует с измеряемым объектом и средой так же, как и A, но на выходедает параметры исследуемого объекта, не возмущенного измерением. Речь идет о преобразовании (редукции) Rξ результата измерения ξ к виду, свойственному измерениюна приборе U , т.е. к виду U f .Стохастическая модель в задаче редукции.
Если в (1) заданы оператор A, определяющий математическую модель измерительного преобразователя, взаимодействующего с измеряемым объектом и средой, корреляционный оператор Σ случайного вектора ν, моделирующего шум измерения, и оператор U , определяющий модель “идеального” измерительного прибора, то говорят, что заданы модель [A, Σ] схемы измерения(1) и модель [A, Σ, U ] интерпретации измерения (1).Задача редукции для модели [A, Σ, U ] формулируется как задача на минимум максимальной среднеквадратичной (с.к.) ошибки интерпретации Rξ как U f :h(R, U ) = sup EkRξ − U f k2U ∼ min .(2)f ∈RRЗдесь min вычисляется на множестве всех линейных операторов R : R → U; еслиR∗ – решение задачи (2), то значение h(R∗ , U ) с.к. погрешности интерпретации R∗ ξкак U f определит качество ИВП как “идеального” измерительного прибора U , его с.к.погрешность.
Если кроме операторов A, U , Σ и условия Eν = 0 относительно схемыизмерения (1) известно, что f – случайный вектор c заданным математическим ожиданием Ef = 0 и корреляционным оператором F , причем f и ν независимы, говорят,что задана модель [A, F, Σ] схемы измерения (1). Для этой модели в монографии [Пы-10тьев, 2004] рассмотрена задача редукции схемы измерения (1) к виду η = U f + V ν,где V – заданный оператор, которая в этом случае ставится как следующая задача наминимум:h(R, U, V ) = min EkRξ − ηk2 .RЕе решение R∗ ξ будет наиболее точной в среднем квадратичном версией η в классевсех линейных функций ξ.Интервальная модель в задаче редукции. Задача интервальной редукции ставится как задача интервального оценивания вектора U f в соответствии с моделью[A, If , Iν , U ] схемы измерений (1).
Эта модель подразумевает наличие априорной информации вида f ∈ If ⊂ Rm , ν ∈ Iν ⊂ Rn , где If = {f ∈ Rm , f j ≤ fj ≤ f j , j =1, . . . , m}, Iν = {ν ∈ Rn , ν i ≤ νi ≤ ν i , i = 1, . . . , n}, которая накладывает ограничения на возможные положения интервалов Ij , содержащих fj , и их размеры. Пустьc = (c1 , .
. . , cm )T – центры, а l = (l1 , . . . , lm )T – полудлины этих интервалов (т.е.Ij ∼ {cj , lj }, j = 1, . . . , m), тогда эти ограничения запишутся как (c, l) ∈ D(A, I f , Iν |ξ),где D(A, If , Iν |ξ) – подмножество R2m , зависящее от A, If , Iν и ξ:D(A, If , Iν |ξ) ={c, l : ξi − ν i ≤mXj=1aij cj −mXj=1|aij |lj ≤mXaij cj +mXj=1j=1|aij |lj ≤ ξi − ν i ;f j ≤ cj − lj ≤ cj + lj ≤ f j , 0 ≤ lj < ∞, i = 1, . . . , n, j = 1, .
. . , m}. (3)Здесь aij – элементы матрицы A. Если в задаче интервального оценивания вектораf ∈ Rm требуется определить интервалы I1 , . . . , Im , удовлетворяющие условиям (3) иимеющие максимальные длины, то такие интервалы определят неизбежную погрешность [Пытьев, 2006]10 оценивания, основанного на данных измерений ξ1 , . . . , ξn . Вэтом случае задача интервальной редукции сводится к следующей:q(l∗ ) =maxq(l), j = 1, .
. . , m,(4)(c,l)∈D(A,If ,Iν |ξ)Мера погрешности q(l) выбирается исследователем исходя из нужд конкретнойзадачи. Например, для оценивания k-й координаты вектора f q(l) = lk , а для оцениmPвания f “в целом” можно взять q(l) =lj . Для линейных функций q(·) (4) сводитсяj=1к задаче линейного программирования.ОбозначимM(A, If , Iν |ξ) = {f ∈ Rm , f j ≤ fj ≤ f j , j = 1, . . . , m, ξi − ν i ≤≤mXj=1aij fj ≤ ξi − ν i , i = 1, . .
. , n}.Задача оптимального выбора f как задача интервального оценивания каждой егокомпоненты с гарантированной точностью и определения возможной погрешности10Пытьев Ю.П. Возможность как альтернатива вероятности. Математические и эмпирические основы, применения. – М.: Физматлит, 2006.11[Пытьев, 2006] ставится как m задач на минимум lj ∼ min, j = 1, .
. . , m, при условииM(A, If , Iν |ξ) ⊂ [c1 − l1 , c1 + l1 ] × . . . × [cm − lm , cm + lm ], определяющем минимальныйпо включению прямоугольный параллелепипед, содержащий M(A, If , Iν |ξ). Каждоерешение bcj (x), blj (x) определит интервальную оценку Ibj (x) ∼ b{cj (x), blj (x)} координаbты fj , отвечающую результату измерения ξ, центр bcj (x) интервала Ij (x) оценит fj cbвозможной погрешностью lj (x),|fj − bcj (x)| ≤ blj (x), j = 1, .
. . , m.Если не оговорено специально, далее везде под погрешностью для интервальноймодели подразумевается неизбежная погрешность.Теоретико-возможностная модель в задаче редукции. [Пытьев, 2000]11 Пусть модель эксперимента задана совместным распределением возможностей значений следующих нечетких элементов: выходного сигнала ξ измерительной компоненты ИВС,ее входного сигнала ϕ, сформированного в системе в процессе измерения в результатевзаимодействия измеряемого объекта, среды и измерительной компоненты, и параметра η исследуемого объектаµξ,ϕ,η (x, f, y), (x, f, y) ∈ R × F × U.Значение µξ,ϕ,η (x, f, y) равно возможности равенств ξ = x, ϕ = f , η = y. Маргинальноераспределениеµξ,η (x, u) = sup µξ,ϕ,η (x, f, u), (x, u) ∈ R × U,f ∈Fопределяет модель интерпретации измерения, позволяющую, в частности, получитьоценку значения параметра η = u, основанную на результате измерения ξ = x.Задачу интерпретации измерения можно понимать как задачу оптимального оценивания значения параметра исследуемого объекта, минимизирующего, например,возможность ошибки оценивания P (d(·)) = sup min(µξ,η (x, u), l(u, d(x))) ∼ min .u∈Ud(·) : R→UЗдесь функция d(·) : R → U определяет правило оценивания, согласно которому результату измерения ξ = x ставится в соответствие значение η = u = d(x) параметраисследуемого объекта; l(x, y) – возможность потерь, сопутствующих решению y ∈ Yв ситуации, определенной значением x ∈ X.В первой главе для стохастической модели измерений проводится сравнение качества ИВС на основе контактного измерителя температуры для различных приближенных моделей контактного измерителя.
Критерием качества является апостериорная погрешность измерений на ИВС.Контактный измеритель температуры представляет собой следующее устройство[Азизов, 1967]12 . Пусть к однородному полупространству x > l, температуру поверхности которого требуется измерить, присоединен слой 0 < x < l теплопроводящегоматериала с коэффициентом температуропроводности a2 , причем при x = 0 поддерживается нулевая температура. Контактный обмен тепла (нагрев) в точке происходит1112с.Пытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применения. – М.: УРСС, 2000. – 190 с.Азизов А.М., Гордов А.Н.
Точность измерительных преобразователей. – Л.: Энергия, 1967. – 30012по закону Ньютона−q(t) = γ[f (t) − u(l, t)],где q(t) — поток тепла через поверхность x = l, γ — коэффициент теплообмена, f (t) —температура поверхности, которую требуется измерить, u(l, t) — граничная температура слоя. Предполагается, что мы можем измерить (зафиксировать с ошибкой) либотемпературу в некоторой точке слоя, либо среднюю температуру в слое.В диссертации сравниваются между собой две приближенные модели контактногоизмерителя температуры, основанные на модели датчика первого порядка с сосредоточенными параметрами. Использование этих приближенных моделей позволяетуменьшить вычислительную сложность задачи редукции.
Обозначим оператор модели датчика первого порядка, зависящий от параметров α и β, как A(α, β), а моделиконтактного измерителя температуры – как Ac . Как известно, температура в точке xслоя в момент времени t определяется следующим выражением:Zt X∞ hi−1p1γu(x, t) = γ+sinλn x×2 2(λn + γ 2 )n=10×√a2 λ2p ne−a λn (t−τ ) f (τ )dτ ≡ Ac f, (5)λn λ n + γ 2√√где λn — n-ый корень уравнения tg λ = − γλ .Вместо оператора Ac при решении задач редукции для ИВС на основе контактного измерителя предлагается использовать оператор A(α, β), параметры котороговыбираются двумя способами.Параметры для первой приближенной модели определяются соотношениемα, β ∼ min kAc − A(α̃, β̃)k2 ,(6)α̃,β̃а второй – из выражения для первого члена ряда (5):α = 1, β = a2 λ1 .(7)Для этих моделей проведено сравнение (“фактических”) погрешностей измеренийна соответствующих ИВС.
На рис. 1 приведены зависимости “фактической” погрешности редукции для ИВС на основе контактного измерителя в случае приближенноймодели (7) (рисунок а) и (6) (рисунок б) от положения датчика. На рисунках цифрой 1 обозначены кривые для случая протяженного датчика, цифрой 2 – для случаядатчика пренебрежимо малых размеров.
Как видно из графиков, “фактическая” (апостериорная) погрешность в случае модели (7) больше, чем в случае модели (6).Таким образом, распространенный прием, состоящий в отбрасывании всех членовряда, кроме первого, в данном случае не приводит к лучшей с точки зрения точностиизмерений на ИВС модели. Вместе с тем, учитывая вычислительную простоту модели(7), в работе для нее указан способ нахождения оптимальных параметров датчика,минимизирующих погрешность измерений на ИВС в рамках данной модели.Кроме того, вычисления показали (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
