Диссертация (1103382), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

В дальнейшем эти вспомогательные узлыбудут использоваться для расчета распределения потенциала электрического поля вобласти моделирования. На Рис. 7 показана схема участка области моделирования послепроцедуры анализа.Рис. 7 Анализ узлов сеткиНа этом рисунке желтым цветом обозначена область моделирования, зеленымцветом – внутренние узлы, фиолетовым – граничные узлы, черным – наружные узлы.Красным цветом обозначены дополнительные вспомогательные граничные узлы.

Типкаждого узла закрепляется за ним в начале процесса моделирования и используется вдальнейшем при расчете распределения потенциала электрического поля, плотностикомпонент плазмы и других сточных величин.403.5 Алгоритм шага по времениОсновной этап моделирования представляет собой последовательное циклическоевыполнение шагов по времени. На каждом шаге осуществляется расчет малыхперемещенийчастицвсамосогласованномэлектромагнитномполесучетомвзаимодействий со стенками и другими частицами. Схема численного алгоритмапредставлена на Рис. 8.Рис. 8 Алгоритм шага по времениДля данного алгоритма полагается, что в начальный момент времени текущеераспределение концентраций частиц в области моделирования известно.

Для первого шагаоно определяется в процессе загрузки стартового распределения частиц в областьмоделирования. Для последующих шагов определяется в конце предыдущего шага.На схеме под «активными» частицами подразумеваются те, перемещение которыхбудет рассчитываться на текущем шаге. Более подробно данная методика описана вразделе 3.9. Зеленым цветом выделены операции, которые реализуются в моделирующейпрограмме с помощью параллельных вычислений.413.6 Взаимосвязь локальных и сеточных величинПримоделированииметодомчастицвячейкахраспределениявсехпространственных величин определяются в узлах двухмерной сетки. В то же время самимакрочастицы располагаются в произвольных точках.

Это, с одной стороны, требуетраспределения вклада от каждой макрочастицы в величины плотности в узлах, а с другойстороны – определения сил, действующих на каждую частицу в зависимости от еерасположения.Существуют различные методы интерполяции вклада макрочастицы в значенияплотности в узлах [69], [73]. Наиболее простой метод заключается в передаче всего весамакрочастицы в ближайший к ней узел. Более сложные методы предусматривают вкладчастицы в несколько окрестных узлов. При этом предполагается, что облако реальныхчастиц, которое олицетворяет макрочастица, имеет некоторую форму. Использованиеболее сложных форм позволяет добиться большей гладкости получаемых распределений,однако это требует и больших вычислительных ресурсов.В данной модели в качестве формфактора макрочастицы берется квадрат с ширинойстороны,равнойширинеячейкипространственнойсетки.Учитываято,чтомоделирование осуществляется в осесимметричной геометрии, форма макрочастицыпредставляет собой кольцо квадратного сечения.

На Рис. 9 показано представлениемакрочастицы в области моделирования.Рис. 9 Макрочастица и узлы сеткиНа этом рисунке красная прямая – ось симметрии. Черные точки – узлы сетки. Узлыниже оси симметрии показаны для наглядности, они являются отражением реальныхузлов. Красной точкой представлена макрочастица (и ее отражение от оси симметрии), а42зеленым – ее форма. Синими прямыми ограничены окрестности каждого узла сетки. Впроцессе раздачи плотности от частицы узлам каждый узел получает ту часть, котораяприходится на его окрестность. Фиолетовым цветом выделены те узлы, вклад в которыевнесет частица.Определение концентрации каждой из компонент плазмы осуществляется в дваэтапа.

Сперва в узлах сетки определяется суммарный вклад веса от всех макрочастиц.Затем по известному объему окрестности каждого узла определяется концентрация. НаРис. 10 показана схема раздачи веса макрочастицы в узлы.Рис. 10 Схема раздачи плотности макрочастицы в узлы сеткиПусть частица имеет координаты (0 , 0 ). Четыре ближайших узла имеюткоординаты (, ), ( + , ), ( + , + ) и (, + ) в порядке нумерации нарисунке, где – ширина ячейки. Частица занимает в пространстве объем 0. 2 20 = ((0 + ) − (0 − ) ) = 2 2 0 .22Коэффициенты раздачи веса макрочастицы в узлы будут иметь следующий вид:1 =1 ( + − 0 )( + 0 )( + − 0 )=,02 2 02 =2 (0 − )( + 0 )( + − 0 )=,02 2 03 =3 (0 − )(0 − )( + + 0 )=,02 2 04 =4 ( + − 0 )(0 − )( + + 0 )=.02 2 0Далее после суммирования вклада всех макрочастиц по объему узла определяется концентрация той или иной компоненты плазмы :=∑ ().43Здесь – размер макрочастицы, () – коэффициент интерполяции.

Объем узлаопределяется его радиальной координатой следующим образом. = 2 2 .Для узлов на оси, у которых = 0, объем определяется так: 23 |=0 = ( ) = .24Для определения сил, действующих на макрочастицы, необходимо по значениямсеточных величин в узлах (напряженности электрического и магнитного поля) определятьзначение этих величин в точке расположения частицы. Для такой интерполяциииспользуются те же коэффициенты, с помощью которых осуществлялась раздача весамакрочастицы в узлы. Для сеточной величины ее значение в точке расположениячастицы 0 будет следующим.0 = 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 .Здесь – коэффициент интерполяции для i-того узла, – значение сеточной величины вi-том узле.Некоторая особенность в моделировании нейтралов методом частиц по сравнению сионами и электронами заключалась в том, что эти макрочастицы имели переменныйразмер, кратный размеру заряженных частиц.

Это было сделано потому, что концентрациянейтрального газа на два порядка превышает концентрацию плазмы, и нет никакойнеобходимости утяжелять моделирование отдельным расчетом их траекторий.3.7 Расчет потенциала электрического поляРаспределениепотенциалаэлектрическогополявобластимоделированияопределяется распределением концентраций ионов и электронов и граничнымиусловиями.∇2 = − 2 0.В двухмерной осесимметричной геометрии, когда распределение всех величин независит от азимутальной компоненты, уравнение Пуассона принимает следующий вид 2 1 +( ) = − 2 .2 0Уравнение заменяется пятиточечным конечно-разностным в следующей форме [74]:44e  ni  ne  2   22  1 3 22  4    0  ,2H1  H 3  H1 H 3  H 2  H 4  H 2H 4   H1 H 3 H 2 H 40(3.3)H4H211  1,   1, .2r02r0H 2 r0 H 4 r0На рисунке (Рис.

11) показан вид конечно-разностной схемы. Здесь – длина плечаi-того узла, 0 – радиальная координата нулевого узла. Зеленой прямой обозначенаграница области моделирования.Рис. 11 Конечно-разностная схема для решения уравнения ПуассонаСитуация с разной длиной плеч возможна для небольшого числа узлов рядом сграницами. Для нахождения потенциала электрического поля в остальных узлах, укоторых длины плеча равны , конечно-разностная схема (3.3) существенно упрощается:(1 + 3 ) + ((1 +( − )) 2 + (1 −) 4 ) − 40 = − 2.2020 2 0Для решения этого уравнения применяется метод последовательной точечнойверхней релаксации с ускорением по Чебышеву с нечетно-четным обходом узлов [73].Этот метод предполагает последовательное выполнение итераций по нахождениюзначения искомой величины во всех узлах области на основании значений этой величинына предыдущей итерации.

Новое значение потенциала в каждом узле 0new связано спредыдущим 0old следующей зависимостью:450new  0  1    0old .Здесь 0 определяется выражением (3.3), а  – переменный релаксационный параметр.В нечетно-точном обходе сеточные узлы разбиваются на две группы. На каждойитерации сперва осуществляется обход всех узлов одной группы, затем всех узлов второйгруппы.

Поскольку значение потенциала в нечетном узле согласно выражению (3.3)зависит от потенциалов четных узлов (и наоборот), то последовательность обхода узлов врамках одной группы особого значения не имеет. На Рис. 12 показана схема такогоделения и обхода.Рис. 12 Схема нечетно-четного обхода узловМетод Чебышева позволяет преодолеть рост погрешности на начальных итерацияхпри численном решении конечно-разностных уравнений.

Это метод заключается в выборерелаксационного параметра  по следующему алгоритму. На первом проходе понечетным (либо четным) узлам релаксационный параметр задается равным единице.Перед обходом второй группы узлов он принимает значение:1  1 1   2  .2При каждом следующем обходе любой из групп узлов он принимается равным:14 new  1 1   2 old  ,где  new – новое значение параметра,  old – старое,  – спектральный радиус матрицыперехода Якоби, определяемый как  cosN46.ЗдесьN– количество узлов в расчетной сетке.В качестве критерия сходимости решения используется следующее неравенство:  eH n n newold2i2 .e0Суммирование осуществляется по всем узлам,  выбирается на уровне 106 . Теоретическивозможен случай, когда число электронов и ионов в области моделирования одинаковое.При этом суммирование в знаменателе даст нуль (вернее близкую к нулю величину из-запредела точности переменных).

Характеристики

Список файлов диссертации