Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В каждом корневом подпространстве оператора , соответствующем паре комплексно-сопряжённых собственных значений±, существует комплексная структура , самосопряжённая относительно и .Эта комплексная структура — это полупростая часть оператора − .Оператор действительно является комплексной структурой, т.е.
2 = −,равен (2 + 1) . Опетак как характеристический полином оператора −ратор самосопряжён, так как он является полиномом от .Определим следующие комплексные билинейные формы на :C (, ) = (, ) − (, ) и C (, ) = (, ) − (, )C и C являются корректно определёнными комплексными кососимметрическими билинейными формами на , так как оператор самосопряжёнотносительно и .105Осталось применить комплексную теорему Жордана–Кронекера и заметить, что если 1 , . . . , , 1 , . . . , — базис комплексного жорданова блока ссобственным значением = + , то1 ,−1 ,..., ,− ,1 ,1 ,..., ,— базис вещественного жорданова блока с комплексным собственным значением + .3.2.4Единственность формы Жордана–КронекераДокажем теперь, что количество и типы блоков в форме Жордана–Кронекера определены однозначно.Теорема 31.
Рассмотрим конечномерное векторное пространство надалгебраически замкнутым или вещественным полем K. Тогда формаЖордана–Кронекера произвольной пары кососимметрических билинейныхформ и на пространстве определена однозначно с точностью доперестановки блоков.Разобьём доказательство теоремы 31 на две части: вначале в утверждении 35 докажем однозначную определённость набора жордановых блоков, азатем — в утверждении 36 — однозначность набора кронекеровых блоков.Утверждение 35. Количество и типы жордановых блоков в формеЖордана–Кронекера определены однозначно (с точностью до перестановкиэтих блоков).Доказательство утверждения 35.
Пусть вначале в разложении Жордана–Кронекера нет кронекеровых блоков. Без ограничения общности можно считать, что форма невырождена. Тогда форма Жордана–Кронекера парыформ и однозначно определяется жордановой нормальной формой оператора = −1 . В вещественном случае форма Жордана–Кронекера определяется вещественной жордановой нормальной формой оператора .Общий случай сводится к невырожденному следующим образом. Рассмотрим подпространство ⊂ , порождённое ядрами форм общего положения (мы будем считать, что форма + общего положения, если106( + ) ≥ ( + ) для любой другой формы + ):=⊕−общ. пол.( + )Рассмотрим далее подпространство ⊥ , состоящее из всех векторов ∈ ,ортогональных к подпространству относительно всех форм + , ∈K̄ = K ∪ {∞} (если = ∞, то под + мы будем формально пониматьформу ): ⊥ = { ∈ ⋃︀ ( + )(, ) = 0∀ ∈ ,∀ ∈ K̄}Используя теорему Жордана–Кронекера, несложно проверить, что пространство изотропно относительно всех форм + , ∈ K̄, поэтомукорректно определено ограничение каждой формы + на пространство = ⊥ ⇑.
Также, используя теорему Жордана–Кронекера, несложно проверить, что факторпространство (, ⋃︀ , ⋃︀ ) изоморфно сумме всех жордановых блоков вне зависимости от выбора формы Жордана–Кронекера пространства (, , ). (Мы будем говорить, что две тройки ( , , ), = 1, 2изоморфны, если существует изоморфизм пространств 1 и 2 , переводящийформы 1 и 1 соответственно в формы 2 и 2 ).Пространство = ⊥ ⇑ определено однозначно (т.е. не зависит от выбораформы Жордана–Кронекера пространства (, , )), поэтому количество итипы жордановых блоков в форме Жордана–Кронекера произвольной парыкососимметрических форм и тоже определены однозначно.Утверждение 35 доказано.Утверждение 36.
Количество и размеры кронекеровых блоков в формеЖордана–Кронекера определены однозначно (с точностью до перестановкиэтих блоков).Доказательство утверждения 36. Вектор с полиномиальными коэффициентами⃗() = 0 + ⋅ ⋅ ⋅ + ,где 0 , . . . , ∈ , а рассматривается как формальный параметр, мы будем называть цепочкой, если ⃗() ∈ Ker ( − ). Обозначим через ≤множество всех цепочек ⃗() таких, что (⃗()) ≤ .107Количество и размеры кронекеровых блоков можно легко найти при помощи следующего утверждения.Утверждение 37.
Если в форме Жордана–Кронекера пары форм и присутствует кронекеровых блоков размера (2 + 1) × (2 + 1), =1, . . . , , тоdim ≤ = ∑ ( − + 1)(3.2.3) ≤Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что форма — общего положения (иными словами, в форме Жордана–Кронекера нетжордановых блоков с собственным значением ∞).Цепочки образуют векторное пространство, поэтому если ⃗1 () и ⃗2 ()— две цепочки, то и любая их линейная комбинация с постоянными коэффициентами 1 ⃗1 () + 2 ⃗2 () тоже является цепочкой. В частности, если⃗1 () и ⃗2 () — две цепочки такие, что ⃗1 (0) = ⃗2 (0), то их разность имеетвид ⃗1 () − ⃗2 () = ⃗ (), где ⃗() — некоторая третья цепочка.Несложно явно проверить, что если 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , .
. . , , — базис -тогокронекерова блока, в котором матрицы форм имеют вид (3.2.2), то вектор⃗ () = 0 + 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + является цепочкой. Так как форма — общегоположения, для любого вектора ∈ Ker существует такая линейная комбинация ⃗ () = ∑ ⃗ (), где ∈ K, что ⃗ (0) = . Поэтому многочленывида ⃗ () образуют базис пространства ≤ .Требуемую формулу (3.2.3) для размерности пространства ≤ легко получить, явно описав все вектора вида ⃗ (), лежащие в ≤ : это вектора⃗1 (),⃗1 (),...−1 ⃗1 (),⃗2 (),...− ⃗ ().Утверждение 37 доказано.Так как пространства цепочек ≤ не зависят от выбора формыЖордана–Кронекера пространства (, , ), то из утверждения 37 следует, что количество и размеры кронекеровых блоков тоже определены инвариантно.Утверждение 36 доказано.Теорема 31 полностью доказана.1083.3Линейные инвариантные подпространстваВ этом разделе мы опишем все инвариантные подпространства линейногопространства , на котором заданы две кососимметрические билинейныеформы и , одна из которых невырождена (мы будем считать, что форма невырождена).
При этом вместо пары билинейных форм и нам будет удобнее рассматривать пару, состоящую из невырожденной билинейнойформы и оператора = −1 , самосопряжённого относительно формы.Все теоремы об устройстве линейных инвариантных подпространствнемедленно следуют из устройства группы автоморфизмов Aut (, , ),описанной П.
Чжан в [53].Редукция проблемы. Для начала сведём задачу к случаю, когда собственный многочлен оператора неразложим. Корневым подпространством оператора , соответствующим собственному значению , мы будем называть множество Ker ( − ) , где число достаточно велико.В вещественном случае мы будем рассматривать либо корневые подпространства отвечающие вещественному собственному значению, либо корневые подпространства, отвечающие паре комплексно-сопряжённых собственных значений. Корневым подпространством, отвечающим паре комплексносопряжённых собственных значений ± , мы будем называть ядроKer ( 2 − 2 + (2 + 2 )) .Отметим, что так как оператор cамосопряжён, то корневые подпространства, отвечающие различным собственным значениям, ортогональныотносительно формы .
Поэтому ограничение формы на каждое корневое подпространство невырождено.Теорема 32. Пусть — самосопряжённый оператор на линейном вещественном или комплексном симплектическом пространстве (, ). Рассмотрим разложение пространства в сумму корневых подпространствоператора : = ⊕ 109Тогда подпространство ⊂ инвариантно тогда и только тогда, когдаоно разлагается в прямую сумму своих пересечений с корневыми подпространствами = ⊕( ∩ )и каждое пересечение ∩ является инвариантным подпространствомсоответствующего корневого подпространства ( , ⋃︀ , ⋃︀ ).Для доказательства теоремы 32 достаточно воспользоваться тем, что подпространство пространства инвариантно тогда и только тогда, когда оноинвариантно относительно групп Aut ( , ⋃︀ , ⋃︀ ), естественным образом вложенных в Aut (, , ).Далее в этом разделе мы будем считать, что характеристический многочлен оператора неразложим.
Это значит, что у оператора только однособственное значение в комплексном случае, и либо одно вещественное, либопара комплексно-сопряжённых значений в вещественном случае.Случай одного собственного значения. Вначале рассмотрим случай,когда собственное значение только одно. Без ограничения общности можносчитать, что это собственное значение равно 0 (иными словами, можно считать, что оператор — нильпотентный).Теорема 33.
Пусть — нильпотентный самосопряжённый операторна симплектическом пространстве (, ). Тогда любое подпространство ⊂ , инвариантное относительно группы автоморфизмов Aut (, , ),имеет вид = ⊕(Ker ∩ Im ),(3.3.1)=1для некоторых ∈ N, , ≥ 0.Следствие 11. Если пространство (, , ) является суммой жордановых блоков одной и той же высоты , то инвариантные подпространства— это в точности пространстваKer = Im −110Следующее замечание позволяет ввести ограничения на количество слагаемых и их виды в формуле (3.3.1).Замечание 13. Сумму подпространств вида Ker ∩ Im можно такжеописать следующим образом. Обозначим через сумму всех жордановыхблоков высоты (ровно) .
Далее обозначим через ( ) подпространство , состоящее из всех векторов высоты .Пусть пространство (, , ) является суммой жордановых блоков высоты 1 , . . . , , где 1 > 2 > ⋅ ⋅ ⋅ > . Тогда любое инвариантное подпространство имеет вид 1 (1 ) ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ ( ),(3.3.2)где0 ≤ 1 − 2 ≤ 1 − 2⋯(3.3.3)0 ≤ −1 − ≤ −1 − Теорема 33 легко следует из следующей теоремы об устройстве алгебрыЛи группы автоморфизмов Aut (, , ) в случае одного собственного значения, поэтому мы опишем только возможную схему доказательства.Теорема 34 (П. Чжан, [53]). Пусть пространство (, , ) состоит из жордановых -блоков с собственным значением 0, где = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
